一道高考立体几何创新题的思考

20 0 3年数学科高考文科卷中 ,有下面一道采用类比思考而作答的创新试题 :题　在平面几何里 ,有勾股定理 :“设△ABC的两边AB、AC互相垂直 ,则AB2 +AC2 =BC2 。”拓展到空间、类比平面几何的勾股定理 ,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是 :“设三棱锥A -BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直 ,则。”解　因为三棱锥A -BCD中三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直 ,所以三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直。作AH⊥平面BCD于H ,连DH交BC于E ,则易知AE⊥BC ,且DE⊥BC ,于是cos∠AED =HEA…     

立体几何中的“五心”

一、重心有关的定义、定理:(Ⅰ)在三棱锥中,若各个侧面在底面上的射影面积相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的重心.(Ⅱ)设G是△ABC的重心,AG的延长线交BC于D,则有(1)BD=DC;(2)AG∶AD=2∶3;(3)S△GAB=S△GBC=S△GAC=13S△ABC;(4)AD2=14(2AB2+2AC2-BC2).例1三棱锥V-ABC三侧面与底面所成的二面角分别为30°,45°,60°,底面积为3,顶点在底面上的射影是底面的重心,求三棱锥的侧面积.解设顶点在底面的射影为G,依题意知,G是△ABC的重心.由平面几何知识得S△GAB=S△GBC=S△GAC=13S△ABC=1.由面积射影定理知S△VAC…     

一个简单公式的应用

如图,在三棱锥P-ABC中, PC⊥平面ABC,作CD⊥AB于点 D,连结PD,则易知∠PDC是二面角P-AB-C的平面角,设∠PDC=θ,二面角的棱AB=m, 三棱锥的高PC=h,三棱锥的底△ABC的面积为S．则     

直角三棱锥的一个存在条件--从一道模考错题谈起

江西省2 0 0 4年九所重点中学高三联考第15题:三棱锥三条侧棱两两垂直,三个侧面与底面所成角分别是30°、4 5°、6 0°,底面积是6 ,则三棱锥体积是.分析　本题条件聚集在面积、面与面所成角,解法必须围绕面的关系来设计,考虑到面积射影定理沟通了二面角与面积的联系,故可解如下:解　设P—ABC为题设三棱锥,PA =a ,PB=b ,PC =c ,不妨设二面角P—CB—A、P—AC—B、P—AB—C分别为30°、4 5°、6 0°.由面积射影定理,得S△PBC =S△ABC·cos30°,∴12 bc=32 ·6 .同理　12 ac=22 ·6 ,12 ab=12 ·6 .( )三式相乘得　18(abc) 2 =18·(…     

对一道高考题的探究

题目 在平面几何里,有勾股定理：“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB^2 AC^2=BC^2”．拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积问的关系,可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则——。”     

编立体几何题应慎之又慎

某高三复习资料上有如下的立体几何题：例1三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,三侧面与底面所成的二面角分别为30°、45°、60°．底面面积为1,则三棱锥的侧面积为（）．     

三棱锥中二面角的基本性质--从一道错题谈起

文[1]讨论了下述错题：例1三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,三侧面与底面所成的二面角分别为30°、45°、60°,底面面积为1,则三棱锥的侧面积为（ ）．     

立几与平几的类比

20 0 3年广东高考试题第 15题是条填空题 ,要求类比平面几何中的勾股定理 :“设 ABC的两边AB ,AC相互垂直 ,则AB2 +AC2 =BC2 ” ,研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系 .其正确结论是 :“设三棱锥A -BCD的三个侧面ABC ,ACD ,ADB两两互相垂直 ,则S2 ABC+S2 ACD +S2 ADB =S2 BCD.”证明如下 :由于三棱锥A-BCD的 3个侧面均是以点A为公共顶点的直角三角形 ,所以由三垂线定理知点A在底面BCD上的射影E是底面三角形BCD的垂心 .　　∴S2 BCD =14 DF2 ·BC2=14 (AF2 +AD2 ) ·BC2=S2 ABC+ 14 AD2 ·BC2=S2 AB…     

巧变换 妙求积

在几何体的求积问题中,如果能恰当地做些分割、补形及等积变换,往往能化难为易,简化运算.下面来看两例. 例1 已知正三棱台上、下底面的面积分别为S1和S(S1相似文献   

奇思妙想解考题

笔者就今年高考卷Ⅲ数学卷中学生普遍感到得分难的一道题目进行了探索,得出两种巧妙的解法,供大家参考。如图1,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面△VAD是正三角形,侧面VAD⊥底面ABCD,(Ⅰ)证明AB⊥平面VAD;(Ⅱ)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.解:(Ⅰ)证明(同标准答案).(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)知:△VDB在侧面VAD上的射影是△VAD.不妨设AB=1,则S△VAD=3~(1/3)/4.又∵cos∠VDB=cos∠VDA·cos∠ADB=1/2·2~(1/2)/2=2~(1/2)/4,∴sin∠VDB14~(1/14)/4     

提高创新能力三法

求二面角的大小 ,基本作法是算其平面角的大小 ,但平面角没有固定位置 ,高考中因其定位失误而丢分的现象颇多 .本文举例介绍几种常用的途径 ,帮助同学们掌握要领 .一、利用棱或两个面的垂面【例 1】　在三棱锥S-ABC中 ,SA⊥底面ABC ,AB⊥BC ,DE垂直平分SC ,且分别交AC、SC于D、E两点 ,又SA =AB、SB =BC,试求二面角E-BD -C的度数 .解 :∵SB =BC、DE垂直平分SC ,∴SC ⊥BE、SC⊥平面BDE、∴平面SAC ⊥平面BDE .∵SA⊥底面ABC ,∴平面SAC⊥平面BDC .∴∠EDC为E -BD-C的平面角 .∵AB ⊥BC、AB =SA、SB =BC …     

抓住关键来思考

应用面积射影公式求二面角的大小 ,对于 (一 )平面角虽可作出 ,但比较困难 ,计算繁琐 ;(二 )平面角无法作出 ,或很难下手 .如 :1.直三棱柱ABC-A1 B1 C1 中 ,∠BAC=90° ,AB =BB1 =1,直线B1 C与平面ABC成30°角 ,求二面角B -B1 C -A的余弦值 .解 :易知∠BCB1 =30° ,作AD⊥BC于D ,则AD ⊥面BCB1 ,△AB1 C在面BCB1 上射影是△DCB1 .设二面角为θ ,cosθ =S△DCB1S△AB1C,其中AC =2 ,AB1 =2 ,S△AB1C =1,B1 C =2 ,CD =2 33,S△DCB1=12 B1 C·CD·sin30°=33,即二面角的余弦值为 33.1题图 2题图2 .正方体中 ,求二…     

立体几何中的轨迹问题(高二、高三)

1.轨迹为直线例1若三棱锥A-BCD的侧面内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是()解如图1,作PO⊥平面BCD于点O,PH⊥AB于H,则PH=PO.在平面BCD中,作OG⊥     

由一道高考试题引发的思考——三角形与三面角中几个性质的类比

2003年全国高考数学新、旧课程卷(文科)第15题：在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB^2 AC^2=BC^2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积间的关系，可以得出的正确结论是；“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S^2△ABC S^2△ACD S^△ADB=S^2△BCD．”     

一道“墙角问题”中的“问题”

问题:三棱锥的三条侧棱两两垂直,底面积为1,三侧面与底面所成的角分别为30°,45°,60°,求棱锥的侧面积．解一:如图,因为三条侧棱两两垂直,所以△ABC在侧面ADC,ADB,BDC上的射影分别是△ADC,△ADB,△BDC．     

由一道高考题所联想到的若干“移植”

(2003年全国高考题15题)在平面几何里有勾股定理:“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2 AC2=BC2”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB,两两相互垂直,则     

由一道高考题所联想到的若干"移植"

(2003年全国高考题15题)在平面几何里有勾股定理:"设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2",拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两相互垂直,则:     

要注重几何图形的组合与分离

立体几何离不开图形,而其中最主要的是基本图形.因此,在立体几何教学中,要引导学生在掌握好基本图形的基础上,学会基本图形间的组合与把较复杂图形分离成基本图形的方法,这是学好立体几何的关键之一。例1.比较下列4题中4种图形在结构上的异同.(1)三棱锥P—ABC中,PA⊥面ABC,平面PBC⊥平面PAB,求证:BC⊥AB.(2)在上题中,若AD⊥PB交PB于D,AE⊥PC交PC于E,AD∶AE=1∶2.求二面角A—PC—B的大小.(3)直三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱AA1=4,底面△ABC中,AB=BC=2,∠B=90°.求截面A1BC与侧面A1ACC1所成的锐二面角的大小.(4)圆柱侧…     

求二面角的五种策略

一、利用对称图形构造平面角【例1】正四棱锥V-ABCD的底面边长为2,侧棱长为3,求相邻两侧面所成的二面角.分析:由于△VAB与△VBC全等且对称,所以过A作AE⊥VB,垂足为E,连接CE,易证△AEB与△CEB全等,可知CE⊥VB.连接AC,则∠AEC即为二面角A-VB-C的平面角,再用余弦定理求出∠AEC即可。     

巧推三角形的面积公式

题目:三棱锥P—ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.(Ⅰ)求证AB⊥BC(Ⅱ)设AB=BC=23,求AC与平面PBC所成角的大小.浅析(Ⅰ)图1思路一:由PA=PB=PC,联想到圆锥的所有母线长相等,于是作圆锥PO,使PA、PB、PC都是该圆锥母线,如图1,由面PAC⊥面ABC及PO⊥面ABC,知PO面PAC,因此AC是圆锥底面圆的直径,可得AB⊥BC.思路二:如图2,延长CP到D,使PD=PC,连结DA、DB,由PA=PB=PC=PD可知DA⊥AC,DB⊥BC,又面DAC⊥面ABC,于是有DA⊥面ABC,由三垂线定理的逆定理可知AB⊥BC.思路三:由PA=PB=PC,联想到球的所有半径长…