抓住问题本质 提高解题能力——一类二次根式的求值方法

<正>二次根式求值问题是学习二次根式的难点,学生往往感觉束手无策.其实,如果我们能抓住问题的本质,通过分析,就能找到解题思路.下面举例加以说明.例1当x=3+5(1/2)/2时,求多项式x3-4x2+4x+1的值.分析当学生初次接触此题,首先想到的解题思路是直接代入,但尝试过后便会因计算过程相对繁琐而放弃.有何更好的解题方法呢?这时,教师如果能从二次根式的本质入手引导学生,解题思路就能豁然开朗.     

第二章代数式

一、本章导析本章重点是整式、分式、根式的化简、计算与求值 .难点是公式、法则、算理的正确运用及各种技巧 (包括因式分解 )的使用 ,注意点一是同类项概念中的两个条件缺一不可 ,二是应弄清同类根式与最简根式的异同 ,三是应熟记分式有、无意义及值为零的条件 ,四是应注意二次根式的两个非负性二、例题解析例 1　已知 x=32 +1,求 x2 +x+1x3 - 1- 2 x- 2x2 - 2 x+1的值 .分析 :此题中所求式较为繁杂 ,故应先化简 .解 :原式 =x2 +x+1( x- 1) ( x2 +x +1) - 2 ( x- 1)( x- 1) 2= 1x- 1- 2x- 1=11- x=1- 32 =- 26 .说明 :先化简后代入求值是一…     

二次根式计算与化简的九种思维意识

有关二次根式的计算与化简是初二代数学习的重点和难点. 在二次根式的解题中,若能强化解题思维意识,则能准确有效地突破难点.     

运用数学思想方法简捷解题

在学习二次根式的过程中,若能注意运用数学思想方法,则在解题时就会简捷、迅速、准确、高效.一、整体代入的思想有些二次根式问题,直接计算很繁琐,若把注意力和着眼点放在问题的整体上,从整体入手,则解法简明.例1已知x=&3-&2&3+&2,y=&&33+-&&22,则3x2-5xy+3y2的值是.解:∵x=(&3-&2)2=5-2&6,y=(&3+&2)2=5+2&6,xy=1,x+y=10.∴3x2-5xy+3y2=3(x2+2xy+y2)-11xy=3(x+y)2-11xy=3×102-11×1=289.二、分类讨论的思想分类是初中数学中应用极其广泛的一种思想方法.应用分类的思想方法去解题的思路是:首先要有分类的意识,仔细分析遇到的问题是否需要分…     

二次根式

基础篇课时一二次根式及其相关概念诊断练习一、填空题1.若2-x为二次根式,则x的取值范围是.2.1-x+x-1=.3.若(a-b+2)2+a+b-4=0,则ab=.4.已知m为整数,且3m+2为最简二次根式,则m=.二、选择题1.下列二次根式中,属于最简二次根式的是()(A)x2.(B)8.(C)x2.(D)x2+1.2.下列二次根式中,与18是同类二次根式的是()(A)2.(B)3.(C)5.(D)6.3.下列各式中,与2-3互为有理化因式的是()(A)3-2.(B)2-3.(C)-2-3.(D)6.三、解答题1.已知最简根式b-a3b和2b-a+2是同类二次根式,求a,b之值.2.已知y=2x-1+1-2x+2,求x2+y2-xy的值.答案与提示:一、1.x≤2.2.0.3.3.4.-1.…     

灵活换元 巧妙解题

换元是初中代数学习中非常重要的一种解题方法 ,它指的是在解题过程中有意识地把一个代数式看成一个整体 ,用字母表示。灵活地应用这种方法 ,可使解题简易、迅捷。一、分解因式例 1.分解因式 (x2 - x) 2 - 8x2 + 8x+ 12。解 :设 x2 - x=z,那么原式 =(x2 - x) 2 - 8(x2 - x) + 12=z2 - 8z+ 12 =(z- 2 ) (z- 6 )=(x2 - x- 2 ) (x2 - x- 6 )=(x- 2 ) (x+ 1) (x- 3) (x+ 2 )。二、化简二次根式例 2 .化简 x z - z xx z + z x-z x + x zz x - x z。解 :设 x =a,z =b,那么 x=a2 ,z=b2 。原式 =a2 b- ab2a2 b+ ab2 - ab2 + a2 bab2 - a2 b=a- ba+ b…     

二次根式解题中的常见错误剖析

同学们在学习二次根式时,常会犯一些错误,现举例说明,供同学们参考. 1.化简x3+2x2y+xy2√. 错解:原式=x(x+y)2√=x+yx√. 分析:答案中根号外的x+y是一个整体,必须加括号. 正解:原式=x(x+y)2√=(x+y)x√. 2.把式子x-1x√中根号外的因式适当变形后移到根号内,并使原式的值不变. 错解:原式=x2√·-1x√=-x√. 分析:由公式a=a2√(a≥0)知,根号外的负因式要移进根号内且保持原式的值不变时,需在根号外添加一负号.如-4=-(-4)2√. 正解:由题意可知-1x>0,∴x<0. ∴原式=--x-1x√=-(-x2-1x √=--x√. 3.计算2√÷3√…     

二次根式专题之常见错误分析

在二次根式运算过程中,同学们由于对二次根式的概念、性质和运算法则理解不透,常常出现这样或那样的错误.现将几种常见的错误归纳如下.一、混淆公式张冠李戴例1计算:(-5)2姨.错解:原式=-5.例2化简:姨3-2姨2.错解:原式=(1-姨2)2姨=1-姨2.剖析:两题的错解都是因为混淆了公式a2姨=a和(姨a)2=a,正确的应运用a2姨=a,得出的正确答案分别是5和姨2-1,而错解却都是运用(姨a)2=a.如此混淆公式、张冠李戴,不错才怪呢!二、思维定势忽视隐含例3化简:a1-a3姨+a-a1姨.错解:原式=1a-a2姨a+a-aa2姨=aa姨-a+aa姨-a=2姨-a.剖析:受平时字母的取值大多是正数的习…     

二次根式

基础篇课时一　根式的概念诊断练习一、填空题1.当 x时 ,| x| - 1有意义 .2 .若 x - y + 3+ ( x + y - 1) 2 =0 ,则x2 + y2 = .3.n是正整数 ,当 n =时 ,2 n- 2 是最简二次根式 .4 . 1- x + x - 1=.二、选择题1.下列各式中 ,最简二次根式是 (　　 )( A) ab2 .　　　　　 ( B) ba.( C) a2 b2 . ( D) 5x2 y.2 . x - x + 1的有理化因式是 (　　 )( A ) x + 1.　　　　 ( B) 2 x.( C) x - x - 1. ( D) x + x + 1.3.如果最简根式 2 a - b + 6与 3 a- b 4 a + 3b是同类二次根式 ,那么 (　　 )( A ) a =2 ,b =1.　　　　 ( B) a =1,b =1.( C) a…     

巧妙变形 快速求值

给出已知条件的二次根式求值问题,是二次根式中的常见问题,也是各地中考的热点.对于此类问题巧妙地变形,是快速求解的关键.下面举例说明,相信对提高同学们思维的灵活性、创造性会有所帮助,也有助于提高同学们的解题技能和技巧.一、变形条件式再求值例1已知x=3姨+1,求x27-2x+x2姨的值.解析由x=3姨+1,可得x-1=     

构造有理化因式解题

利用互为有理化因式的意义(“两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式”),构造有理化因式解题,常能起到以简驭繁、化难为易的作用. 例1 若a=1996/(?)1997-1,则a5-2a4-1996a3的值为____. 解:由题设有a=(?)1997+1,又设b=(?)1997-1,则a-b=2.ab=1996.因此,原式=a5-(a-b)a4-ab·a3=a5-a5+a4b-a4b=0. 评注:这里构造的(?)1997+1的有理化因式(?)1997-1,将求值式中的“2”、“1996”分别用a-b、ab替换,将代数求值题转化为整式运算,使     

结果正确,解答未必正确

好多同学解完题后,喜欢相互之间对一下结果或询问老师正确的结果,若结果相同或正确,则以为解答正确,殊不知,有时结果正确解答未必正确.本文以几道代数题为例,分述如下:一、关于分式运算例1计算:22x+3+33-2x-2x+159-4x2.解法1原式=22x+3-32x-3+2x+15(2x+3)(2x-3)=4x-6-6x-9+2x+15=0.解法2原式=22x+3-32x-3+2x+15(2x+3)(2x-3)=4x-6-6x-9+2x+15(2x+3)(2x-3)=0.分析:解法1混淆了分式的加减运算与分式方程的求解,误用“去分母”,违背了分式加减的运算法则,故解法1是错误的.二、关于根式运算例2化简:a-ba√+b√(a>0,b>0).解法1a-ba√+b√=(a-b)(a…     

分式通分的常用技巧

分式加减运算的关键是通分,对于有些特殊的分式加减题,若按照常规方法进行通分,往往运算比较繁杂,不便于速算.若能注意观察分式的结构特征,灵活运用解题技巧,则能化繁为简,常可收到事半功倍的效果.下面向同学们介绍几种通分的常用技巧,供学习时参考.一、先整体考虑,再通分例1计算a2a-1-a-1.解:原式=a2a-1-(a+1)=a2a-1-(a+1)(a-1)a-1=a2a-1-a2-1a-1=1a-1二、先结合,再通分例2计算1x-1-1x+1-2x2+1-4x4+1解:原式=2x2-1-2x2+1-4x4+1=4x4-1-4x4+1=8x8-1三、先分组,再通分例3计算1x-2+2x+1-2x-1-1x+2解:原式=(1x-2-1x+2)+(2x+1-2x-1)=4x2-4-4x2-1=…     

巧用特殊法 妙解课本题

根据题型数值结构特征 ,选用恰当的化简技巧 ,是解决课本二次根式题的关键。一、变换所求 ,以简改繁例 1　已知 x=12 (7+5 ) ,y=12 (7- 5 ) ,求 x2 - xy+ y2 的值。 (课本 P2 2 0第 7题 )解 :当 x =12 (7+5 ) ,y=12 (7- 5 )时 ,原式 =(x- y) 2 + xy　　 =(5 ) 2 + 14 (7- 5 )　　 =112 。二、化简变形 ,化难为易例 2　已知 x=3+ 23- 2,y= 3- 23+ 2,求 xy+ yx的值。 (课本 P2 2 1B组第 3题 )解 :∵ x=- 7- 43,y=- 7+ 4 3,∴ x+ y=- 14 ,xy=1。∴原式 =x2 + y2xy =(x+ y) 2 - 2 xyxy　　　 =(- 14 ) 2 - 2× 1=194。三、变形凑零 ,捷足先登…     

二次根式“瘦身”十二法

分母有理化是二次根式化简的常用方法 .但这种方法有时候却显得繁难 ,或者无能为力 ;而我们常可从根式的结构特征入手 ,巧妙变形 ,则可以收到“曲径通幽”之效 .现提供二次根式“瘦身”十二法 ,供同学们参考 .一、定义法例 1　化简 :a -1a.解　由算术根的定义知 :　　 -1a >0 ,即a<0 .原式 =-( -a) -1a=-a2 · -1a=--a.二、公式法例 2　化简 :5+ 2 6 + 5-2 6 .解　∵ 5+ 2 6 =( 3+ 2 ) 2 ,　　 5-2 6 =( 3-2 ) 2 .∴原式 =( 3+ 2 ) 2 + ( 3-2 ) 2=3+ 2 + 3-2=2 3.三、拆项法例 3　化简 :6 + 4 3+ 32( 6 + 3) ( 3+ 2 ) .解　原式 =( 6 + 3) +…     

双重根式的化简

形如 a± k b的根式叫做复合二次根式 ,也叫做双重根式 ,下面介绍用配方法化简双重根式 ,供参考 .一、当 k是 2时 ,若能将根号内的式子 a±k b配成完全平方 ,则可将原式化简 ,因此需将常数 a分拆成两个数 ,使这两个数的积等于b,即可 .例 1　 ( 2 0 0 1年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题 )化简代数式 3+ 2 2 + 3- 2 2的结果是 (　　 )( A) 3.　　　　　　　 ( B) 1+ 2 .( C) 2 + 2 . ( D) 2 2 .解 :原式 =2 + 2 2 + 1+ 2 - 2 2 + 1= ( 2 + 1) 2 + ( 2 - 1) 2= 2 + 1+ 2 - 1=2 2 .故选 ( D) .二、如果 k是大于 2的偶数 ,可将这个数中2以外…     

数学竞赛中多层根号根式的化简

数学竞赛中常常会遇到含有多层根号的根式 .一般的说 ,这类根式都能通过化简最终化为单一根号的根式或不带根号的式子 .一、多层二次根式的化简化简含有多层二次根号的根式 ,一般有两种思路 :(一 )对根号下的式子进行配方 ,变为完全开方式如果是 a± 2 b的形式 ,设法找到两个有理数 x、y,使 x + y =a,xy =b,则a± 2 b =( x + y)± 2 xy =( x ) 2± 2 xy + ( y ) 2 =( x± y ) 2 =| x± y | ( x >y >0 )如果是 a± b的形式 ,可如下变形a± b =2 a± 2 b2= 2 a± 2 b2再用上述方法化简 .比如 ,化简 ( 1) 3+ 2 2 ;( 2 ) 2 - 3.解 :( 1)原式 =( …     

从“a”入手 化简求值

二次根式 a中的 a具有非负性 ,灵活运用这一属性能够巧妙地解决二次根式的计算求值等问题 .现列举实例 ,进行介绍 .一、化简例 1　化简 - a3 - a2 - 1a =.解 :由 - a3≥ 0 ,且 a≠ 0知 :a <0 ,∴原式 =- a - a + a - a =0 .二、计算例 2　计算 a 16 a + 3a3 - 12 a2 4a.解 :由 a3 ≥ 0且 a≠ 0知 :a >0 ,∴原式 =4 a a + 3a a - a a=6 a a .例 3　计算 2 0 0 1- a + a - 2 0 0 1+2 0 0 1a + a2 0 0 1.解 :由 2 0 0 1- a≥ 0 ,且 a - 2 0 0 1≥ 0 ,知 :a =2 0 0 1,当 a =2 0 0 1时 ,原式 =2 0 0 1+ 1=2 0 0 2 .三、求值例 4　已知实数 a满足 …     

根式化简技法谈

二次根式的化简 ,是现行教材中的重点及难点之一 ,也是中考中常见的题型。要求学生能根据各类题目本身的特点 ,采取灵活的解题技巧。一、约分例 1.化简 33- 2 6(2 - 2 ) 2 。解 :原式 =33- 2 6(6 - 42 )=3(3- 2 2 )2 (3- 2 2 )=32 。二、逆用法则例 2 .化简 5 + 33+ 42(5 + 2 ) (3+ 2 )。解 :原式 =5 + 33+ 32 + 2(5 + 2 ) (3+ 2 )=13+ 2+ 35 + 2=5 + 3- 2 2。三、先平方 ,再开方例 3.求 2 + 61+ 3的值。解 :令 a=2 + 61+ 3,则 a2 =8+ 434+ 2 3=2 ,∵ a>0 ,∴原式 =2。四、配方例 4 .化简 2 63+ 2 - 5。解 :原式 =(2 ) 2 + 2 6 + (3) 2 - (5…     

二次根式的化简与运算

1.分母有理化例 1.化简 16 - 2。解 :原式 =6 + 2(6 - 2 ) (6 + 2 )= 6 + 24 。〔说明〕:利用分母有理化化简二次根式的关键是准确地找出分母的最简化有理因式 ,再利用分式的基本性质运算。2 .运用公式法例 2 .计算 :(2 + 3-6 ) (2 - 3- 6 )。解 :原式 =〔(2 - 6 )+ 3〕·〔(2 - 6 ) -3〕 =(2 - 6 ) 2 -( 3) 2 =8- 4 3- 3=5 -4 3。〔说明〕:二次根式的乘除运算 ,要根据题目的特点 ,充分利用乘法公式 ,使计算过程简化。3.拆项法例 3.计算1+ 2 3+ 5(1+ 3) (3+ 5 )。解原式 =(1+ 3) + (3+ 5 )(1+ 3) (3+ 5 )=13+ 5+ 11+ 3=5 - 32 + 3- 12 =5 - …