一道高考题的简解

题目已知O(0,0),B(1,0),C(b,c)是△OBC的三个顶点(Ⅰ)写出△OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G,F,H三点共线;     

向量在高考解析几何中的应用(高二、高三)

本文着重介绍平面向量在解析几何中的几种应用.1.证明三点共线例1 已知O(0,0),B(1,0),C(b,c)是△OBC的三个顶点,写出△OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明F、G、H三点共线.(02年北京高考)     

用向量法证明欧拉线问题

设三角形 ABC外心为 O,重心为 W,垂心为 H ,则 O,W,H三点共线 ,且 |OH |=3|OW|,这便是著名的欧拉线问题 .但平面几何证法较麻烦 ,笔者用向量坐标法去证 ,感觉过程较为简洁 .证　以外心 O为原点 ,过 O平行于 BC的直线为 x轴 ,BC的中垂线为 y轴 ,建立直角坐标系 .设 AD是 BC上的高 ,并设各点坐图 1标如下 :A(a,b) ,B(- c,d) ,C(c,d) ,H (a,y) ,则 BH =(a+c,y- d) ,AC=(c- a,d- b) ,因为 BH⊥ AC,有 BH· AC=0 ,即 (a+c) (c- a) +(y- d) (d- b) =0 ,解之得 y=- a2 +c2 +bd- d2- d+b .因为 O是外心 ,所以|OA|=|OB|=|OC|,即 a…     

有趣的“外心”与“垂心”

三角形的“外心”、“垂心”、“重心”共线,该直线称为欧拉线。欧拉线反映了三心之间的一种内在联系。三角形的“外心”、“垂心”、“重心”之间还有许多有趣的性质。 一、若△ABC的外心为O、重心为G、垂心为H,容易证明这三心之间的距离具有度量关系GH=2OG 二、若锐角△ABC的三边中点分别为D、E、F,△DEF的高线足分别为D′、E′、F′,容易证明△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的内心;若△ABC是钝角三角形,则△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的一个傍心。     

三角形垂心坐标公式应用二三例

以△ABC外心O为原点建立坐标系,R为外接圆半径,则顶点坐标可设为 A(Rcosα,Rsinα), B(Rcosβ,Rsinβ), C(Rcosγ,Rsinγ). 设H(k,l)为△ABC垂心,则可以证明例1.(欧拉定理)试证△ABC的外心O、垂心G和垂心H共线.     

圆内接三角形垂心的两个新性质

定理1设△ABC内接于⊙O,H是△ABC内(或外)的点,则H为△ABC垂心的充要条件是■.证明必要性.图1以BC边所在直线为x轴,BC边上的高AO′为y轴,建立如图1所示坐标系.设A(0,y3),B(x1,0),C(x2,0),H(0,y).由BH⊥CA,BH=(-x1,y),CA=(-x2,y3),得x1x2 yy3=0,y=-x1x2y3,则H(0,-x1x2y3).设外心     

欧拉线的再推广

众所周知,三角形的外心O,重心G,垂心H共线(欧拉线),G在线段OH上且OG∶GH=1∶2．人们进而又推出与欧拉线类似的性质：三角形内心I,重心G,奈格尔点N(也称三角形的界心)共线,G在线段IN上,且     

三角形中“四心”的关系

设△ABC的外心、内心、重心和垂心分别为O，I，G，H，如图众所周知，O、G、H三点共线且OG=1/2GH，所以OG=1/3OH．GH=2/3OH．在△IOH中应用斯特瓦尔特定理有∴将它们代入（1）式得这样，我们得到了三角形的四心：外心、内心、重心和垂心间的距离之间的关系式．三角形中“四心”的关系@布仁$内蒙古海拉尔师专     

关于倍角三角形三边的一个恒等式

文 [1 ]找到倍角三角形三边关系的系列表达式 :fn=0 ,其中 f1=a -b ,f2 =(a2 -b2 ) -bc ,f3 =(a2-b2 ) (a -b) -bc2 ,…本文得到 :定理　在△ABC中 ,∠A =n∠B ,BC =a ,CA=b ,AB =c,记Fn=Fn(a ,b,c) =(ac) n-1(b·sinAsinB-a) ,λ =a2-b2 c2 ,μ =ac,则Fn=b(C0 n-1λn -1-C1n -2 λn -3 μ2 C2 n -3 λn -5μ4-C3 n -4λn -7μ6 C4n -5λn -9μ8-… ) -aμn -1=0 . ( )证明 :由正弦定理 ,asinA=bsinB,∴Fn=(ac) n -1(b·sinAsinB -a) =(ac) n -1sinA· bsinB-asinA =0 .记t=cosB ,将sinA =sinnB展开 ,应用sin2 B =1 -t2 ,2t…     

三角形的欧拉线

(本讲适合初中)任意三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线,并且GOHG=12.这就是三角形的欧拉线的定义及性质.欧拉线是一条直线.掌握欧拉线性质须注意两点:(1)外心、重心、垂心三点共线;(2)定比1∶2.欧拉线的常用表示法有三种:(1)外心、垂心法,即欧拉线OH;(2)外心、重心法,即欧拉     

浅谈椭圆焦点三角形的性质

所谓椭圆焦点三角形是指椭圆上任一点与其两焦点构成的三角形 .本文以椭圆 x2a2 + y2b2 =1　 (a >b>0 )为例 ,利用其定义及性质来证明△F1PF2 的十一个性质 .记P(x0 ,y0 ) ,∠F1PF2 =γ ,∠PF1F2 =α ,∠PF2 F1=β ,c =a2 -b2 ,e =ca ,则有以下性质 :性质 1　△F1PF2 的周长为 2a + 2c .证明略 .性质 2　 |PF1| =a +ex0 ,|PF2 | =a -ex0 .证明略 .性质 3　△PF2 F1的面积S =b2 tan γ2 .证明　设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,则△PF2 F1的面积S =12 mnsinγ .由椭圆定义得m +n =2a .又由余弦定理得4c2 =m2 +n2 - 2mncosγ=(m +n) 2 -…     

欧拉线的长度

众所周知,三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线,且2OG=GH,此线叫做欧拉线.现在我们用三角形的三边来表示这三点间的距离.     

谈一道奥林匹克竞赛题改进的对偶形式

第 6届 IMO第 2题是设 a,b,c是△ ABC的三边长 ,求证a2 (b + c -a) + b2 (c + a -b) + c2 (a +b -c)≤ 3 abc (1)受启发 ,本文得到 (2 )式的如下对偶形式定理 1　设 a,b,c,r是△ ABC的三边长及内切圆半径 ,则有a2 (b + c -a) + b2 (c + a -b) + c2 (a +b -c)≥ 12 r(a + b + c) (2 )证明 :记 p =12 (a + b + c) ,R为△ ABC的外接圆半径 ,S为△ ABC的面积 ,由海伦公式 S = p (p -a) (p -b) (p -c) =rpabc =4RS =4Rrp得左边 =2 a2 (p -a) + 2 b2 (p -b) +2 c2 (p -c)≥2× 3 3 a2 b2 c2 (p -a) (p -b) (p -c) =63 16R2 r2 p2 .r2 p =…     

Euler线的一个仿射推广

设ABC为欧几里得平面上的一个三角形。用G表示ABC的重心,O表示外心,H表示垂心;Euler(1707—1783)早已证明G,O,H三点共线,且GH=2(OG)。直线OGH称为Euler线。这个定理有许多证法,可参看[2,pp.17,18]。 Euler定理涉及欧氏平面的度量,     

用公式│x_1-x_2│=Δ~(1/2)/│a│解题

设x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,那么x1=(-b+(b2-4ac))/2a,x2=(-b-(b2-4ac))/2a,x1+x2=-(b/a),x1·x2=c/a,由此,得     

一个三角形不等式

命题　设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、R、r.则有b2 c22bc ≤ R2r.①证明 :　记△ABC的面积为S .由abc =4RS及S =12 r(a b c)知式①等价于b2 c22bc ≤abc(a b c)1 6S2 .②由海伦公式知1 6S2 =(a b c) (b c -a)·(c a -b) (a b -c) .③则式②等价于1 6S2 (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) (a b c) (b c-a) (c a -b)·(a b-c) (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) 2ab2 c2 - (b c -a) (c a -b)·(a b -c) (b2 c2 ) ≥0 b2 [ac2 - (b c-a) (c a -b)·(a b -c) ] c2 [ab2 - (b c-a)·(c a -b) (a …     

一道国际竞赛题和Euler不等式的证明

1993年瑞士数学竞赛中 ,有如下一道试题 :在△ ABC中 ,a,b,c为其三边 .求证 :(b + c-a) (c + a -b) (a + b-c)≤ abc (* )(* )式证法多见 ,但都基于代数或三角的方法 ,其过程比较复杂 ,本文给出如下一个新颖直观的几何证法 :图 1证明 :如图 1 ,根据已知条件可构造△ MN G,使∠ NMG =90°,MD为 N G边上的中线 ,令 MN =b + c -a,MG =c+ a -b,则易知NG =b + c -a + c + a -b =2 c,MD= 12 .由三角形面积可知 :12 N G .MD≥ 12 MN .MG(当且仅当 MN =MG时等式成立 )所以 12 2 c.12 2 c≥ 12 b + c-a .c+ a -b化简整理得 (b+ c-a) (c…     

一道复数题的多种解法

题目 已知a是实系数二次方程ax~2 bx c=0的一个虚根,且 a~3 ∈R,求证:b~2=ac. 这道题散见于各种数学书刊,但给出的解法单一。若引导学生从多种角度思考,认真挖掘其解法,却不失为培养学生发散思维能力的好素材。 方法1 ∵a,b,c是实数且a≠0,又a是虚数,∴△=b~2-4ac<0,由求根公式得x=(-b±(-△i)~(1/2))/2a,不妨设a=(-b (-△i)~(1/2))/2a     

一个不等式的初等证明

题目设a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=了1时取到等号.文[1][2]给出了不同的证明方法,本文再给出更简单的证明方法.证明:注意到b~2-b+1=(b-1/3)~2+1/9(8-3b)≥1/9(8-3b),同理有c~2-c+1≥1/9(8-3c),     

关于费马点与"心"的距离公式

文[1]给出了计算费马点与重心的距离公式,本文给出计算费马点与“心”(重心、内心、外心、垂心、旁心、界心)距离的统一公式.为此,我们先约定:用 a、b、c、p、s 分别表示△ABC 的边长、半周长和面积;F、E、G、O、J、H、I_1、I_2、I_3分别表示△ABC 的费马点、界心、重心、外心、内心、垂心及∠A、∠B、∠C内的旁心;x、y、z 分别表示 FA、FB、FC.于是,我们有:定理1 设 D、E 分别为△ABC 的边AC、AB(所在直线)上的点,BD 与 CE 交于点Q,若(AD)/(DC)=λ,(AE)/(EB)=μ,点 P 为△ABC 所在平