简证一道竞赛题

第31届西班牙数学奥林匹克第2题:证明:如果(x+x2+1)(y+y2+1)＝1,那么x+y＝0.本刊2001年第4期P16给出了上题的一种证法,现给出更简捷的证法.     

有奖解题擂台(80)

题设xi>0(i=1,2,3…,n),x1+x2+…+xn=1,n≥2,n∈N+,证明或否定:(x1+x2+…+xn)11+1+3x1+11+1+3x2+…+11+1+3xn≤n2n+n+3.(注供题人对第一个给出正确证明与否定的人提供100元的奖金)有奖解题擂台(80)@孙文彩$广东省深圳市平冈中学!邮编:518000     

一道不等式题的微分证法

在不少的数学刊物中刊登了对求证:n~(n 1)>(n 1)~n(3≤n∈N)这道不等式题的证明,而多数采用的是数学归纳法或二项式定理给予证明的。其实用微分中的导数的性质来证明此题也较为简单。思考:要证明n~(n 1)>(n 1)~n成立,变形为n~(1/n)>(n 1)~(1/(n 1)),由此可以看出只要证明函数f(x)=x~(1/x)(x≥3)为减函数,此题就迎刃而解了。证明:设 f(x)=x~(1/x)(x≥3) 则 f′(x)=(x~(1/x))′=(e~(1/xlnx))′ =e~(1/xlnx)·(1-lnx)/x~2。     

对一道高考试题的探讨

高考试题:已知函数f(x)=x2+2/x+alnx(x>0),f(x)的导函数是f’(x),对任意两个不相等的正数x1﹑x2,证明: (Ⅰ)当a≤0时,[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2];(Ⅱ)当a≤4时,|f’(x1)-f’(x2)|>|x1-x2|.该题可以运用不等式和导数的有关知识给出证明.在这里提出这样的问题:能否对题目中给出的a的条件作出进一步的加强,使得(Ⅰ)﹑(Ⅱ)仍然成立呢?为了探讨这个问题,首先给出一个定义和一个定理:定义(函数凸凹性):已知函数f(x)在区间(a,b)有定义,     

一道考题,三个结论(高一、高二、高三)

题设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于x=1对称.证明:f(x)是周期函数. (01年高考22题) 这个证明很简单:由题设条件知道,对于任意x∈R,有     

图象法解1997年一道高考题

1997年高考数学试题(理工农医类)第24题是一道条件不等式的证明题,许多刊物给出了代数证法,而利用数形结合思想作出图象加以证明,更显简洁、清晰.以下是证法.题目:设二次函数 f(x)=ax~2 bx c(a>0)方程 f(x)-x=0的两根 x_1,x_2满足0相似文献   

由一则帖子引发的思考

潇湘数学教育网(http//:www.xxei.com.cn)的教学论坛里有老师发了这样一个帖子:这能代表证明吗?在期中考试中,有这样一题":证明函数(fx)=1/x在正实数域内单调下降."有一个学生只画出     

从一道习题的证法谈起

题目：设a、b、c是△ABC的三边长，此题是江苏《中学数学》93年第9期中学生课外基本练习题中的一题，原文用函数的单调性给予了证明，显得比较繁，下面用课本一例的变形给出简洁的证明．0时取等号．此定理是现行高中《代数（必修）》下册P12例7的变形，它有着广泛的应用，先用此定理证明上面一题，然后再举几例供参考．证：由a、b、c是△ABC的三边长，用上述方法易证下面几题：例1设x、y∈R，且0≤x≤1，0≤y≤1，求证：y/(1 x) x/(1 y)≤1（1988年列宁格勒数求证y/(1 x) x/(1 y)≤1(1988年列宁格勒数学奥林匹克试题的第25题）．证由对…     

2010年高考全国卷I理科第20题（Ⅱ）的简解

题 已知函数f（x）=（x＋1）ln x-x＋1．（I）略;（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．对（II）,参考答案给出的方法有较强的技巧性,思维重心显得偏高．笔者给出下面的简解,供参考．     

一道俄罗斯赛题的简证

第21届俄罗斯中学数学奥林匹克第三阶段八年级第6题是: 证明:对于任何实数x,y,有2x~4 2y~4≥xy(x y)~2. 《中学数学》(苏州)1996年第9期“集锦”栏首篇给出了该题的两种新证法,下面给出一个简证。     

一道赛题的再研究

第七届全国数学“希望杯”高二赛题中有这样一道题：已知函数f（X）等，试证函数f（X）在上为减函数．考虑到宋学过微积分的高中生的接受能力，文［1」给出了该题的一个初等证明，充分利用了三角不等式tgx＞x＞sinx＞0，x（0，）．多次适度放大，证明相当巧妙．注意多次适度放大，证明相当巧妙.注意到当xE（0，了）时，不等式tsx＞x＞sinx＞o可用面积关系推导出来．由此得到启发：能否把“数”的问题转化为“形”的问题，给出一个直观的初等证明？答案是肯定的．我们用构造法证明一个更强的命题：命题1函数人x）一约旦在（0，。）上为减函…     

一道复习题的变式研究

问题证明:若g(x)=x2 ax b,则g(x1 2x2)≤g(x1) g(x2)2.虽然本题的证明比较简单,但同学们可以从下面该题的一些变式中看出本题潜在的功能,也希望通过该题的变式研究,起到使同学们学会对问题进行引申与重视的作用.     

一道值得商榷的例题

《中学数学教学》2005年第5期刊登了浙江省绍兴鲁迅中学孟利忠老师的一篇文章,题目为《函数中的不等式证明题的证法探究》,其中有这样一例:例9已知函数f(x)=ln(1 x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的最大值;(2)若0相似文献   

利用排序原理简证征解题173

《数学通报》1997年第7期的征解问题是:设x_i>0(i=1,2,…,n,n≥3),证明或否定(记 S=x_1常新德老师在《中学数学教学参考》2004年第11期上给出了此题的一个归纳法证明.笔者分析此题的结构和形式,其不等式左边是乘积和的形式,因而采取排序原理可以得到更简捷更实质性的证明.其实此题的本质还是反映了排序原理,并且据此原理此题还可以深化和拓展,有兴趣的读者不妨一试.下面给出一个证明:     

函数方程f(x λ)=(a f(x))/(1-af(x))的解f(x)的周期性初探

题1 (第44届莫斯科奥林匹克第16题)设函数y=f(x)定义在整个实数集合上,且对某个数λ≠0满足关系式f(x λ)·(1-f(x))=1 f(x),证明f(x))是周期函数。     

一道俄罗斯赛题的推广

第21届俄罗斯中学数学奥林匹克第三阶段八年级第6题是: 证明 对于任何实数x,y,有2x~4 2y~4≥xy(x y)~2 。 文[1]、[2]介绍了它的证法,本文从指数方面给出其推广并加以证明。 推广 证明:对于任何实数x,y,0≤n∈N,有 (1) 证 当xy≤0时不等式显然成立。 当x,y同为正(同为负时可转化为同为正)时,(1)两边同除以2(2n-1)xy得 令,则     

学生的质疑是老师不断进步的思想源泉

在高三第三轮复习中,有这样一道题:曲线y=f(x)=-1/6x~3 1/2x~2 x,问曲线上是否存在一点P,使得y=f(x)的图像关于点P中心对称?若存在,请求出点P坐标,并给出证明;若不存在,请说明理由.     

老师,为什么这方法失灵了?——2018年高考全国卷Ⅰ文科第21题的解题反思

<正>2018年高考刚刚落下帷幕,做真题、研真题是老师、学生们的热门话题,笔者也布置了一些真题给学生做并对其讲解,在讲评2018年全国卷Ⅰ文科第21题时,引发了紧张而又惊喜的一幕.题目(2018年全国卷Ⅰ文科第21题)已知函数f(x)=ae^x-lnx-1.1)设x=2是f(x)的极值点,求a的值,并求f(x)的单调区间;2)证明:当a≥1/e,f(x)≥0.     

回归通法:一个“创新解法”的再讨论

1一道递推数列题的"创新解法"例1已知f(x)=3x+1/x+3,若无穷数列{xn}中x1=2,xn+1=f(xn),求limxn(n→∞).不少资料上对这类题给出了"巧解",如一篇题为"例谈智力激励法在数学教学中的应用"的文章就给出了如下创新解法:     

一个不等式的常规证法

题 已知m为实数,x,y>0,x y<丌,求证:m(m-1)sin(x y) m(sinx-siny) siny>0. 这是《数学题解辞典·代数》(上海辞书出版社)中第899题。鉴于本题以往的正确证法很少,本文就给出一常规证法,供参考。 证明 设s=m(m-1)sin(x y) m(sinx-siny) siny,即 s=m~2sin(x y) [sinx-siny-sin(x y)]m siny. ∵m∈R,x、y>0,x y<丌, ∴00,现将s看成关于m的二次三项式,于是