非奇Toeplitz型上三角矩阵的线性分解及应用于对称式的若干结论(Ⅱ)

本文是作者文的继续。在文中,提出了非奇 Toeplitz 型上三角矩阵的线性分解的概念,并给出了如下结论:每个阶数≥2的复数域上的非奇 T 型上三角矩阵在复数域上都可唯一地线性分解。本文提出了 n 元有重复组合 k 次齐式(n 元重组 k 次齐式)、一元多项式根的重组 k 次齐式的概念,利用文的结论,推导出一元 n 次多项式根的重组 k 次齐式与根的初等对称多项式两者之间的联系公式,推导出一元 n 次多项式根的重组 k 次齐式与一元多项式系数构成的 T 型上三角矩阵的逆阵两者之间的联系规律,并给出根的重组 k 次齐式的系数行列式表示。     

一类三角函数值求和的新解法

设复数2’r(cos9 isin9)(f》0)的n次方根为x, ,:石(cos半 isin华)(k:0,1,2,……,n—1)有《11’2。设此二项方程的n个根分别是:x_1、x_2、x_3、……x_n。根据韦达定理有:     

一类求值题的构造法

我们先证明一个结论,然后用它构造一类求值题非常简捷。 [例1] 求证multiply from k=1 to n cos(kπ/(2n+1))=1/2~n(n∈N)。证:∵方程x~(2n+1)-1=0在复数范围内有2n+1个根     

关于复数的根

假如我们要求复数W=r(cosθ+isinθ)的n次方根,这就是求满足W_k~n=W的复数W_k.方法考虑W_k=r~(1/n)(cos(2kπ+θ/n)+isin(2kπ+θ/n)),这里k是任意整数使用棣美佛定理,就得到因此,对任意整数k,W_k是W的n次方根.因为W_k~n=W,即W_k~n-W=0,于是,对任意整数k,Z=W_k是以Z为变量的n次多项式方程Z~n-W=0的一个解.因为n次多项式方程有且仅有n个解(可以是重解),因此方程Z~n-W=0存在且只存在n个解,换句话说,即使存在无限多个W_k＇~s,赋予不同的整数k,它们中仅有n个是不同     

一个多项式命题的应用

由高中代数(甲种本)第三册第19页的定理:“复系数一元n次方程在复数集C中有且仅有n个根(k个重根算作k个根)”,可以引出推论: 使复系数多项式f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_n之值为零的相异x值如多于n个,则a_0=a_1=a_2=…=a_n=0(即f(x)≡0)。(*) 推论(*)易由反证法证明。因为若a_0≠0,则由定理可知,满足f(x)=0的不同x值最多有n个,这与己知使f(x)的值为零的不同x值多于n个相矛盾。所以,a_0=0。同     

关于一类代数方程的摄动解

设f(x),g(x)分别为复数域上的m和n次多项式,利用幂级数展开法分m≥n或m＜n两类情况讨论了形如f(x)+εg(x)=0的摄动代数方程[1]的近似解.得到了其根的四项展开式的三个公式.由前两个公式根据退化方程[2]的单根或重根给出该方程的m个根,由第三个公式给出关于m＜n情形的其余n-m个根.     

关于复数题的分类(续)

四.关于解方程(组)的题必须注意(1)在复数范围内解一元n次方程一定有n个根。(2)在复数范围内解方程,方程的系数不一定是实数。在解实系数高次方程时除了常用到虚根成对出现外有时还要用到多项式恒等定理。(3)在复数范围内解方程除可用实数中的方法外(有的学生以为对复系数的二次方程不能用求根公式)尚可     

谁的解法正确

题目:当k为何值时,方程(k2-1)x2+2(k+1)x+1=0有实数根?四位同学采取了如下四种不同的解法。甲的解法:∵△=[2(k+1)]2-4(k2-1)=8k+8.∴当8k+8>0,即k>-1时,方程有实数根。乙的解法:∵△=8k+8,∴当8k+8≥0,即k≥-1时,方程有实数根。丙的解法:∵△=8k+8,依题意有:k2-1≠08k+8≥0解之得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有实数根。丁的解法:分别讨论k2-1≠0与k2-1=0两种情:(1)设k2-1≠0,依题意有k2-1≠08k+8≥0解得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有两个实数根;(2)当k=1时,原方程为4x+1=0,有一个实数根;(3)当k=-1时,原方程为0·x+1=0,方程…     

n次单位根及其应用

本文介绍n次单位根及其性质,注重用实例说明n次单位根在复数计算、多项式的因式分解和整除问题以及在三角和几何方面广泛应用。一定义在复数集内,1的n次方根有n个,它们是: ε_k=cos2kπ/n+isin2kπ/n(k=0,1,…n-1)这n个值互不相同,都称它们为n次单位根     

复数集上"(m√z)n=m√zn(z≠0,z∈C)"成立的条件

我们知道:n√a(a≥0,a∈R)在实数集上是表示a的n次算术根,它是一个单元素集合,而n√z(z≠0,z∈C)在复数集上是表示一个具有n个元素的集合,即:n√z={n√r(cos 2kπ θ/n isin2kπ θ/n)|z≠0,θ=argz,r=|z|,k=0,1,…,n-1},由于在实数集与复数集上数的n次方根的概念截然不同,因此,实数集上的某些性质不能完全机械地搬到复数集上去.     

注重挖掘a~(1/2)中的a≥0这一隐含条件

隐含条件往往不易发现和容易忽视 ,当同学们在求有关a型问题时 ,自然会想到a中a≥ 0这一条件 ,但当a被其它条件掩盖时 ,常常会忽略a≥ 0这一隐含条件。例 1　若关于x的方程x2 - 2kx - 1 =0有两个不相等的实数根 ,求k的取值范围 ?错解 :∵方程有两个不相等的实数根∴△ =(- 2k) 2 - 4× (- 1 ) >0∴k >- 1这里就忽略了k中k≥ 0这一条件 ,学生只注意了方程根的存在。正解 :∵方程有两个不相等的实数根∴△ =(- 2k) 2 - 4× (- 1 ) >0∴k >- 1又∵k≥ 0∴k的取值范围是k≥ 0例 2　若 (a) 2 <1 ,化简a2 (a - 1 ) 2 错解 :∵ (a) 2 <1　∴a <1∴…     

1的n次单位根的性质及应用

l的n次方根称为n次单位根,或者说,一个复数ε的n次幂等于1,即ε=1,那么这个复数ε就叫做l的一个n次单位根。l的n次单位根有很好的性质,运用这些性质处理某些数学问题是方便的,本文略作介绍。一、l的n次单位根的性质性质一 l的n次单位根有n个,它们分别是ε_k=cos2kπ/n+isin2kπ/n.(k=0,1,…,n-1)。性质二 (ε_k)~n=1;ε_k=(ε_1)~k,|ε_k|=1,     

一元二次方程根的判别式应用四注意

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac是初中数学的一个重要知识点,本文结合例题,说说应用一元二次方程根的判别式(以下简称判别式)解题时需注意的几点.一、使用判别式的条件方程ax2+bx+c=0(a≠0)的a≠0是使用判别式的前提条件.例1 关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个实数根,求k的取值范围.分析:根据题设条件,可知Δ=[-(2k+1)]2-4k2≥0且k2≠0,解得k≥-14且k≠0. 二、方程有两个实数根与方程有实数根区别方程ax2+bx+c=0有两个实数根,则必有≠0;但方程ax2+bx+c=0有实数根,则它可有两个实数根,也可能有一个实数根,…     

“复数”问题的解题方法和技巧

由于任何一个复数的n次方根都均匀地分布在复平面上以原点为园心的同一园周上,因而复数中的许多问题都留有“循环”的痕迹,例如i~(4k)=1,i~(4k 1)=i,i~(4k 2)=-1,i~(4k 3)=-i(K∈J),这里,±1,±i正好是1的四个四次方根;又如,若令ω=(-1 (3~(1/2)i))/2,则ω~(3K)=1,ω~(3k 1)=ω,ω~(3k 2)=ω~2,其中1,ω,ω~2正好为1的三个三次方根。所以,复数中的许多问题都有明显的规律性。另一方面,复数与几何、三角、解析几何都有密切的关系,这便     

用组合分析方法推导若干线性空间的维数

在实数域R上 ,关于变元 χ1 ,χ2 ,… ,χk(k≥ 1 )的全体n次齐次多项式 ,≤n次多项式 ,n次齐次对称多次式 ,≤n次对称多项式 ,n次齐次轮换对称多项式 ,≤n次轮换对称多项式(均包含零多项式 ,n≥ 0 )分别组成线性空间 ,记为Un ,k、 Un,k、Vn ,k、 Vn ,k、Wn ,k、 Wn ,k。用组合分析方法推导得其维数d     

两类整系数方程的求根问题

众所周知,一元n次实系数方程当n≥5时,它的根是不能经过有限次四则运算得到的。但对于几类特殊的高次方程,比如,倒数方程:可化为一次或二次因式乘积的高次方程,等等。可用初等方法求解外,就一般的高次方程而言,只能求得它的近似根。(这方面,参看〔1〕)。 在克莱鲍尔所著数学分析中〔2〕,给出了方程     

初等超越函数有次数吗?

问代数基本定理的内容是什么? 答代数基本定理的内容是:每一个复数域上n次代数方程 f(x)=a_0x~n+a_1x~(n-1)+…+a_(n-1)x+a_n=0(a_0≠0,n≥1) (1)在复数域中至少有一个根。问它有哪些重要推论? 答它的重要推论有     

复数域上的方程

(本讲适合高中 )复数域上的方程主要是指一元二次 (高次 )方程和二项方程 ,它与复数的开方、复数的n次单位根紧密相连 .由于复数具有良好的运算性质及明晰的几何意义 ,因此 ,一些代数与几何问题利用方程根的性质较易得到解决 .1　一元二次方程对实系数一元二次方程ax2 bx c =     

关于超越亚纯函数f（k）（z）+a(f（k+1）)n的值分布

运用Nevanlinna亚纯函数理论方法,研究了超越亚纯函数的值分布理论,获得了如下结论,设f(z)为复平面上的超越亚纯函数,a为非零有穷复数,n和k是任意的正整数,且n≥2,则超越亚纯函数f(k)(z)+a(f(k+1))n取每一个有穷复数无穷多次,并推广了相关定理。     

学习一元二次方程六注意

一、注意考察未知数的系数例 1　已知关于 x的方程 ( k- 2 ) x2 - 2 ( k- 1) x k 1=0 ,且 k≤ 3。求证 :此方程总有实数根。分析 :已知条件中未知数最高项系数是个含字母的代数式 ,这就意味着该方程不一定是一元二次方程 ,解题时必须就 k的不同取值加以讨论。证明 :当 k- 2 =0时 ,即 k=2时 ,原方程为一元一次方程 :- 2 x 3=0。∴方程有实数根 x=32 。 1当 k- 2≠ 0 ,即 k≠ 2时 ,原方程为一元二次方程。△ =〔- 2 ( k- 1)〕2 - 4 ( k- 2 ) ( k 1)=4 k2 - 8k 4- 4 k2 4k 8=12 - 4 k=4 ( 3- k) ,∵ k≤ 3,∴ 3- k≥ 0 ,即△≥ 0 ,∴方程有两…