对《解题分析:从尝试到严谨》一文的补充

文 [1] (见下文《参考文献》)吴老师运用解题分析的观点探求了一道对数选择题的解法 ,提供的解法颇具新意 ,笔者深受启发 ,同时也想给该文做一点补充 .题目　已知ｘ1 是方程ｘ ｌｇｘ =3的根 ,ｘ2 是方程ｘ 10 ｘ=3的根 ,则ｘ1 ｘ2 等于 (　　 )Ａ .6　　Ｂ .3　　Ｃ .2　　Ｄ .1高中《代数》上册有一道例题恰好是 :求方程ｘ ｌｇｘ =3的近似解 .该题因其方法的独特性给学生留下了深刻的印象 ,所以看到上面这道选择题 ,多数学生首先想到的当然是图象法 .而吴老师认为图象法“这里不合适” ,这不利于激发学生的学习兴趣 ,不利于培养学生…     

两个一元二次方程有一根具有某种关系的问题的解法

一元二次方程是初中代数的一个重要内容,灵活运用其解法解方程是初中代数教学的基本要求之一.而了解关于含字母的两个一元二次方程有一根具有某种关系的问题的解法,对于学有余力的学生来说可以开拓知识视野,也是培养学生逻辑思维能力和浓厚的数学兴趣的一个优秀题材.现就这一问题的解法谈以下几点,供参考.一、两个方程仅有一个公共根的问题将两个一元二次方程的二次项系数化为相同时,则两方程之差所得一元一次方程的根就是公共根的表达式,再将公共根代入任一方根,则可求出所含字母的值或系数.例1　方程ｘ2 2ｍｘ-1=0与方程ｘ2 (ｍ 3)·ｘ-4=…     

利用根与系数的关系解题

根与系数的关系问题是一元二次方程的重点内容 ,在中学数学中占有相当重要的地位 .利用它不但可以解决许多代数问题 ,还可以解决三角、几何问题 ,在中考解题中应用也很广泛 .现以各地中考题为例 ,介绍它的应用 .一、已知一根 ,求另一根例 1　已知方程 2ｘ2 -ｐｘ 62 =0有一根是 2 ,那么另一根是 . ( 1 999年四川省中考题 )解　设另一根为ｘ0 ,由根与系数的关系可得ｘ0 · 2=622 ,所以ｘ0 =3.二、求代数式的值例 2　先化简 ,再求值 :ｂａ ａｂ(ａ >0 ,ｂ >0 ) ,其中ａ、ｂ是方程ｘ2 -3 2ｘ 3=0的两个实数根 .( 1 999年辽宁省中考题 )解　 …     

判别式与韦达定理

一元二次方程是初中代数的一个极为重要的内容 ,尤其是判别式和韦达定理的应用更是广泛 ,成为初中数学竞赛的热点 .一、基础知识1 .判别式 .设一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0 ( )的判别式为Δ =ｂ2 -4ａｃ ,ｘ1、ｘ2 是方程的两个根 ,则Δ >0 方程 ( )有两个不等实根ｘ1,2 =-ｂ±Δ2ａ ;Δ =0 方程 ( )有两个不等实根ｘ1,2 =-ｂ2ａ;Δ <0 方程 ( )无实根 .2 .违达定理 .设ｘ1、ｘ2 是方程 ( )的两个根 ,则ｘ1 ｘ2 =-ｂａ ,ｘ1ｘ2 =ｃａ .特别地 ,当Δ≥ 0时 ,有ａｃ>0 两根同号 ,且 ａｂ>0 ,两根为负 ;ａｂ<0 ,两根为负 .ａｃ<0 …     

《一元二次方程》自测题(一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数的关系)

一、填空题 (每空 3分 ,共 3 6分 )1 把方程 (ｘ -2 ) (ｘ -3 ) =1 2化为一般形式是　　　　　　　　　　　　　　　 .2 一元二次方程 2ｘ2 =7ｘ +6的二次项系数、一次项系数和常数项分别是　　　　　　　 .3 一元二次方程 2ｘ2 =8ｘ -5的根的判别式的值是 .4 若ｘ1、ｘ2 是一元二次方程 3ｘ2 =1 1ｘ -1 0的两个根 ,则ｘ1+ｘ2 =,ｘ1·ｘ2 =.5 若 2和 3是关于ｘ的一元二次方程 3ｘ2 -ｍｘ +ｎ =0的两个根 ,则ｍ、ｎ的值分别是.6 若 5是关于ｘ的方程 3ｘ2 +ｋｘ -8ｋ =0的一个根 ,则ｋ的值是 .7 在方程 ( 1 ) 2ｘ2 -6ｘ+3 =0 ,( 2 ) 5ｘ2 …     

函数思想的应用

函数思想是数学中的重要思想 ,用运动、变化的观点分析、处理变量和变量之间的关系是函数思想的精髓 .在解题中如能运用函数思想合理选择函数关系式 ,就能使解题思路自然流畅 .例 1　关于ｘ的方程 9ｘ+( 4 +ａ) 3 ｘ+4 =0有实数解 ,求实数ａ的取值范围 .解　方程等价变形为4+ａ =-3 ｘ+43 ｘ .令ｆ(ｘ) =-3 ｘ+43 ｘ ,则ｆ(ｘ) ≤ -4 .∴ 4+ａ≤-4 ,ａ≤-8.ａ的取值范围为 ( -∞ ,-8] .例 2　关于ｘ的方程 9ｘ+( 4 +ａ) 3 ｘ+4 =0有两个实数解 ,求实数ａ的取值范围 .解　令ｔ =3 ｘ,则问题等价于方程ｔ2 +( 4 +ａ)ｔ+4 =0在 ( 0 ,+∞ )上有…     

一元二次方程中考试题精选(Ⅰ)(一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系)

一、填空题1 当时 ,方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0是一元二次方程 . (2 0 0 1年安徽省合肥市中考题 )2 一元二次方程ｘ2 + 2ｘ + 1=0的根的判别式是. (2 0 0 1年湖南省长沙市中考题 )3 一元二次方程ｘ2 =ｘ的两根之和与两根之积分别是 . (2 0 0 1年青海省中考题 )4 若方程ｘ2 -3ｘ +ｍ =0的一个根是 1,则它的另一个根是 ,ｍ的值为 .(2 0 0 1年江苏省常州市中考题 )5 如果ｘ1、ｘ2 是方程ｘ2 -3ｘ + 1=0的两个根 ,那么代数式 (ｘ1+ 1) (ｘ2 + 1)的值是 .(2 0 0 1年上海市中考题 )6 若方程 (ｘ -1) (ｘ -2 ) =0的两根为ｘ1、ｘ2 ,且ｘ1>ｘ2 ,则ｘ…     

《一元二次方程》2000年中考题选登

一、填空题1 一元二次方程 (ｘ - 1) 2 =2的根是 . (福建省莆田市 )2 一元二次方程ｘ2 + 4ｘ - 12 =0的根是 . (吉林省 )3 方程ｘ2 + 3ｘ - 40 =0的根的判别式Δ =. (四川省 )4 关于ｘ的一元二次方程ｘ2 - 2ｘ + 3=0的根的情况是 . (云南省曲靖市 )5 若关于ｘ的方程ｘ2 + 2ｘ +ｍ =0有两个相等的实数根 ,则ｍ =.(宁夏回族自治区 )6 关于ｘ的一元二次方程ｘ2 + 2ｋｘ +ｋ - 1=0的根的情况是 . (内蒙古包头市 )7 若关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 - 2 (3ｍ - 1)ｘ + 9ｍ - 1=0有两个实数根 ,则ｍ的取值范围是 . (贵州省贵阳市 )8 如果方程ｘ2 -…     

数学解题中的辩证策略

数学解题是数学教学和学习中的重要活动 ,把握解题策略远远要胜于一招一式的解题方法。而辩证法如同在指导其它学科一样 ,在指导数学解题策略方面也有着重要的作用。1　正难则反策略对于有些数学题 ,从正面入手往往比较难或较繁 ,如果改变解题策略 ,从反面去思考 ,则反而容易。例 1　在三个方程ｘ2 ｍｘ 4 =0 ,ｘ2 2ｘ -2ｍ =0 ,ｘ2 (ｍ 1 )ｘ -(ｍ2 -1 ) =0中 ,要使其中至少有一个方程有实根 ,问ｍ应当取怎样的实数值。分析　本题若从正面去思考 ,要分三种情况 :①三个方程中有一个方程有实根 ,②三个方程中有二个有实根 ,③三个方程…     

例说用定义解题

数学中的定义是我们学习和认识数学知识的基础 ,离开了它我们对数学的学习和认识就举步维艰 .数学中的定义不仅可以帮助我们学用公式、定理、法则 ,而且可以直接利用定义去解题 ,著名数学教育家波利亚在《怎样解题》中就多次强调“回到定义去”.应用定义解题 ,不仅可以简化一些繁琐的解答过程 ,而且可以帮助我们对定义有更深入的理解 ,可谓一箭双雕 ,下面举例说明 .1　用方程根的定义例 1　已知方程 ax2 +bx +c=0 ( a≠ 0 )的两根之和为 S1 ,两根平方和为 S2 ,两根立方和为 S3 .求 a S3 +b S2 +c S1 的值 .分析 :常规思路是利用韦达定理…     

浅谈无解方程的判定

在解方程中 ,常有些无解的方程出现 ,有不少同学因不能正确识别这类方程 ,而采用常规的解题方法 ,以致造成解题繁琐 ,影响解题速度。这里给大家简单介绍几种无解方程的判定方法。1 .利用矛盾区间判定。此方法是由方程入手 ,通过恒等变形或对原方程成立的条件进行合理的分析 ,推出明显的矛盾 ,从而判定原方程无解。例一 :方程 1 -ｘ 2 -ｘ =ｘ - 3是否有实数根 ?解 :由1 -ｘ≥ 02 -ｘ≥ 0ｘ - 3≥ 0　 　ｘ≤ 1ｘ≤ 2ｘ≥ 3　　这显然是矛盾区间 ,∴原方程无解。例二 :方程3ｘ 6ｘ- 1 =ｘ 5ｘ(ｘ- 1 ) 是否有解 ?解 :∵原方程可以变形…     

配方法在解题中的应用

配方法是常用的解题方法 .使用配方法的关键是配方 ,常见的配方法有下述 4种基本类型 .1　形如ａ2 ± 2ａｂ +ｂ2 的三项式配方这是最简单的配方形式 .只需化简、整理 ,使所给三项式变为完全平方式即可 .例 1　分解因式 :(ｘ + ｙ) 2 - 4(ｘ + ｙ) +4= .( 2 0 0 1 ,济南市中考题 )分析 :将ｘ + ｙ看成一个整体 ,易发现这三项式是完全平方 .设Ａ =ｘ + ｙ .故原式 =Ａ2 - 4Ａ + 4=(Ａ - 2 ) 2　　　 =(ｘ + ｙ - 2 ) 2 .例 2　方程ｘ2 + 2 3ｘ + 3=0的根的情况是 (　　 ) .(Ａ)有两个不等的有理数根(Ｂ)有两个相等的有理数根(Ｃ)有两个不等的…     

训练创造性思维,增强应变能力

在数学解题中 ,怎样使自己更聪明一点、增强应变能力呢 ?聪明不聪明与智力有关 ,智力是由观察力、注意力、记忆力、想象力和思维力组成 ,智力强的学生必然有较强的应变能力 .创造性思维就是新颖、独特、有价值的思维 .1　观察能力是应变的触角所谓观察在数学解题中就是对数学关系、图形与推理过程进行从整体到局部的审察 .经验说明观察得愈深刻、越细致 ,则解题的应变能力也就越强 .例 1　解方程组3ｘ + 5ｙ =3 ,9ｘ2 + 2 5ｙ2 =5 .若将两个方程孤立起来进行观察 ,则一事无成 ,到了“山重水复疑无路”的困境 ,但是若将两个方程联系起来观察…     

用曲线系方程解题应注意的两个问题

大家都知道 ,过两曲线ｆ1(ｘ ,ｙ) =0 ,ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0的支点的曲线系方程为ｆ1(ｘ ,ｙ) λｆ2 (ｘ,ｙ) =0 (λ∈Ｒ) .利用它来处理解几中过两曲线交点的某些问题显得特别方便 ,但是运用曲线系方程时应注意以下两个问题 .1　应判定解的存在性应判定解的存在性 ,是指解题之前首先应判定曲线ｆ1(ｘ,ｙ) =0与ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0是否有交点 .如果有交点 ,则可用曲线系方程解之 ;如果无交点 ,说明本题无解 ,否则就可能将无解题求出解来 .例 1　求过两圆ｘ2 ｙ2 - 2ｘ - 3=0和ｘ2 ｙ2- 10ｘ 2ｙ 2 5 =0的两个交点的直线方程 .解　过两圆交点的曲…     

应用根与系数的关系应注意的问题

一元二次方程的根与系数的关系是一个非常重要的知识点 ,应用十分广泛 .但是 ,应用这个定理时有几个应注意的问题 ,必须引起大家的重视 .第一 ,要注意对判别式的检验课本叙述根与系数的关系时说 :如果ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0 (ａ≠ 0 )的两个根是ｘ1、ｘ2 ,那么ｘ1+ｘ2 =-ｂａ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ.请注意“如果……” ,它告诉我们 ,在实数范围内应用根与系数的关系的条件是 :方程必须有两个实根 ,即Δ≥ 0 .有的同学不注意对判别式的检验 ,往往在这里出错 .例 1　方程ｘ2 -(ｍ +1 )ｘ +3ｍ -5=0的两个实数根为α、β ,且α2 +β2 =1 6,求ｍ的值 .错解…     

两个解题案例的分析

本文讨论两道不等式证明题 ,每一题都在杂志上发表过多种证法 ,我们将分析这些解法的结构 ,抓住本质步骤 ,做出节省解题力量的改进 .一、案例 1题目 1　设ｘ >0 ,ｙ >0 ,ｘ≠ｙ ,且ｘ2 - ｙ2 =ｘ3-ｙ3,求证 :1<ｘ ｙ <43 .《数学通报》1998年 (见文 [1]Ｐ .8)、2 0 0 0年 (见文[2 ]Ｐ .2 6)分别给出了下面的证明 1、证明 2 .其他地方也有类似问题的讨论 (见文 [3] ) .证明 1:设ｘ ｙ =ｔ,由　ｘ2 -ｙ2 =ｘ3-ｙ3　　　ｘ≠ｙ ｘｙ =ｔ2 -ｔ,①∴ｘ、ｙ为一元二次方程ｚ2 -ｔｚ (ｔ2 -ｔ) =0的两根 ,记 ｆ(ｚ) =ｚ2 -ｔｚ (ｔ2 -ｔ) .由…     

代数概念的特征研究及其教学启示

一、问题的提出或许 ,每位教师都曾注意到过 ,一些学生初学解方程时 ,总是出现方程连等的情况 ,如解方程 5ｘ -4 =2ｘ 8,他可能会把解题过程写成 5ｘ -4 =2ｘ 8=5ｘ-2ｘ =8 4 =3ｘ =1 2 =ｘ =4 .同样 ,在后继的学习中 ,教师也会注意到类似现象 ,如在解类似下面问题时 :“已知ｘ1、ｘ2 是方程ａｘ2 ｂｘ ｃ =0的根 ,求ｘ12 ｘ2 2 的值” ,一些学生往往仅把它看成一种求两数平方和的运算问题 ,而只想着求出ｘ1、ｘ2 ,再代入求值 ,不习惯把ｘ12 ｘ2 2 变形为 (ｘ1 ｘ2 ) 2 -2ｘ1ｘ2 ,再根据韦达定理求 .如果再细心一些 ,我们还会发现发生…     

巧用方程根的定义解题

若ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根 ,则有ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0。若ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,则当ｘ1 ≠ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2是方程的两不等实根 ;当ｘ1 =ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0的两个相等实根。灵活运用上述结论解涉及一元二次方程的有关问题 ,常能化繁为简 ,化难为易 ,举例如下 :例 1　若α ,β是方程ｘ2 + 2ｘ - 2 0 0 1 =0的两个实数根 ,则α2 + 3α +β等于 (　　 ) ( 2 0 0 1年山东省威海市中考题 )Ａ .- 2 0 0 0 ;　　Ｂ .2 0 0 0 ;　　Ｃ…     

初三代数期末综合训练题

一、填空题1 若ｘ1和ｘ2 是方程ｘ2 -5ｘ + 2 =0的两个根 ,则ｘ1+ｘ2 =,ｘ1·ｘ2 =.2 已知方程组 ｘ+ｙ=2 ,ｘｙ=-1 5 ,则以ｘ、ｙ为两根的一元二次方程是　　　　　　　　　　 .3 方程组 2ｘ -ｙ =1 ,4ｘ2 -ｙ2 =7的解是 .4 解方程 ｘ + 3ｘ2 -1 + ｘ2 -1ｘ + 3=2 65 时 ,若设ｙ=ｘ+ 3ｘ2 -1 ,则原方程可变形为　　　　　　　　 .5 在数据组 -1 ,0 ,3,6 ,7,9,1 3中插入一个数据ｘ,使这组数据的中位数是 5 ,则ｘ的值是 .6 图象经过Ａ( 0 ,3)、Ｂ( -1 ,0 )两点的一次函数的解析式是 .7 若抛物线经过Ａ( -1 ,0 )、Ｂ( 3,0 )、Ｃ( 0 ,3)三…     

解分式方程 不必都验根

验根对解分式方程来说 ,是至关重要的一步。若是因忘了验根而把所解方程无意义的根留了下来 ,那整个解题过程都是徒劳的。因此教材在安排该内容时 ,特别注重验根一步的教学 ,并用了一定篇幅对验根的理论作了阐述。认真研究解分式方程的理论依据 ,发现解分式方程不必都验根。首先 ,分析概念。通过分式方程、方程、分式几个概念的分析比较知道 :分式方程 ,首先是一个方程 (等式 ) ,其次才是分母中含有未知数的方程。如 :ｘｘ - 1 + 32ｘ=1 ,80ｘ =60ｘ - 4等就是分式方程。而像 :3ｘ2 - 2 =-ｘ ,3ｘ4- =0等就不是分式方程。其次 ,理解方程(等…