巧用角平分线性质证明

角平分线是指把一个角分成两个相等的角的射线.关于角平分线具有如下重要的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.对于一些含角平分线条件的证明问题,巧用这个性质,能简化解题过程,达到事半功倍的效果例1如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足为E、F,求证:EB=FC.证明:∵AD平分∠BAC,又DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF.在△BDE和△CDF中,∵∠DEB=90°,∠DFC=90°,DE=DF,BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC例2如图,△ABC中,O为∠A、∠B平分线的交点,OD⊥BC于D,OE⊥…     

去异求同 启迪思维——从一道题目两种结果说开去

人教版九年级数学上册103页有这样一道题目:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b,求△ABC的内切圆半径r学生在作业中出现如下两种解答方法:解法1:如图1,设三个切点分别为D,E,F,作过切点的半径OD,OE,OF,则OE⊥4C,OD⊥BC,OF⊥AB.∵∠C=90°,∴四边形ODCE是正方形.     

试题我来编

正1编创原题呈现如图1,⊙O的直径AB=12,AM和BN是它的两条切线,D,C分别是射线AM和BC上的动点(不与A,B重合),设AD=x,BC=y,且满足关系式y=36/x,试判定直线DC与⊙O的位置关系,并说明理由.解DC是⊙O的切线.理由如下:如图2,作DF⊥BC于F,作OE⊥CD于E,连结OD,OC.∵AM和BN是⊙O的两条切线,AB是⊙O的直径,     

一题两解的启示

九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r. 解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO. ∵SΔAOC=1/2AC·r SΔBOC=1/2 BC·r S△AOB=1/2AB·r ∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c) 又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab ∴1/2r( a+b+c)=1/2ab ∴r=ab/a+b+c 解法二:利用切线长性质求 作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形.     

圆的不同求证法

数学学习,重在钻研和积累,解数学题更是需要多方面思考、多角度探索.下面我们从不同的角度探求圆中一些习题的解法.同时也希望同学们在学习中多做这方面的尝试.【例1】已知如图1所示,以⊙O的直径BC的一边作等边△ABC,AB、AC分别交⊙O于点D和点E.求证:BD=CE.证法一:如图2所示,连接OD、OE.∵OB=OD,∠B=60°.∴△OBD是等边三角形.∴∠BOD=60°,同理∠COE=60°.∴∠BOD=∠COE.∴BD=CE.证法二:如图3所示,连接BE、CD.∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°.∵∠CDB=60°,∴∠BCD=30°.同理∠CBE=30°.∴∠BCD=∠CBE.∴BE=CD…     

计算弦长方法种种

题目如图1,PA、PB、PC是⊙O的三条弦,PA=a,PB=b,∠APC=30°,∠BPC=60°,求弦PC的长.下面我们以此题为例来分析关于计算弦长的几种方法.解法一:灵活作垂线如图2,连结AB、AC,过点A作AE⊥PC于点E.在Rt△APE中,因为∠APC=30°,PA=a,所以AE=a2,PE=3姨a2.又因为∠ACP=∠PBA,∠AEC=90°,∠APB=∠APC ∠BPC=90°,所以△ACE∽△ABP.P图1COAB图2COPABE所以ECEA=PBPA,所以EC=EA·PBPA=a2·ba=b2,所以PC=PE CE=3姨a b2.解法二:巧用面积法如图3,连结AB、AC、BC,过点A作AE⊥PC于点E,过点B作BF⊥PC于点F.因…     

圆的不同求证法

数学学习,重在钻研和积累,解数学题更是需要多方面思考、多角度探索.下面我们从不同的角度探求圆中一些习题的解法.同时也希望同学们在学习中多做这方面的尝试.例1已知如图1所示,以⊙O的直径BC的一边作等边△ABC,AB、AC分别交⊙O于点D和点E.求证:BD=CE.证法一:如图2所示,连接OD、OE.∵OB=OD,∠B=60°.∴△OBD是等边三角形.∴∠BOD=60°.同理∠COE=60°.∴∠BOD=∠COE.∴BD=CE.证法二:如图3所示,连接BE、CD.∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°.∵∠DBC=60°,∴∠BCD=30°.同理∠CBE=30°.∴∠BCD=∠CBE.∴BE=CD.∴B…     

数学奥林匹克问题

本期问题初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB于E、F.求证:AAFE··FEBB=DDFE.初178如图1,⊙O1与⊙O2外切于D,等腰Rt△ACB内接于⊙O1,切点D在半图1圆AB上.过点A、B、C分别作⊙O2的切线AM、BN、CP,M、N、P分别为切点.求证:AM+BN=2CP.高177如图2,半圆⊙O1的直径为图2AB,D为O1B上一点,且不与O1、B重合,过点D且垂直于AB的直线交半圆⊙O1于点C,⊙O2与半圆⊙O1内切于F,与CD切于点N,与BD切于点M.联结CM、AC、CB,过A作∠BAE=∠ACM,边AE…     

对一道中考试题的探究

一、中考试题例1如图1,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥DC;(2)若AD=2,AC=$5,求AB的长.(2006年江苏省南通市课改实验区中考题)解析:(1)如图1,连接CB,由AB为⊙O的直径,知∠ACB=90°.∵CD切⊙O于点C,∴∠ACD=∠B,又AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC,从而有∠ADC=∠ACB=90°,即AD⊥DC.(2)由(1)知Rt△ADC∽Rt△ACB'AADC=AACB,∴AB=AACD2=($25)2=2.5.二、试题探源上述试题源于几何第三册(人教大纲版)93页例2.例2如图2,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为…     

一道不等式的直观证法

设a>0,b>0,2c>a b,求证(1)c~2>ab;(2)(见贵刊主编的《高三数学教学与测试》95版上册第82页测试题三.5) 文[1]利用二次方程实根分布法给出了一种解法。本文用构造法再给出一种非常简洁直观的证法。 证 作直径为2c的圆⊙O,AB为直径,在OA上取不同于O的点D,过D作弦EF,设ED=a,DF=b,则2c>a b,过D作GH⊥AB, ∵GD·DH=ED·DF.∴GD~2=ab. 又c~2>GD~2=ab,从而(1)成立. 在Rt△GDO中DO=∴在△EDO中,有ED DO>ED>EO-DO,     

值得一练的两道考查逻辑思维的几何证明题

一、试题1.试题1已知:如图1,四边形ABCD中,CB⊥BA于B,DA⊥BA于A,BC=2AD,DE⊥CD交AB于E,连接CE,求证:DE~2=AE·CE证明延长BA、CD相交于点F∵CB⊥BA,DA⊥BA(已知)∴DA//CB(同垂直于一条直线的二直线平行)在Rt△DAF与Rt△CBF中,∠CFB=∠DFA(公共角)∴ADAF~ACBF又∴DA=1/2CB(已知)∴CD=DF又∵ED⊥CF(已知)     

一道几何题的多种证法

在△ ABC中 ,∠ C=90°,CD⊥ AB于 D,AM是∠ BAC的平分线 ,交 CD于 E,交 BC于 M,过E作 EF∥ AB交 BC于 F。求证 :CM=BF。证法一 :(运用三角形知识 )证明 :过 M作 MN⊥ AB于点 N。∵∠ 1=∠ 2 ,易证△ ACM≌△ ANM,∴CM=MN。　 ( 1)又 CD⊥ ABMN⊥ AB CD∥ MN, ∠ 3=∠ 5∠ 4 =∠ 5 ∠ 3=∠ 4 CE=CM。　 ( 2 )由 ( 1)、( 2 )得 CE=MN。在 Rt△ EFC和 Rt△ NBM中 ,EF∥ AB ∠ B=∠ CFE,∠ CEF=∠ MNB,CE=MN Rt△ EFC≌ Rt△ NBM,∴ CF=BM,∴ CM=BF。　　证法二 :(运用四边形知识 )证明 :过 M…     

临界状态生妙思(初三)

例1 如图1.在Rt△ABC中,∠A-90°,⊙O 分别与AB、AC相切于点E、F,圆心O在BC上.若 AB=a,AC=b,则⊙O半径等于( ).     

一道值得商榷的中考题

试题 如图1,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,从点D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB．     

构造基本图形灵活运用性质

如图1,若OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,则PD=PE;反之,若PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,且PD=PE,则点P在∠AOB的平分线上,即OC平分∠AOB.这就是角平分线的性质定理及其逆定理,图1是定理的基本图形,很多几何题都含有该图的“影子”,因而可以简捷地利用基本图形来解题.例1已知:如图2,BD平分∠ABC,AD=CD,求证:△ABD≌△CBD.分析:直接证明这两个三角形全等缺少条件,由BD平分∠ABC联想到角平分线性质定理的基本图形,过D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F,则DE=DF:由“HL”易证Rt△DFC≌Rt△…     

三角形面积公式的应用之总结

三角形的面积 :S=底×高 ÷ 2 .应用面积关系图 1求解 ,有时可使解题简章明了 .1　利用面积的不变性解题例 1　如图 1,在Rt△ABC中 ,∠C =90° ,AC =4 ,BC =3,CD ⊥AB于D ,求CD .解析　在Rt△ABC中 ,由勾股定理得 ,AB =5,而S△ABC =12 BC·AC =12 AB·CD ,即BC·AC =AB·CD ,故CD =BC·ACAB =2 .4 .结论 1　直角三角形斜边上的高等于两条直角边的积除以斜边的商 .例 2　 (《几何》第二册第 2 4 8页B组第 2题 )如图 2 ,矩形ABCD中 ,AB =a ,BC =b ,M是BC的中点 ,DE ⊥AM ,E是垂足 ,求证DE =2ab4a2 +b2 .解析　根…     

构造几何图形证明不等式

高中数学教材(人教版2004年6月版)第二册,介绍了构造几何图形证明均值不等式,这是一种构思新颖,技巧性较强,能使问题直观、简捷地求解的方法,就证明不等式而言,最常选用的是特殊的、简单的几何图形.一、构造三角形证明不等式某些不等式通过对题设条件或结论进行分析,合理地构造出三角形,利用三角形的边长关系进行推理而获得证明.例1已知a,b,m均为正数,且aa/b.证明以a为直角边,b为斜边作Rt△ABC,延长AC至E,使CE=m,过E作DE⊥上AE交AB的延长线于点D,如图1.设BD=n,则n>m.过B作BF∥AE,交DE于F,因为△ABC∽△ADE,所以a/b=AC/AB=AE/AD=a+m/b+n因为n>m,所以a+m/b+m>a+m/b+n,所以a+m/b+m>a/b.YSW2006.12实战实例27     

一蝶引来万花开——对一道习题进行的开放性探究

在数学教学中,充分利用典型习题引导学生进行开放性探究,对学生思维的深化及创新能力的培养往往能起到事半功倍的作用.例题　已知:如图1,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B、D,AD和BC相交于点E,EF⊥BD,垂足为F.求证:1AB 1CD=1EF.证明　因为AB⊥BD,CD⊥BD,EF⊥BD.所以AB∥EF∥CD.所以EFAB=DFBD,EFCD=EFBD.所以EFAB EFCD=DF BFBD=BDBD=1.所以1AB 1CD=1EF.图1　　　　　　　　图21　发散思维　探究结论探究1　已知:如图2,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B、D,AD和BC相交于点E,若AB=a,CD=b,⊙E与BD相切于F,求⊙E…     

巧用正弦定理证题

题目如图,半圆中,O 为圆心,AB 为直径,P、C 是半圆周上的点,PE⊥AB,PF⊥OC,CD⊥AB.求证 CD=EF.证明∵PE⊥AB,PF⊥OC ∴E、P、F、O 四点共圆,设该圆的半径为 R,则OP=2R.又 OP=OC,∴在 Rt△CDO中,     

平行四边形的又一性质及应用

如图, ABCD的邻边为a,b,对角线为m,n,求证:m2 n2=2(a2 b2). 证明:如图,分别竹:DE⊥AB,CF⊥AB,垂足为E,F,易证Rt △DAE≌Rt△CBF,∴AE=BF,由勾股定理得DE2=b2-AE2=CF2