每期一题

题:若:a、b、c为正数,试求函数y=(x~2+a~2)~(1/2)+((c-x)~2+b~2)~(1/2)的极小值。解法一复数法运用代数中学过的复数模不等式 |z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2|。设 z_1=x+ai x_2=(c-x)+bi ∴|z_1|=(x~2+a~2)~(1/2) |z_2|=((c-x)~2+b~2)~(1/2) ∵|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2| ∴y=|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2| =|x+ai+c-x+bi| =|c+(a+b)i|=(c~2+(a+b)~2)~(1/2) ∴y_min=(c~2+(a+b)~2)~(1/2)。解法二代数法运用不等式(x_1~2+y_1~2)~(1/2)+(x_2~2+y_2~2)~(1/2)≥((x_1+x_2)~2+(y_1+y_2)~2)~(1/2)其中等号仅当x_1/x_2=y_1/y_2时成立。∴y=(x~2+a~2)~(1/2)+((c-x)~2+b~2)~(1/2)     

对隐函数存在定理的注记

在理工科高等数学教材中通常是这样来叙述隐函数存在定理的:定理设函数 F(x,y,z)在点 P(x_0,y_0,z_0)的某一邻域内具有连续的偏导数,且 F(x_0,y_0,z_0)=0,F_(x_0,y_0,z_0)≠0,则方程 F(x,y,z)=0在(x_0,y_0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),它满足条件 z_0=f(x_0,y_0),并有=-F_x/F_z,=-F_y/F_z。但在许多教材中举例时均不验证 F(x_0,y_0,z_0)=0这一必要条件,因而可能出现谬误,在教材[2]119     

任意三角形的方程

定理 设△ABC顶点为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),如y_1≥y_2,y_3,则△ABC方程为 |2f_1-2△ |f_2|| |f_2|=2△。 (1)其中△表示△ABC的面积,而     

抛物线弦的一组性质

抛物线y~2=2px的焦点弦为AB,则y_Ay_B=-p~2,这是抛物线焦点弦的一条常用性质.对一般的弦而言,也有类似的性质,这里,我们给出一组充要条件,揭示弦的性质. 若AB为抛物线y~2=2px的弦,其中A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2).则有: ∠AOB为直角x_1x_2 y_1y_2=0 y_1y_2 Ap~2=0; ∠AOB为锐角x_1x_2 y_1y_2>0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)>0; ∠AOB为钝角x_1x_2 y_y_2<0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)<0. 证明:cos∠AOB=|AO|~2 |BO|~2-|AB|~2/2|AO|·|BO|=2(x_1x_2 y_1y_2)/2|AO|·|BO|,故∠AOB为直角cos∠AOB=0x_1x_2 y_1y_2=0; ∠AOB为锐角cos∠AOB>0 x_1x_2 y_1y_2>0; ∠AOB为钝角cos∠AOB<0 x_1x_2 y_1y_2<0. 又A、B在抛物线上,故y_1~2=2px_1,y_2~2=2px_2,从而(y_1y_2)~2=4p~2x_1x_2,故x_1x_2 y_1y_2=1/4p~2·y_1y_2(y_1y_2 4p~2). 从而 x_1x_2 y_1y_2=0 y_1y_2 4p~2=0(显然y_1y_2≠0), x_1x_2 y_1y_2>0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)>0, x_1x_2 y_1y_2<0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)<0,得证. 应用这组充要条件,可方便地解决与抛物线弦相关的一类问题.     

一种求柱面锥面方程的简便解法

<正> 在《空间解析几何》的二次曲面部分,对予以任意空间曲线为准线,以任意方向为母线方向的柱面;以任意空间曲线为准线,以任意点为顶点的锥而方程的求法,在一般教材中,采用以准线上任一点P_1(x_1y_1z_1)中的x_1,y_1,z_1为参数,由过P_1的母线上任一点P(x,y,z)与P_1的线性关系式消掉x_1,y_1,z_1而得到曲面方程的方法。由于参     

林麝(Moschus berezovskii)和马麝(M.sifanicus)分类的教学模型

根据林麝和马麝头骨的颅全长x_1,颅基长x_2,基长x_3,鼻骨长x_4,吻长x_5,眼眶直径x_6,眶间宽x_7,后颅宽x_8,颧长x_9,颧宽x_(10),上裂齿长x_(11),下裂齿长x_(12)共十二项指标进行判别分析,得出分类的判别函数为:y_1=-964.2218+8.8263x_1-0.3689x_7-0.4067x_(10)+12.4122x_(11)y_2=-740.5994+7.3648x_1+0.3894x_7+0.6138x_(10)+10.1241x_(11)将头骨质量x_1、x_7、x_(10)、x_(11)分别代入二方程计算,若y_1>y_2,则为马麝,若y_2>y_1,则为林麝.     

多元函数条件极值的充分条件

《数学通报》1998年第1期《对<关于条件极值的一个充分性条件>一文的讨论》,本文指出文[2]中的定理证明仍是不正确的,然后由多元函数极值的充分条件得出多元函数条件极值的充分条件.文[2]中只是证明了与M中形式为( x_0 t,y_0 t,z_0 t)的点比较,(x_0,y_0,z_0)是函数f(x,y,z)的极小值点.但M中任何一点并不都能表示成(x_0 t,y_0 t,z_0 t)的形式,因此文[2]中定理证明不正确.     

从一道例题说起

例1 已知分别过抛物线 y~2=2px 上点 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)的两条切线相交于 P(x′,y′).求证:x′=(y_1y_2)/2p,y′=(y_1 y_2)/2.证明如图1,由文献[1]可知过 A,B 两点的切线方程为:l_1:y_1y=p(x x_1);l_2:y_2y=p(x x_2).又 P 在 l_1,l_2上,有y_1y′=p(x′ x_1); (1)y_2y′=p(x′ x_2). (2)式(1)-式(2)得(y_1-y_2)y′=p(x_1-x_2).又 x_1=y_1~2/2p,x_2=y_2~2/2p,代入上式整理得y′=1/2(y_1 y_2), (3)将式(3)代入式(1)得1/2y_1(y_1 y_2)=px′ py_1~2/2p,由此得 x′=y_1y_2/2p,所以     

抛物线焦点弦性质的证法赏析

<正>题目过抛物线y²=2px(p> 0)的焦点F(p/2,0)的弦(焦点弦)与抛物线相交于A(x_1,y_1),B(x_2,y_2).证明:y_1y_2=-p2=2px(p> 0)的焦点F(p/2,0)的弦(焦点弦)与抛物线相交于A(x_1,y_1),B(x_2,y_2).证明:y_1y_2=-p²,x_1x_2=p2,x_1x_2=p²/4.此抛物线性质问题的证法很多,下面是笔者在平时的教学中,归纳出几种方法,供读者欣赏.     

一个不等式的推广

文[1]证明了一个不等武:0≤x,y,x_1,y_1≤1,x x_1=1,y y_1=1,则L_2=(x~2 y~2)~(1/2) (x~2_1 y~2)~(1/2) (x~2 y~2_1)~(1/2) (x~2_1 y~2_1)~(1/2)≤2 2~(1/2),并根据L_2的几何意义提出了猜想.设0≤z,y,z,x_1,y_1,z_1≤1,x x_1=1,y y_1=1,z z_1=1,则L_3=(x~2 y~2 z~2)~(1/2) (x~2_1 y~2 z~2)~(1/2) (x~2_1 y~2_1 z~2)~(1/2) (x~2 y~2_1 z~2)~(1/2) (x~2 y~2 z~2_1)~(1/2) (x~2_1 y~2 z~2_1)~(1/2) (x~2 y~2_1 z~2_1)~(1/2)     

椭圆的中点弦

椭圆以某定点为中点的弦并非一定存在,那么,中点弦存在的充要条件是什么?有何应用,本文作下列探讨: 一中点弦方程的一种求法。设椭圆b~2x~2 a~2y~2-a~2b~2=0,(a>0,b>0)…(1) 及定点P_0(x_0,y_0),若以P_0为中点的弦存在,且两端点分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) 则:b~2x_1~2 a~2y_1~2-a~2b~2=0 b~2x_2~2 a~2y_2~2-a~2b~2=0 两式相减整理得: (y_1-y_2)/(x_1-x_2)=(x_1 x_2)/(y_1 y_2)·b~2/a~2 =-b~2/a~2·x_0/y_0 (x_1≠x_2) 即k=-(b~2x_0)/(a~2y_0),代入点斜式得中点弦方程:a~2y_0y b~2x_0x=a~2y_0~2 b~2x_0~2……(2) 如果x_1=x_2,那么y_0=0,中点弦方程为x=x_0仍包含在(2)中。     

几类极值问题的统一处理

设△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)(按逆时针方向排列),则x_1y_1-x_2y_1=|x_1 y_1 x_2 y_2|=|0 0 1 x_1 y_1 1 x_2 y_2 1|=2S_(△OAB)=OA·OBsin∠O.应用这个方法可以把几类条件代数极值问题化为几何极值问题来处理. 例1.设ax by=c(a,b,c∈R~ ,x,y∈R~-),求f(x,y)=mx~(1/2) ny~(1/2)(m,n>0)的极值. 解考虑点A((ax)~(1/2),-(by)~(1/2)),B(n/b~(1/2),m/a~(1/2)),∠AOB=θ,则     

求直线与抛物线交点的一类习题的简捷解法

定理:设抛物线方程y~2=2px,若过抛物线焦点F(p/2,0),且倾斜角为α(α≠0)的直线,交抛物线于M(x_1,y_1)、N(x_2,y_2),则M、N点的坐标存在如下关系:x_1·x_2=p~2/4 ①y_1·y_2=-P~2 ②证明:过焦点F(p/2,0)且倾斜角为α的直线方程为:     

数学奥林匹克高中训练题(28)

第一试 一、选择题 1.对x_1>x_2>0,1>a>0,记 y_1=x_1/(1 a) ax_2/(1 a),y_2=ax_1/(1-a) x_2/(1 a),则x_1x_2与y_1y_2的关系为( )。     

海伦公式的行列式表示

我们知道,三角形的面积可用它的顶点坐标的行列式表示:设△ABC三个顶点坐标为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),则三角形面积为: 由于三角形的边长也可以用它的顶点坐标不表示,BC=a,AC=b,AB=c,有     

设而不求巧解题

<正>1.圆锥曲线涉及中点弦求曲线方程和直线方程的问题,经常用点差法设而不求解题例1已知椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),求椭圆E的方程。解:设点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则(x_1-x_2)(x_1+x_2)/a2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),求椭圆E的方程。解:设点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则(x_1-x_2)(x_1+x_2)/a²=-(y_1-y_2)(y_1+y_2)/b2=-(y_1-y_2)(y_1+y_2)/b²。     

用复数证几何题

在《全日制十年制学校中学数学教学大纲》中,要求“理解复数运算的几何意义”。利用复数运算证明几何题,不仅有助于数学知识的综合运用,而且有助于加深理解复数的几何意义。本文就平面几何中常见的几种类型,给出复数证法。一、预备知识 1、平面上两点之间的距离设z_1=x_1+iy,z_2=x_2+iy_2是平面上任意两点,则z_1、z_2的距离 d=|z_2-z_1|=((x_2-x_1)~2+(y_2-y_1)~2)~(1/2) 或d=(|z_2-z_1|~2)~(1/2)=((z_2-z_1)(z_2-z_1))~(1/2) 2、复数有理运算的几何意义。①加减法——平移变换     

巧用分点坐标公式解等差数列题

线段的定比分点坐标公式x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y:(y_1 λy_2)/(1 λ),λ=(x-x_1)/(x_2-x)反映了线段的起点P(x_1,y_1)、终点P_2(x_2,y_2)、分点P(x,y)与定     

一个简单命题及其应用

命题 设|x_n|,|y_n|是两个正项数列,如果x_1>y_1,同时(x_n)/(x_(n-1))>(y_n)/(y_(n-1))(n≥2),那么x_n>y_n。 证明 x_n=(x_n)/(x_(n-1))·(x_(n-1))/(x_(n-2))…·(x_2)/(x_1)·x_1>(y_n)/(y_(n-1))·(y_(n-1))/(y_(n-2))…(y_2)/(y_1)·y_1=y_n。     

空间点到直线距离的几种求法

求空间点P_0(x_0,y_0,z_0)到直线a=(x-x_1)/1=(y-y_1)/m=(z-z_1)/n(这里P_1(x_1,y_1,z_1)为直线a上的点,V={1,m,n}为直线a的方向矢量)的距离d,通常直接用距离公式d=|V×P_1P_0|/|V|。本文主要介绍异于用距离公式的几种方法。 设P_0(2,3,1)为直线a外的一点,直线a的方程为:(x 1)/2=y/(-1)=(z-2)/3 方法1 利用两点间的距离公式,只要求出过P_0点且与a垂直的平面与直线a的交点坐标即可。