一个结论的再发现过程

本文所讨论的n个人排队问题,实际上是一个"错装信封问题". 我们从最基本的情况入手,由浅入深,通过归纳、猜想、证明,最后给出圆满的结论. 这个讨论过程,并不是对己有结论的重复,而是一个再发现的过程. 熟悉这个讨论过程,对于培养同学们的创造性思维能力是十分有益的.     

可重复组合总数

从 n种不同的元素中取 m个元素 ,共有多少个不同的结果 ,这是我们经常遇到的问题 .“排列与组合”专门讨论过这个问题 .本文限于篇幅 ,不结合具体实际例子 ,而只进行符号化的讨论 .1　n=4 ,m=3的情况先讨论 n=4 ,m=3的具体情况 ,即从A,B,C,D四种不同的字母中 ,取 3个字母 ,共有多少个不同的结果 .其实 ,这个问题的提法过于笼统 ,还应明确 :“管不管顺序”与“可不可重复”.因此对 n= 4 ,m=3,实际上有四种情况 :(1)管顺序 ,可重复 ;(2 )管顺序 ,不可重复 ;(3)不管顺序 ,不可重复 ;(4)不管顺序 ,可重复 .我们干脆将它们的结果全部排出来 ,为…     

你会“一分为二”吗?

代数中 ,对于一个方程f(x) =g(x)的解的个数问题可用两条曲线 y1 =f(x)与 y2= g(x)的交点个数来判断 .我们不妨将此法称之为“一分为二” ,它是我们处理此类问题的一个很好的方法 .但如何使用这种方法 ,以及在使用过程中应注意哪些问题 ,却经常困扰着同学们 .在此笔者愿跟大家谈谈对这个问题的看法与认识 .一、哪些问题适合“一分为二”1 方程解的个数的判定与讨论例 1　方程log2 (x+ 4) =3 x 的实数解的个数是 (　　 )(A) 0　　 (B) 1　　 (C) 2　　 (D) 3解　令 y1 =log2 (x + 4) ,y2 =3 x.作出函数y1 与y2的图象 (如图 1) .由图 1可知 …     

谈谈空间塞瓦定理及其逆定理

在平面几何中 ,有著名的塞瓦定理及其逆定理 (见文 [1]中Ｐ .2 4 4～ 2 4 6) .文 [2 ]中定理 6- 16与文 [3]中定理分别给出了塞瓦定理在三维空间的两个推广 .在三维空间中 ,其实我们可以提出更贴近平面情形的空间塞瓦定理及其逆定理 .定理 1(空间塞瓦定理 )　设Ｐ是四面体Ａ1 Ａ2 Ａ3 Ａ4内任一点 ,平面ＡｉＡｊＰ(ｉ ,ｊ =1,2 ,3 ,4 ,ｉ≠ｊ)与棱ＡｉＡｊ的对棱ＡｋＡｓ 相交于点Ｄｋｓ(Ｄｋｓ与Ｄｓｋ表示同一点 ) ,则　 Ａ1 Ｄ1 2Ｄ1 2 Ａ2·Ａ2 Ｄ2 3Ｄ2 3 Ａ3·Ａ3 Ｄ31 Ｄ31 Ａ1=Ａ2 Ｄ2 3Ｄ2 3 Ａ3·Ａ3 Ｄ34Ｄ34Ａ4·Ａ4Ｄ42Ｄ42 Ａ…     

猜想--打开数学思维的钥匙

“怎样才能学好数学 ?”相信许多同学都曾不止一次地想过这个问题 .说真的 ,回答这个问题远比解一道数学问题要难得多 .影响数学学习的因素有很多 ,但是我们认为有一种精神是学习数学所必须具备的 ,那就是对未知世界的大胆猜想和坚持不懈的探求精神 .本文从一个问题出发 ,说明怎样才能更好地学好数学 ,从而展现数学如何使一个人变得更聪明 .问题 1　点Ｐ是双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1上任意一点 ,Ｆ2 为双曲线的右焦点 ,Ａ1、Ａ2 分别是双曲线的左、右顶点 ,直线ＰＡ1、ＰＡ2 分别交右准线ｌ于Ｍ、Ｎ ,试证∠ＭＦ2 Ｎ为定值 (如图 1) .　　　…     

“so+助动词+主语”与“so+主语+助动词”的区别

一、“so +助动词 (be/情态动词 /do/have等 ) +主语”1、这个倒装句结构 (so副词排列第一 ,助动词排列第二 ,主语排列第三 )表示前文所述的肯定情况也适合于后者 ,即“甲如何 ,乙也一样”。如 :⑴HeisgoodatChinese .Soishisfriend .⑵Icanswim .Socanyou .⑶SheknowsJapanese .Sodoesherbrother.⑷Wehavelistenedtotheradio .Sohashe .2、注意这一结构中的主语可以是名词或人称代词 ,但它和前句的主语不是同一人物 ,即前后两句各有自己的主语 ,但所述情况却不相同。又如 :Iboughtsomebeef .Sodidhe .3、这一结构的否定形式是“Neith…     

关于圆外切闭折线的几个不等式

设△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ,ｃ,其内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),则有下面的不等式(证略):ＡＩ2+ＢＩ2+ＣＩ2≥14(ａ2+ｂ2+ｃ2)+3ｒ2(1)文献[1]中还有以下不等式:ＡＩ+ＢＩ+ＣＩ≥6ｒ(2)(1),(2)中等号成立当且仅当ａ=ｂ=ｃ.定理1　设平面闭折线Ａ1Ａ2Ａ3…ＡｎＡ1有内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),其边长为|ＡｉＡｉ+1|=ａｉ(ｉ=1,2,…,ｎ,且Ａｎ+1为Ａ1),则有:∑ｎｉ=1ＡｉＩ2≥14∑ｎｉ=1ａ2ｉ+ｎｒ2(3)当且仅当ａ1=ａ2=…=ａｎ时取等号.　　证明　设已知闭折线的边ＡｉＡｉ-1,ＡｉＡｉ+1分别与内切圆切于点Ｂｉ-1,Ｂｉ(如图1),设|ＡｉＢｉ-1|=|ＡｉＢｉ|=ｘｉ(ｉ…     

排列组合混合问题解答策略

在平时解答排列组合问题时,我们首先要认真审题,弄清是排列问题还是组合问题,还是排列与组合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用灵活恰当的方法来加以处理。一、特殊元素优先安排对于带有特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其他元素:例1:用0,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有()A、24个B、30个C、40个D、60个分析:因组成的三位数为偶数,末尾的数字必须是偶数,又0不能排在首位,故0是其中的“特殊”元素,应优先安排,按0排在末尾和0不排在末尾分为两类:①当0排在末尾时,有A24个;②当0不排在末尾时,三位偶数4有A1A1A1个,据加法原理,其中偶数共有A2 A1A131=30个,选B。二、混合问题先选后排对于排列与组合的混合问题,可采取先选出元素,后进行排列的策略。例2:4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子,则恰有一个空盒的放法有()种。分析:这是一个排列与组合的混合问题,因恰有一个空盒,所以必有一个盒子要放2个球,故可分两步进行:第一步先选,从4个球中任选2个球,有C2种选法,从4个盒子中选出3个,有C3种选法;第二步排列,把选出的2个球视为一个元素,...     

通过实例讲解“有一个”与“只有一个”的区别

在数学命题中,经常出现“有一个”、“只有一个”的提法。学生初次接触,往往对于两者的含义理解不清。混为一谈。对此,我们可以通过一些实例来加以说明和比较,从中来理解“有一个”与“只有一个”本质上的区别。例如 (1)某班有一个女同学身高1.75米。 (2)某班只有一个女同学身高1.75米。 (1)说的是这个女同学的身高1.75米,与班内其他女同学的身高无关,即允许下面两种情况之一     

在游戏中老师应当“教”还是“不教”

游戏和教学的关系问题,在我国一直是一个颇有争议的问题。在游戏中老师应当“教”还是“不教”,正是这个问题在实践中的具体化。造成这种争端的根源在于,人们对于成人在儿童游戏中的作用的看法以及对于教学概念的理解不同。本期《游戏讲谈》我们就来讨论这个问题。     

不平均分组、不平均分配;平均分组、平均分配的方法总数有多少?

在排列、组合问题中有一类平均或不平均分组、平均分配或不平均分配的问题 ,其方法总数的计算常常容易混淆 .如1.将 6本不同的书 ,分成三堆 (组 ) ,每堆各 1本 ,2本 ,3本有多少种不同的方法 ?2 .将 6本不同的书 ,分给甲、乙、丙三个同学 ,每人分别得 1本 ,2本 ,3本 ,有多少种不同方法 ?3.将 6本不同的书 ,平均分为三堆 (组 ) ,即每组均为 2本 ,各多少种不同的方法 ?4 .将 6本不同的书平均分给甲、乙、丙三个同学 ,每人都得到 2本 ,有多少种不同的方法 ?这些问题的表述似很相近 ,但计算方法却不相同 .下面 ,我们对更一般的情况进行讨论 .对于…     

关于命题的否定

对于数学命题的构造,刊物上已有不少讨论,特别是对于数学命题的否定(直接涉及到反证法)也有许多讨论.但笔者认为,在许多讨论中,对目前存在的问题反驳不力,解释不通俗.人们并不那样愉快地接受.因此,笔者想就此问题,谈一些自己的看法. 一、考察几个错误证明 1.关于“原命题与逆否命题的等价性”证明 这个事实是众所周知的,但是对于此命题的证明在一些书籍和刊物上是不正确的.我们     

n元排列反序数的分布

在一个排列中 ,一个大数在一个较小数前面 (左边 )的 ,叫一个反序 ,如 4元排列 1 43 2中有 3个反序 .1 72 9年 ,英国数学家马克劳林借助n元排列的反序数 ,科学地引入了n阶行列式的概念 .然而关于n元排列的反序数 ,至今还有一个不易解决的有趣问题 .1　n元排列反序数的分布这个问题是 :对于任何一个正整k,能找到多少个n元排列 ,使它们的反序数恰为k ?计算 5元以下排列的反序数可得下表 ( f(n ,k)表示反序数为k的n元排列个数 ) .nf(n ,k)k 0 12 345 6 7891011　　　　　　　　2 11　　　　　　　　312 2 1　　　　　　　4 135 6 5 31　　　　5…     

似是而非的比

《四边形》中我们碰到过这样的一个问题:“一个四边形的内角比为1∶2∶3∶4,则相应外角比是”答案是“4∶3∶2∶1”.很快有同学提出疑问:“是不是四边形的内角比与相应外角比正巧相反呢?”针对这个问题我们来共同探讨一下.如果将题目改为“一个四边形的内角比为3∶4∶5∶6,则相应外角比是”.结果算得相应的外角分别为120°,100°,80°,60°,所以相应的外角比为6∶5∶4∶3.似乎提出的问题是肯定的.但很快有同学问:“如果内角比不是连续自然数的比,那么相对应的外角比还与内角比相反吗?”于是我们再用一组比来检验一下.若一个四边形的内角比为…     

一类不等式的推广

对于以下不等式问题 ,本文将它们作统一的推广 ,从而较好地揭示了问题的实质和它们相互间的联系 .问题 1[1] (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明 :对任意实数ａ>1,ｂ>1,有不等式 ａ2ｂ- 1+ｂ2 ａ- 1≥ 8.问题 2 [2 ] 设ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 是大于 1的实数 ,且ｋ≥ 2 ,ｋ∈Ｎ ,则有不等式ａｋ1ａｉ1- 1+ ａｋ2ａｉ2 - 1+… + ａｋｎａｉｎ - 1≥ ｎｋｋ(ｋ- 1) ｋ- 1,(其中ｉ1,ｉ2 ,… ,ｉｎ 是 1,2 ,… ,ｎ的一个排列 )问题 3[3] 　 (《数学通报》2 0 0 0年第 11期数学问题 12 84 )已知实数ａ >1,ｂ>1,ｃ>1,求证 :ａ3ｂ2 - 1+ ｂ3ｃ2 - 1…     

话说“无穷”

“无穷”这个概念贯穿于整个数学 .因此 ,包括魏尔 (Ｈ .Ｗｅｙｌ)在内的不少学者认为 ,数学是唯一处理“无穷”这个概念的科学 .最早研究“无穷”问题的是古希腊数学家欧几里德 ,他在《几何原本》中提出一个命题 :质数有无穷多个 .并用反证法给出了一个精彩的证明 .假设质数只有ｎ个 ,不妨设它们为 ｐ1 、ｐ2 、ｐ3、ｐ4 、… ,ｐｎ,那么 ,构造一个新数Ｍ =ｐ1 ｐ2 ｐ3ｐ4 …ｐｎ +1,这个新数Ｍ不能被ｐ1 ,ｐ2 ,ｐ3,… ,ｐｎ中任何一个质数整除 ,所以Ｍ不可能为合数 ,而Ｍ也不等于 ｐ1 ,ｐ2 ,ｐ3,… ,ｐｎ 中的任一个 ,这与前面的假设质数…     

气体体积增大，一定对外做功吗？

由于在中学物理教学中 ,有关气体做功的例题和习题 ,大都是“气体体积增大 ,气体对外做功”这一类简单问题 ,久而久之就使部分学生和教师形成了这类问题的思维定势 .因而认为“气体体积增大就对外做功”图 1这一结论是不容置疑的 .所以我们有必要对这一问题进行讨论 ,并予以澄清 .请看下面一道题 :一定质量的理想气体 ,由平衡态Ａ变化到平衡态Ｂ ,如图 1所示 ,则无论经过什么过程 ,系统必然(Ａ)对外做功 .　　　　 (Ｂ)内能增加 .(Ｃ)从外界吸热 .　　　 (Ｄ)向外界放热 .图 2[分析 ]本题由平衡态Ａ变化到平衡态Ｂ ,可以经过任意过程 ,是否…     

关于两个猜想的证明

文 [1 ]提出两个关于正四面体中不变量的猜想 :猜想 1　设Ｐ为正四面体Ａ1Ａ2 Ａ3 Ａ4 内切球上的任意一点 ,ｒ为内切球半径 ,过Ｐ分别作棱Ａ3 Ａ4 、Ａ2 Ａ4 、Ａ2 Ａ3 、Ａ1Ａ4 、Ａ1Ａ3 、Ａ1Ａ2 的垂线 ,其垂足分别为Ｍ1、Ｍ2 、Ｍ3 、Ｍ4 、Ｍ5、Ｍ6,则∑6ｉ=1ＰＭ2 ｉ=2 2ｒ2 。猜想 2　设Ｐ为正四面体Ａ1Ａ2 Ａ3 Ａ4 内切球上的任意一点 ,ｒ为内切球半径 ,过Ｐ分别作面Ａ2 Ａ3 Ａ4 、Ａ1Ａ3 Ａ4 、Ａ1Ａ2 Ａ4 、Ａ1Ａ2 Ａ3 的垂线 ,其垂足分别为Ｎ1、Ｎ2 、Ｎ3 、Ｎ4 ,则∑4ｉ=1ＰＮ2 ｉ=1 63ｒ2 。图 1今给出证明如下 :先用解析法证…     

圆内接闭折线垂心的一个有趣性质

本文揭示圆内接闭折线垂心的一个有趣性质 .为了节省篇幅 ,沿用文献 [1 ]中的有关概念而不复述其意义 .本文得到的结果是 :定理　设 3≤ｋ <ｎ ,Ａ1Ａ2 Ａ3 …ＡｎＡ1内接于圆Ｏ ,其垂心为Ｈ ,且其顶点子集 {Ａ1,Ａ2 ,… ,Ａｋ}、{Ａｋ,Ａｋ+ 1,… ,Ａｎ,Ａ1}、{Ａ2 ,Ａ3 ,… ,Ａｋ-1}、{Ａｋ + 1,Ａｋ+ 2 ,… ,Ａｎ}的垂心分别为Ｈ1、Ｈ2 、Ｈ3 、Ｈ4,则△ＨＨ1Ｈ2 ≌△ＯＨ4Ｈ3 证明　以圆心Ｏ为原点建立直角坐标系ｘＯｙ ,设顶点Ａｉ 的坐标为 (ｘｉ,ｙｉ) (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,点Ｈ、Ｈ1、Ｈ2 、Ｈ3 、Ｈ4的坐标分别为 (ｘ ,ｙ)、(ｘ1,ｙ…     

不完全归纳法的应用举例

不完全归纳法是通过对一类事物中的部分个体的研究 ,推断出这一类事物的一般性结论的推理方法 .不完全归纳法的过程通常是 :选取个体———观察分析———推测结论 .不完全归纳法对于发现问题的结论和探索解题思路有独到的作用 ,对于解选择题和填空题十分适用 ,对于某些与自然数有关的解答题也可帮助探索 ,但要用数学归纳法证明 .下面通过例题来说明不完全归纳法的应用 .一、利用不完全归纳法解选择题例 1　已知数列 {ａｎ}满足ａｎ+1 =ａｎ -ａｎ- 1 (ｎ≥ 2 ) ,ａ1 =ａ,ａ2 =ｂ,记Ｓｎ =ａ1 +ａ2+… +ａｎ,则下列结论正确的是 (　　 )(Ａ)…