条件分式求值的化归法举例

化归法是解条件分式求值问题的一种有效方法 ,现举实例加以说明。例 1　已知ｘ2 - 3ｙ2 =2ｘｙ ,ｘ >0 ,ｙ >0 ,求ｘ - ｙｘ +ｙ的值 .解 :由已知条件 ,得ｘ2 - 2ｘｙ - 3ｙ2 =0 ,∴ (ｘ - 3ｙ)·(ｘ +ｙ) =0∵ｘ >0 ,ｙ >0 ,有ｘ +ｙ >0 ,∴ｘ - 3ｙ =0 ,即ｘ =3ｙ∴ｘ - ｙｘ +ｙ=3ｙ - ｙ3ｙ +ｙ=2 ｙ4 ｙ=12 .例 2　已知 :ｘ +2 ｙ +ｚ =0 ,3ｘ - ｙ - 11ｚ =0 (ｚ≠ 0 ) ,求ｘ2 - ｙ2 +ｚ2ｘｙ +ｙｚ +ｚｘ的值 .解 :由已知条件视ｚ为常数可得方程组ｘ +2 ｙ =-ｚ ,3ｘ - ｙ =11ｚ 解得ｘ =3ｚｙ =- 2ｚ∴原式 =(3ｚ) 2 - (- 2ｚ) 2 +…     

构造法解根式求值问题的若干思路

与二次根式有关的代数式求值问题是二次根式教学中的难点之一 ,同时又是学生必须掌握的重点 ,近年来在全国各地中考和初中数学竞赛中频繁出现 .解答这类问题的关键在于构造相关的式子 ,本文拟通过举例介绍几种常见的思路 .1　构造基本对称式例 1　若ｘ=3 - 23 2 ,ｙ=3 23 - 2 ,求 3ｘ2 - 5ｘｙ 3ｙ2 的值 .解　由已知得ｘ ｙ=1 0 ,ｘｙ=1 ,所以原式 =3(ｘ ｙ) 2 - 1 1ｘｙ　　　　 =3× 1 0 2 - 1 1 × 1 =1 7.2　构造零值整系数多项式例 2　当ｘ =3 - 1时 ,代数式ｘ 4ｘ3 6ｘ2 5ｘ- 3 - 1 5 的值是 .解　由已知得ｘ 1 =3 ,两边平方 ,…     

分式求值的代入技巧

代入法是数学中一种非常重要的解题方法 ,解题时 ,若能根据题设条件和求值式的特点 ,灵活运用代入法 ,则可巧妙地求出问题的解 .一、整体代入例 1　若ｘ - 1ｘ=1,则ｘ3 - 1ｘ3 的值为 (　　 ) .(Ａ) 3　 (Ｂ) 4　 (Ｃ) 5　 (Ｄ) 6(2 0 0 0年湖北省初中数学竞赛试题 )　解　∵　ｘ- 1ｘ =1,∴　ｘ3 - 1ｘ3 =ｘ - 1ｘ ｘ2 +ｘ·1ｘ+1ｘ2=ｘ - 1ｘ ｘ - 1ｘ2 +3=1× (12 +3) =4.故选 (Ｂ) .例 2　已知 1ａ - 1ｂ =2 ,则2ａ -ａｂ - 2ｂａ - 3ａｂ -ｂ 的值为. (江苏省第十五届数学竞赛初二试题 )　解　由 1ａ - 1ｂ =2 ,得 1ｂ - 1ａ =- 2 .视…     

“代入一配方法”巧解二元二次函数最值赛题

本文研究一类二元二次函数的条件最值问题(即条件式、函数式均为二元二次式 ) .该类问题通常须借助于三角知识或数形结合方法求解 .倘若有高超的配方技巧 ,则只须巧用纯代数方法 :代入—配方法 ,便可简洁解之 .1　巧用“代入—配方法”解二元二次函数取值范围例 1　 (1995年湖北黄冈地区初中数学竞赛题 )若ｘ、ｙ∈Ｒ ,且 12 ≤ｘ2 + 4 ｙ2 ≤ 2 ,则ｘ2 - 2ｘｙ + 4 ｙ2的取值范围是 .解　ｉ)考虑 2≥ｘ2 + 4 ｙ2=23(ｘ2 - 2ｘｙ + 4 ｙ2 ) + 13(ｘ2 + 4ｘｙ + 4 ｙ2 )=23(ｘ2 - 2ｘｙ + 4 ｙ2 ) + 13(ｘ+ 2 ｙ) 2≥ 23(ｘ2 - 2ｘｙ + 4 ｙ2…     

妙题巧解(四)

1 已知ｘ2 ｙ2 +ｘ2 +ｙ2 -4ｘｙ -8ｘ -8ｙ + 2 5=0 ,求ｘ、ｙ的值 .2 已知ａ、ｂ、ｃ都是正实数 ,且ａ >ｂ.求证 :ａ2 +ｃ2 -ｂ2 +ｃ2 <ａ-ｂ.3 已知 2 5ａ -5ｂ +ｃ =0 (ａ≠ 0 ) .求证 :ｂ2 ≥ 4ａｃ.4 已知△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足不等式ａ+ｂ +ｃ + 1 7≤ 4ａ -8+ 6ｂ-3+ 8ｃ-1 ,试判定△ＡＢＣ的形状 .5 若ｘ1、ｘ2 是方程ｘ2 + 5ｘ -7=0的两个根 ,则 (2ｘ21+ 1 3ｘ1-1 9) (2ｘ22 + 1 3ｘ2 -1 9)的值是.参考答案1 已知等式可变形为 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ) 2-8(ｘ +ｙ) + 1 6 =0 ,即 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ -4 ) 2=0 .∴　ｘ…     

巧用倒数法解题

所谓倒数法 ,是指将已知或求值的式子取倒数 .用这种方法常可巧解一些含已知条件的代数式求值问题 .请看如下两题 .例 1　已知ｘ + 1ｘ =3.求代数式ｘ2ｘ4 +ｘ2 + 1 的值 .解 :∵ｘ + 1ｘ=3,∴ｘ + 1ｘ2 =9.整理得ｘ2 + 1ｘ2 =7.∴ｘ4 +ｘ2 + 1ｘ2 (将求值的式子取倒数 )=ｘ2 + 1ｘ2 + 1 =8.即　 ｘ2ｘ4 +ｘ2 + 1 =18.例 2　设 ｘｘ2 +ｘ + 1 =ａ ,其中ａ≠ 0 .则ｘ2ｘ4 +ｘ2 + 1 =.解 :∵ ｘｘ2 +ｘ + 1 =ａ ,且ａ≠ 0 ,∴ｘ2 +ｘ + 1ｘ =1ａ(将已知式子取倒数 ) .∴ｘ + 1ｘ=1ａ- 1 .故ｘ4 +ｘ2 + 1ｘ2 (将求值的式子取倒数 )=ｘ2 + 1 + 1…     

整体思想的解题作用

整体思想的核心是通过对问题整体结构的审视和把握 ,提示问题的实质 .它对培养学生的创新意识和创新能力有着极大的帮助 ,对许多数学问题的解决显示出令人瞩目的特殊作用 .1　寻找解题方法有些题目一时难以识别属于哪个类型 ,甚至因为运用常规方法失灵而陷入困境 .这时 ,运用整体思想 ,易获求解方法 .例 1　ｘ、ｙ、ｚ均为非负数 ,且满足关系式 :ｘ =ｙ+ｚ- 1=4 -ｙ- 2ｚ,求ｕ =2ｘ2 - 2ｙ-ｚ的最值 .析与解　若将ｘ与ｙ表示为关于ｚ的式子 ,并代入ｕ得关于ｚ的二次函数 ,只能求得最小值 ,求不出最大值 ,思维受阻 .若将ｘ+ｙ +ｚ作为整体设…     

构造一元二次方程解一类和积问题

在数学竞赛中 ,会碰到一类与两数和与积有关的问题 ,文 [1]给出了这类问题的解 ,笔者通过思考 ,发现对其中的一些问题可以通过构造一元二次方程求解 .例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ为实数 ,且ｘ + ｙ+ｚ= 5 ,ｘｙ+ｙｚ+ｚｘ =3 ,试求ｚ的最大值与最小值 .(加拿大第 10届数学竞赛题 )解　由题意 ,ｘ+ ｙ =5 -ｚ ,ｘｙ =3 -ｚ(ｘ+ｙ) =3 -ｚ(5 -ｚ) =ｚ2 -5ｚ + 3 ,所以ｘ ,ｙ是关于ｐ的一元二次方程 ｐ2 -(5 -ｚ)ｐ+ (ｚ2 -5ｚ+ 3 ) =0的两个实数根 ,从而Δ =(5 -ｚ) 2 -4 (ｚ2 -5ｚ+ 3 ) =-3ｚ2 +10ｚ + 13 ≥ 0 ,解得 -1≤ｚ ≤ 133 .因此 ,ｚ的最…     

构造一元二次方程解决一类条件最值问题

在约束条件Ａｘ2 +Ｂｘｙ +Ｃｙ2 =Ｍ下 ,求函数ω =Ａｘ2 +Ｄｘｙ+Ｃｙ2 　 (Ａ、Ｃ、Ｍ∈Ｒ+,Ｂ、Ｄ∈Ｒ)的最值 ,贵刊文 [1]、[2 ]和 [3]给出了三种解法 ,读罢颇受启发 .笔者也作了一些探讨 ,发现了解决它的一种新方法 ,即构造一元二次方程来解决它 .下面就以文 [1]中的例子来具体说明这种解法 .例 1　 (1993年全国高中联赛题 )已知ｘ ,ｙ∈Ｒ ,且 4ｘ2 - 5ｘｙ + 4 ｙ2 =5 ,记Ｓ =ｘ2 + ｙ2 ,求 1Ｓｍａｘ +1Ｓｍｉｎ 的值 .解　将ｘ2 + ｙ2 =Ｓ代入条件式 ,得　　ｘｙ=4Ｓ- 55 ,即ｘ2 ｙ2 =4Ｓ- 552 .因此 ,ｘ2 与 ｙ2 是关于ｚ的一元…     

对一类求面积习题解法的探究

下面是两道流行的习题解答 :例 1　一平行四边形的两邻边长分别为 2和 4 ,两对角线的夹角为 6 0° ,试求其面积 .解　设平行四边形的对角线的长分别为 2ｘ、2 ｙ ,面积为Ｓ ,则有　　Ｓ =4 · 12 ｘｙｓｉｎ6 0° =3ｘｙ .又据余弦定理得　　 ｘ2 + ｙ2 - 2ｘｙｃｏｓ6 0°=2 2 ,ｘ2 + ｙ2 - 2ｘｙｃｏｓ12 0°=4 2 . (1)解之得　ｘｙ=6 ,所以Ｓ =6 3.例 2　已知平行四边形的两邻边长分别为 2和4 ,其两对角线的夹角为 4 5° ,试求该平行四边形的面积 .解　设法同题 1,则Ｓ=4 · 12 ｘｙｓｉｎ4 5°=2ｘｙ .而　　　 ｘ2 + ｙ2 - 2ｘｙｃｏｓ…     

初三代数期末综合训练题

一、填空题1 若ｘ1和ｘ2 是方程ｘ2 -5ｘ + 2 =0的两个根 ,则ｘ1+ｘ2 =,ｘ1·ｘ2 =.2 已知方程组 ｘ+ｙ=2 ,ｘｙ=-1 5 ,则以ｘ、ｙ为两根的一元二次方程是　　　　　　　　　　 .3 方程组 2ｘ -ｙ =1 ,4ｘ2 -ｙ2 =7的解是 .4 解方程 ｘ + 3ｘ2 -1 + ｘ2 -1ｘ + 3=2 65 时 ,若设ｙ=ｘ+ 3ｘ2 -1 ,则原方程可变形为　　　　　　　　 .5 在数据组 -1 ,0 ,3,6 ,7,9,1 3中插入一个数据ｘ,使这组数据的中位数是 5 ,则ｘ的值是 .6 图象经过Ａ( 0 ,3)、Ｂ( -1 ,0 )两点的一次函数的解析式是 .7 若抛物线经过Ａ( -1 ,0 )、Ｂ( 3,0 )、Ｃ( 0 ,3)三…     

看谁解得巧

题 1　设实数ｍ、ｎ分别满足ｍ2 +99ｍ +5 =0 ,5ｎ2+99ｎ +1 =0 ,且ｍｎ≠ 1 .求 ｍｎ+1 4ｎ +1ｍ 的值 .　解　(构造一元二次方程 )∵　ｎ≠ 0 ,∴　 1ｎ2 +991ｎ +5 =0 .又ｍ2 +99ｍ +5 =0 ,且ｍｎ≠1 ,∴　 1ｎ,ｍ是一元二次方程ｘ2 +99ｘ+5 =0的两相异实根 .∴　 1ｎ+ｍ =- 99,ｍｎ =5 .∴　ｍｎ+1 =- 99ｎ,ｍ =5ｎ.故 ｍｎ+1 4ｎ +1ｍ =- 99ｎ +1 4ｎ5ｎ =- 1 7.(四川　侯国兴提供 )题 2　已知正整数ｘ、ｙ满足ｘｙ+ｘ+ｙ =71 ,ｘ2 ｙ +ｘｙ2 =880 .求ｘ2 +ｙ2 的值 .　解　由 ｘｙ+ｘ+ｙ=71 ,ｘ2 ｙ +ｘｙ2 =880 ,得ｘｙ+(ｘ+ｙ) =71 …     

探究方法 讲求实效——提高初中数学解题能力

一、运用整体法例1已知-2x+y=5,求20x~2-20xy+5y~2-6x+3y+1870的值.分析用整体思维处理问题,就是从大处着眼,不局限于细微枝节,有时可把已知条件或解题过程中所得的中间结果作为一个整体,代入所求的式子中,使问题能快捷解决.     

数学奥林匹克高中训练题(59)

第　一　试一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1.已知ｘ、ｙ是两个不等的正数 ,则Ａ =ｘ2 +ｙ22- ｘ +ｙ2 ,Ｂ =ｘ +ｙ2 -ｘｙ ,Ｃ =ｘｙ - 21ｘ + 1ｙ的大小顺序是 (　　 ) .(Ａ)Ａ >Ｂ >Ｃ　　　　 (Ｂ)Ａ >Ｃ >Ｂ(Ｃ)Ｂ >Ａ >Ｃ　 (Ｄ)Ｂ >Ｃ >Ａ2 .函数ｙ =ｆ(ｘ)与ｙ =ｇ(ｘ)有相同的定义域 ,对定义域中任何ｘ ,有ｆ(ｘ) +ｆ(-ｘ) =0 ,ｇ(ｘ)ｇ(-ｘ)= 1,且当ｘ≠ 0时 ,ｇ(ｘ)≠ 1.则Ｆ(ｘ) =2ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) - 1+ｆ(ｘ)是 (　　 ) .(Ａ)奇函数　 (Ｂ)偶函数(Ｃ)既是奇函数又是偶函数(Ｄ)非奇非偶函数3 .已知ａ、ｂ为非零常数 .若Ｍ =ａ…     

例谈整体思想的解题策略

运用整体思想解题,是指通过观察把解题的注意力和着眼点放在问题的整体结构上,从而触及问题的本质,达到求解的目的,它是数学解题中一个极其重要而有效的策略,是提高解题速度及效率的有效途径.■一、整体代入把题中的一些组合式子视作一个“整体”,并把这个“整体”直接代入另一个式子,可以避免由局部运算带来的麻烦.例1如果虚数Z满足Z3=8,那么Z3+Z2+2Z+2的值是多少?解:由Z3=8可得Z3-23=0,也即:(Z-2Z2+2Z+4=0.由于Z为虚数,从而有Z≠2,∴Z2+2Z+4=0,也即Z2+2Z+2=-2∴Z3+Z2+2Z+2=8-2=6.■二、整体观察有些选择题看似要推算,但若能凭借有…     

运用整体思想简化求解数学竞赛题

整体思想是一种重要的数学思想,时常运用于解题之中,可使解题简捷扼要,现举例说明。一、整体代入把已知或已知变形后的式子作为一个整体代人求值式,可避免局部运算带来的麻烦。     

椭圆不等式及其应用

若ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1,则有不等式ａ2 +ｂ2 ≥ (ｘ±ｙ) 2 .这个不等式很容易证明 :ａ2 +ｂ2 =(ａ2 +ｂ2 ) ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2=ｘ2 +ｙ2 +ｂ2 ｘ2ａ2 +ａ2 ｙ2ｂ2≥ｘ2 +ｙ2 +2ｘｙ=(ｘ +ｙ) 2 ,用 -ｙ代ｙ ,得ａ2 +ｂ2 ≥ (ｘ -ｙ) 2 .由于条件是椭圆的方程 ,所以我们称上面的不等式为椭圆不等式 .这个不等式的应用很广泛 ,特别是用来求“希望杯”数学竞赛中二元函数的最值或值域问题时显得更加简便 .一、求二元函数的最值例 1　已知ａ ,ｂ∈Ｒ且ａ +ｂ+1=0 ,求(ａ -2 ) 2 +(ｂ-3 ) 2 的最小值 .解　设 (ａ-2 ) 2 +(ｂ -3 ) 2 =ｔ,则(ａ-2 ) 2…     

错在哪里

题　实数ｘ、ｙ满足ｘ2 -2ｘｙ ｙ2 -3ｘ -3ｙ 1 2 =0 ,则ｘｙ的最小值是 (　　 )。(Ａ) 1 2　 (Ｂ) 4 51 6 　 (Ｃ) 2 14 　 (Ｄ)不存在。解法 1　由ｘ2 -2ｘｙ ｙ2 -3ｘ -3ｙ 1 2 =0 ,得ｘｙ =ｘ2 ｙ2 -3ｘ -3ｙ 1 22=(ｘ -32 ) 2 ( ｙ -32 ) 2 2 122 ≥2 14 ,     

例释求代数式的值

求代数式的值是初中数学非常重要的代数问题,它题型多样,形式多变,是培养学生多向思维和创新能力的一种重要题型。其“代入”思想是解题的主要思想,代入技巧的掌握可以有效地培养学生分析问题的能力和极大地激发学生学习数学的兴趣。1已知字母的值,求代数式的值———基本题型这类题型主要采用单项式代入法例1,已知:a=-1,b=-2,c=21,求代数式4ac-b2值(解略)2未知字母取值,求代数式的值2.1利用已知条件求出字母的值———采用单项式代入法2.1.1利用解方程(组)求字母的值例2,已知:a-2=0,求代数式(3-a)2-2(a-1)+3的值。分析:由a-2=0,可得a=2,代入原式即可求值。例3,已知:(x-2)2+︱x-2y︱=0,求代数式3x一2y2的值。分析:由非负数的性质可知.xx--22y==00得xy==12再代入求值。2.1.2利用因式分解求字母的值。例4,已知:a2-b2+2b-l=0,求3a2-2b2的值。分析:由已知利用因式分解可得(a+b-1)(a-b+1)=0再利用性质“若ab=0,则a=0,或b=0”得到a+b-1=0a-b+1=0即可求出ab==10再代入求值。2.1.3利用概念求字母...     

二元(或三元)一次方程组的解法

解二元 (或三元 )一次方程组除教材中介绍的代入消元法和加减消元法两种基本解法外 ,为了开阔同学们的视野 ,提高解题能力 ,本文补充几种解法 ,供参考。一、整体代入法———当方程组中某个未知数的系数成整数倍时 .例 1　解方程组 2ｘ +5 ｙ =- 2 1　①ｘ +3ｙ =8　　　②解 :由①得 2 (ｘ +3ｙ) -ｙ =- 2 1　③ ,把②代入③得 16 - ｙ =2 1,ｙ =37,把 ｙ =37代入②解得ｘ =- 10 3,∴ ｘ =- 10 3ｙ =37二、消常数项法———当方程组中的常数项成整数倍时 .例 2　解方程组4ｘ +3ｙ =10　　①9ｘ - 7ｙ =- 5　　②解 :① +②× 2得2 2ｘ - 11…