关于直线和平面划分区域个数问题的探究

关于直线 (平面 )划分平面 (空间 )区域个数问题 ,在各类高中数学书刊和试题中出现频率较高 ,往往解法难度较大且答案容易出错。本文给出两个定理和两个推论 ,使这两类问题一并得到圆满地解决。定理 1　已知平面内有ｎ条直线 ,这ｎ条直线有ｍ个交点 ( ｐ条直线共点 ,取交点个数为ｐ -1 ) ,则这ｎ条直线将此平面划分出区域的个数为ｆ(ｎ ,ｍ) =1 ｎ ｍ。证明　 ( 1 )ｎ =1时 ,ｍ =0 ,ｆ(ｎ ,ｍ) =2 ,1 1 0=2 ,定理 1成立。( 2 )假设ｎ =ｋ时 ,ｆ(ｋ ,ｍ) =1 ｋ ｍ。则ｎ =ｋ 1时 ,增加了第ｋ 1条直线ｌｋ 1,设增加了ｍ1个交点Ａ1,Ａ2…     

平行线·三角形·四边形复习指要

(一)复习要点1郾直线、射线和线段(1)直线.在平面几何中,直线是一个不定义的原始念郾直线______端点,向两方无限延伸郾直线的性质郾①______点确定一条直线;②两条直线相交,只有______个交点郾(2)射线.直线上的一点和______________叫做射线郾点不同或者延伸方向______的射线是不同的线郾(3)线段.直线上两点和它们之间的部分叫做_____,这两个点叫做线段的______郾连结两点线段的长度,叫做这两点的______郾两点之间,摇______最短郾2郾角(1)定义郾具有公共端点的两条______组成的图形叫角郾(2)单位与换算.角的度量单位是度、分、秒.1度=摇____…     

平行线·三角形·四边形复习指要

一、相交线·平行线 (一)知识要点 1.直线、射线和线段 (1)直线在平面几何中,直线是一个不定义的原始概念.直线＿＿端点,向两方无限延伸. 直线的性质:①＿＿点确定一条直线;②两条直线相交,只有＿＿个交点. (2)射线直线上的一点和＿＿部分叫做射线.＿＿不同或者＿＿方向不同的射线是不同的射线. (3)线段直线上两点和＿＿的部分叫做线段,这两个点叫做线段的＿＿.连结两点的＿＿,叫做这两点的距离.     

仔细观察 探索规律

问题一两条直线相交有一个交点,三条直线相交最多有几个交点?四条直线相交呢?你能发现什么规律?分析:1、画出图形直接观察,找出交点个数。2、列表比较、探索规律直线条数2条3条4条……n条交点个数1个3个6个变化规律2(2-1)/23(3-1)/24(4-1)/2……n(n2-1)从上述直接观察并比较归纳得出:两条直线相交只有一个交点,三条直线相交最多有三个交点,四条直线相交最多有六个交点,……,一般地,n(n>1)条直线相交最多有n(n2-1)个交点。问题二在一条已知线段上取一点(端点除外),这点把这条线段最多分成三条线段,在这条线段上取两点呢?取三点呢?你能发现什…     

平行线·三角形·四迎形精讲

(一)复习要点1.直线、射线和线段 (1)直线在平面几何中,直线是一个不定义的原始概念.直线没有端点,向两方无限延伸.直线有两个性质:①__点确定一条直线;②两条直线相交,只有__个交点. (2)射线 直线上的一点和它一旁的部分叫做__.端点不同或者延伸方向不同的射线是__同的射线. (3)线段直线上两点和它们之间的部分     

对一道“希望杯”试题的讨论(初二)

第十四届“希望杯”初二第2试第23题:两条直线上各有n个点,用这n对点按如下规则连结线段:①同一直线上的点之间不连结;②连结的任意两条线段可以有共同的端点,但不得有其它的交点.(1)画图说明当n=1,2,3时,连结的线段最多各有多少条?     

平行线·三角形·四边形

相交线与平行线一、复习要点1直线、射线和线段(1)直线没有端点,向两方无限延伸;两点确定条直线;两条直线相交,只有个交点.(2)在直线上某一点一旁的部分叫做;端点不同或者延伸方向不同的射线是同的射线.(3)直线上两个点和它们之间的部分叫做;两点之间,最短;连结两点之间的线段的长度叫做;把一条线段分成两条线段的点叫做线段的中点.2角(1)角的定义:　　　　　　　　　　　　　　　　　;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　叫做周角;叫做平角;叫做直角;叫做锐角;　　　　　　　　　　　叫做钝角.1周角=平角=直角=度;1度=分;1分秒.(…     

2011中考之图形的认识与全等

中考知识梳理一、图形的认识1.线段、射线和直线(1)线段的性质:两点之间,线段最短.(2)两点确定一条直线;两条直线相交,有且只有一个交点.(3)线段的垂直平分线是到线段两个端点距离相等的点的集合.线段     

解析几何中参数问题的求解策略

解析几何中的参数问题,因其涉及的知识面广、变量多,而成为高中数学教学中的一个难点.因而,帮助学生理清解题思路,掌握相关的解题方法,就显得尤为重要.本文运用函数、方程、数形结合等方法,将参数问题转化为函数的值域或最值来解决.运用数形结合探求参数范围例1:若直线mx+y+2=0过一定点C(0,-2)与线段AB有交点,其中A(-3,4),B(4,3),求实数m的取值范围.解:如图1,直线mx+y+2=0过定点C(0,-2),实际上表示的是过定点(0,-2)的直线系,因为直线与线段AB有交点,则直线只能落在∠ACB内,设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2,则由斜率的定义可知,…     

一道课本例题的潜在价值

1　问题的提出高中《代数》(必修 )下册第 70页例 3:平面内有ｎ条直线两两相交 ,其中任何两条不平行 ,任何三条不共点 ,证明交点的个数 ｆ(ｎ) =12 ｎ(ｎ- 1) .在教学中用数学归纳法证明此题并不难 ,但学生往往会提出这样的问题 :这个结论是如何知道的呢 ?可见学生更感兴趣的是通过自己的努力去探索发现结论 .因此 ,这道例题的不足是明显的 ,它束缚了学生的思维 ,使许多有意义的活动在此无法实施 ,故笔者建议将原题改为 :平面内的ｎ条直线最多有多少个交点 ?怎样引导学生解决这个带有探索性的问题呢 ?2　试探—猜想—论证当我们在研究一个抽…     

平行线·三角形·四边形复习指要

一、相交线·平行线 (2)垂线 摇 (一)知识要点 若两条直线相交所成的四个角中有一个是 1.直线、射线和线段 角,则称这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一 ()直线 在平面几何中,直线是一个不定义的原 1 条直线的,它们的交点叫做垂足郾始概念郾 直线 端点,向两方无限延伸郾 垂线的性质:①经过一点有且只有 条直线与 直线的性质:譹 点确定一条直线; 已知直线垂直;②垂线段 郾 譺两条直线相交,只有 个交点郾 点…     

线段、角

基础篇课时一　直线、射线、线段诊断练习一、填空题1.看图1填空:点C不在直线上;点在直线AC上;直线相交于点B.图1图22.如图2,直线AB、CD相交于点E,F是AB上另一点,图中直线有条;线段有条;以这些点为端点的射线有条.3.如图3,C、D是线段AE上两点,B为AC中点,则AC=(　　)BC=(　　)-(　　)=(　　)-(　　)-(　　).图34.已知线段AB,延长AB到C,使AC=3BC,反向延长AB到D,使AD=32AB,则CD是AB的倍,BC是DB的.二、选择题(只有一个答案正确):1.下列说法中正确的是(　　)(A)直线A、B相交于点C.(B)直线ab与cd交于点E.(C)直线a,b有公共点…     

根据条件灵活选用

数学爱好者2006·8例题过点P(3,1)作一条直线,使它夹在两直线2x-y-2=0,x y 3=0之间的线段AB恰被P点平分,求此直线的方程.分析1直线x=3与直线2x-y-2=0,x y 3=0的交点分别是(3,4),(3,-6),由于-62 4=-1≠1,所以x=3不是直线AB的方程.设出所求的直线为y-1=k(x-3),求出点A、B的坐标后     

一道课本直线方程习题的解题策略

<正>习题 经过点A(1,0)的直线l被直线2x-y=0和x+y+2=0所截得的线段恰好被点A平分,求直线l的方程.这是北师大版高中数学选择性必修第一册第26页习题1-1B组第6题.本题相当于知道线段(弦)的中点,求线段所在的直线方程.以下几种解题策略,对于二次曲线的“中点弦”问题同样适用.一、待定斜率法解法1 易知直线x=1与直线2x-y=0和x+y+2=0的交点分别为B(1,2)和C(1,-3),     

数学模拟试题(二)

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.下列说法正确的是()A.两条不相交的直线叫平行线B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C.在同一平面内不相交的两条射线一定平行D.与同一条直线相交的两条直线平行2.如图1所示,点O在直线AB上,OC为射线,∠1比∠2的3倍少10°,设∠1、∠2的度数分别为x、y,那么下列可以求出这两个角的度数的方程组是()A.xx= yy-=1180’0B.xx= 3y=y-1180’0C.xx= 3y=y 1180’0D.x3=y=3y1-810’03.平面上有10个点,其中4个点在一条直线上,其余再无3点共线,过这些点中的任意2点作直线,总共可以作的直线…     

巧用抛物线的一个定理妙解高考题

定理　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0 )对称轴上一定点Ｍ(ｘ0 ,0 )作一条直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,若两交点的纵坐标为ｙ1、ｙ2 ,则ｙ1ｙ2 =- 2ｐｘ0 (定值 ) .证明　设直线ＡＢ方程为ｘ=ｍｙ+ｘ0 ,代入抛物线方程ｙ2 =2ｐｘ ,得ｙ2 2ｍｐｙ - 2ｐｘ2 =0 .因为ＡＢ的纵坐标为ｙ1、ｙ2 ,由韦达定理得　　　ｙ1ｙ2 =- 2ｐｘ0 .特别地 ,当Ｍ(ｐ2 ,0 )时 ,ｙ1ｙ2 =-ｐ2 .(高中《解析几何》课本 10 1页第 8题 )逆定理　一条直线和抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0 )相交 ,若两交点的纵坐标为ｙ1、ｙ2 ,且满足ｙ1ｙ2 =Ａ(定值 ) ,则这条直线恒过定点 (- Ａ2…     

过原点的曲线系

<正>苏教版必修2《两直线的交点》中有道例题:直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,求直线l的方程.课本上的解答如下:联立方程组     

“平面图形及其位置关系”自测题

一、选择题 (每小题 5分 ,共 2 0分 )1 .如图 1 ,AB =1 0 ,AD =6,BC =8,则CD的长是 (　　 ) .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A) 4　　　　 (B) 3　　　　 (C) 2　　　　 (D) 12 .如图 2 ,A ,B ,C是直线AC上的三个点 ,则能用图中字母表示的射线有 (　　 )条 .(A) 6　　　　 (B) 5　　　　 (C) 4　　　　 (D) 33 .下列说法 :( 1 )若线段AM =MB ,则点M是线段AB的中点 ;( 2 )由两条射线组成的图形叫做角 ;( 3 )纯角和锐角是互补的角 ;( 4 )过一点 ,有且只有一条直线与已知直线垂直 ;( 5 )不相交的两条直线叫做平行线 …     

“直线、射线、线段”典型题解析

一、理解概念例1下列说法正确的是().A.线段AB和线段BA表示的是同一条线段B.射线AB和射线BA表示的是同一条射线C.直线AB和直线BA表示的是两条直线D.若点M在直线AB上,则点M也在射AB上解析:线段AB和线段BA表示的是同一线段;直线AB与直线BA表示的也是同一直线;射线AB的端点为A,向点B的方向限延伸,而射线BA的端点为B,向点A的向无限延伸,因此射线AB与射线BA不是一条射线;因为射线是直线的一部分,所以直线AB上的点M不定在射线AB上(如图).所以正确答案为A.例2下列说法正确的是().A.线段AB是A、B两点间的距离B.两点间的距离是…     

几何基本概念·相交线·平行线

（一）知识要点本单元的主要内容是直线、射线、线段和角的概念;线段和角的度量;相交线及其性质;平行线的定义、性质和判定;命题、定理和证明．重点是线段、角、垂线的概念和性质以及平行线的性质、判定及其应用．一、直线、射线和线段1．在平面几何中,直线是一个不定义的原始概念．直线没有端点,向两方无限延伸．直线有两个性质：（1）两点确定一条直线（直线公理）;（2）两条直线相交,只有一个交点．2．射线在直线上某一点一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．射线只有一个端点,而另一端是无限延伸的．端点不同或者延伸方…