“垂足三角形”的几个性质

1 三阶垂足三角形的性质 以三角形三条高的垂足为顶点的三角形常称之为垂足三角形,本文将此概念作一推广。从平面上一点P向△ABC各边作垂线,垂足为A_1、B_1、C_1且不共线,则称△A_1B_1C_1为点P关于△ABC的垂足三角形,或一阶垂足三角形。点P关于△A_1B_1C_1的垂足三角形△A_2B_2C_2称为二阶垂足三角形,点P关于△A_2B_2C_2的垂足三角形称为三阶垂足三角形。     

垂足三角形与原三角形的一些关系

所谓垂足三角形是三角形的高线足所成的三角形。关于垂足三角形与原三角形的关系我们已经知道了一些,比如三角形的三条高线平分垂足三角形的内角或外角;锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形的周界最小。这里,我们通过对垂足三角形面积和一些长度的计算,进一步说明垂足三角形与原三角形的关系。 1)已知△ABC的三内角为A、B、C,AD、BE、CF为三边上的高. 求证 垂足三角形与原三角形面积之比只与原三角形三个角的余弦有关. 证明 设△ABC的面积为S,垂足三角形DEF的面积为S_1,令A、B、C的对边分别为a、b、     

垂足三角形的性质与应用

AD、BE、CF 是锐角△ABC 的三条高,则△DEF 为△ABC 的垂足三角形(如图1),用S_(△ABC)、R 分别表示△ABC 的面积和外接圆半径.用 S_(△ABC)、L_(△DEF)分别表示△DEF 的面积和周长,则垂足三角形有如下性质:     

由一个简单结论引出的一组有趣性质

众所周知,以三角形的三条高的三个垂足为顶点的三角形称为原三角形的垂足三角形.经研究发现,垂足三角形有如下性质.性质设AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高,D、E、F分别为三个垂足.则AD平分∠FDE、BE平分∠FED、CF平分∠EFD.证明如图1,设AD与BE交于点H.则B、D、H、F四点共圆.故∠FBH=∠FDH.     

许瓦兹三角形问题

在已知锐角三角形 ABC中求作一个内接三角形 (即顶点分别在△ ABC三边上的三角形 ) ,使所作的三角形的周长最短 .答案是 :当内接三角形是△ ABC的三条高的垂足所成的垂足三角形时 ,周长最短 .这是关于三角形的一个著名的极值问题 ,叫做许瓦兹 ( H.A.Schwarz)三角形问题许瓦兹三角形问题     

从垂足三角形谈起

众所周知,以三角形的三条高的三个垂足为顶点的原三角形的内接三角形称为原三角形的垂足三角形,它的一个有意义的特点是:原三角形的三条高恰为垂足三角形的三条内角平分线.后来,有心人对此深入细致地研究,发现这里有一个问题:是由三条高的条件整体上决定它们恰是垂足三角形的三     

垂心的垂足三角形

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形,称为垂心的垂足三角形。现将垂心的垂足三角形和原三角形之间的某些关系介绍如下: 一、垂心的垂足三角形的角度     

垂足三角形序列

我们知道,凡不是直角三角形的三角形都有它的垂足三角形,(本文下面所涉及的三角形都不是直角三角形)。垂足三角形的形状及大小由原三角形完全确定;如果垂足三角形不是直角三角形,那么它的垂足三角形又被完全确定下来;…。这样下去,可得到一系列由原三角形完全确定的垂足三角形。(如下图)△A_1B_1C_1是△ABC 的垂足三角形;△A_2B_2C_2是△A_1B_1C_1的垂足三角形;…△A_(n+1)B_(n+1)C_(n+1)是△A_nB_nC_n 的垂足三角形;…。我们称△A_1B_1     

广义垂足三角形的面积关系

由于各种文献的差异,在本文中广义垂足三角形定义为：以锐角三角形内任意一点在其三边上的射影点为顶点的三角形称为该点的广义垂足三角形．例如,我们知道三角形的三条高交于一点（垂心）,以三条高的垂足为顶点的三角形,即是垂心的广义垂足三角形．     

重心垂足三角形的一个性质

过三角形的重心向其三边引垂线，三个垂足构成的三角形叫做该三角形关于其重心的垂足三角形．重心垂足三角形有下列有趣结果：设θ是△ABC的内切圆半径，r’是△ABC关于其重心G的垂足三角形A'B'C'的内切圆半径．则r'等号当且仅当为正三角形时成立为证明这一结果，需用到以下事实：设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边长为a、b、c，对应的中线长为等号当且仅当△ABC为正三角形时成立；号当且仅当△ABC为正三角形时成立．上述结论的证明是简单的，这里从略．证明如右图所示G是△ABC的重关于点G的垂足三角形，设（利用结论2）（利用…     

垂足三角形的相似比

<正>概念设P是△ABC内的任意一点,从该点向BC、CA、AB分别引垂线PA1、PB1、PC1(如图1),以它们的垂足A1、B1、C1为顶点的三角形A1B1C1称为△ABC关于"垂心"P的垂足三角形.问题对任一给定的△ABC与△ABC中给定的一个内点,第三个垂足三角形A3B3C3与△ABC相似吗?若相似,相似比能恰当地表示吗?纽伯格(J.Neuberg)已证明了第三个垂足三角形与原三角形是相似的.     

和垂足三角形有关的几个不等式

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形．本文主要研究了和垂足三角形有关的三角形之间外接圆半径、内切圆半径、旁切圆半径及边长相关的几个不等式．     

三阶垂足三角形与原三角形相似的相似比

设P为△ABC内任一点,其垂足△A1B1C1称为△ABC的一阶垂足三角形,△A1B1C1的垂足△A2B2C2称为△ABC的二阶垂足三角形,△A2B2C2的垂足△A3B3C3称为△ABC的三阶垂足三角形.J.Neuberg证明了:△A3B3C3∽△ABC.本文确定相似比k.     

垂足三角形的几个有趣不等式

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.由于直角三角形的垂足三角形退缩为一条线段,所以只需要研究锐角三角形与钝角三角形两种情况.文[1]得到了垂足三角形内切圆半径之间的一个不等式.本文将给出有关面积、周长、边长的三个等式,由此得到几个似曾相识的不等式.引     

西姆松定理的推广

西姆松定理的内容为:过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线,则三垂足共线. 如图1,△ABC为⊙O的内接三角形,P为⊙O上一点,向△ABC三边各引垂线,垂足为 D、E、F,则此三点共线. 证明 联结PB.     

三角形垂心的性质及其应用

1　基础知识三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心 .三角形垂心有下列有趣的性质 :设△ＡＢＣ的三条高为ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ ,其中Ｄ、Ｅ、Ｆ为垂足 ,垂心为Ｈ .性质 1　垂心Ｈ关于三边的对称点 ,均在△ＡＢＣ的外接圆上 .性质 2　△ＡＢＣ中 ,有六组四点共圆 ,有三组 (每组四个 )相似的直角三角形 ,且ＡＨ·ＨＤ =ＢＨ·ＨＥ =ＣＨ·ＨＦ .性质 3　Ｈ、Ａ、Ｂ、Ｃ四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 (并称这样的四点为一垂心组 ) .性质 4　△ＡＢＣ ,△ＡＢＨ ,△ＢＣＨ ,△ＡＣＨ的外接圆是等圆 .性质 5　在非直角三角形中 ,过…     

怎样证明两条边相等

在几何证明中 ,经常要遇到证明两条边相等的问题 ,学生有时无从下手。本文试图结合实例 ,对证明两条边相等作些探讨。一、两条边若不在同一个三角形中 ,可通过两个三角形全等来证明两条边相等例 1.圆内接四边形ABCD的外角∠ DCH =∠ DCA,DP⊥ AC,垂足是 P,DH⊥ BH,垂足为 H,求证 :(1) CH=CP　 (2 ) AP=BH分析 :要证明 CH=CP,我们发现它们分别在两个三角形△ DCH和△ DCP中 ,只要证明两个三角形全等就可以了。那么要证 AP=BH,这两条线段不在同一个三角形中 ,我们也应首先考虑全等。连结 BP,可把 AD、BH放在△ ADP和△ B…     

垂足三角形的性质及证明

锐角三角形的垂足三角形有两个重要的性质,本文对这两个性质加以证明. 性质1锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心. 已知:如图1,锐角△ABC中,AD、BE、CF分别为边BC、AC、AB上的高,O为垂心.     

垂足三角形序列的若干结论

运用递推法对若干垂足三角形序列进行研究,得出的主要结果及结论:(1)保证i阶垂足三角形△AiBiCi,i=1,2,…,n n(∈N)*均为锐角三角形时的原△ABC满足的若干充分条件;(2)保证i阶垂足三角形△AiBiCi,i=1,2,…,n n(∈N)*均为钝角三角形时的原△ABC满足的若干充分条件;(3)保证只有i阶垂足三角形△AiBiCi,i=1,2,…,n n(∈N)*时的原△ABC满足的若干充分条件.     

九点圆

在任意的三角形中,三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点,这九个点共圆,这个圆称为九点圆．