2022年清华大学强基计划数学试题(部分)及其详解

2022年清华大学强基计划数学测试试题共35道(都是不定项选择题).文章回忆出了其中的12道题，并给出了其详细解答.试题涉及函数、不等式、复数、三视图、排列组合、初等数论、定积分的定义、平面解析几何、平面向量.其中有三道题在全国高中数学联赛预赛试题中均出现过类题，有一道试题中的抽象函数不存在(即该题是错题).     

以高等数学为背景的题型与高考走势

以高等数学为背景的高考试题，背景比较新颖，对能力的要求较高，能有效地考查学生的思维能力和继续学习数学的潜能，因而成为近几年高考命题的“宠儿”．例如，2006年四川省数学高考理科试题第16题的背景是群论，2006年北京市数学高考试题第15题的背景是定积分，2007年四川省数学高考理科试题第21题的背景是牛顿切线法，2007年山东省数学高考试题第21题的背景是泰勒级数，2007年广东省数学高考试题第21题的背景是牛顿迭代法，等等．     

定积分∫0^π／2 cosθ／sinθ＋cosθ dθ的解法

定积分I=∫0^π/2 cosθ/sinθ cosθ dθ有多种解法，除一般解法外，还有若干简单、灵巧的解法。以此为例，强调“一题多解”对学习数学的意义和作用。     

定积分在几何学中的应用研究

定积分不仅是理论知识的基础理论,而且是解决实际问题的有效方法。本文通过引入高等数学的理论基础,介绍了定积分的数学定义,以及其几何意义。然后以数学理论为指导,总结了一些运用定积分解题的技巧。最后用不同的模型分析了在几何学中定积分的应用。     

浅析高等数学教学中的一题多解

高等数学中的“一题多解”可以培养学生的发散性 思维,对学生养成利用已有知识系统性地分析问题,多途径解 决问题的创造性学习品质起着重要的作用。本文通过求解一 道定积分的题目,并结合课堂实践经验,说明“一题多解”在高 等数学教学中所起的积极作用。     

基于工作任务的信息化教学设计——以高职高等数学“定积分的概念和计算”为例

借助信息化教学手段,以高职高等数学"定积分的概念和计算"为例,采用工作任务的教学模式,使学生了解定积分的应用背景,掌握定积分的概念,并运用数学软件实现定积分的计算问题,体现信息化技术在课堂教学中的合理应用。     

一类积分公式的证明

本利用定积分的一道题来证明一类积分的计算公式。     

三用定积分

定积分是新课标的新增内容,它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液,还给学生提供了数学建模的新思路、"用数学"的新意识,是学习的重点,通常利用定积分可以求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力作功等.另外,利用定积分也能证明不等式,下面举例     

定积分∫π/2 0 cosθ/sinθ+cosθ dθ的解法

定积分∫π/2 0 cosθ/sinθ+cosθ dθ有多种解法,除一般解法外,还有若干简单、灵巧的解法.以此为例,强调"一题多解"对学习数学的意义和作用.     

一道大学数学竞赛题的若干换元积分求解方法

重积分的计算是过去十届大学生数学竞赛的常考题型,其求解需要较好的观察能力、逻辑推理能力与计算能力.重积分的计算有时非常困难,注重一题多解的教学能帮助学生从不同侧面看清其研究的重积分,进而积累起更多的重积分计算思路.本文给出第一届全国大学生数学竞赛非数学专业组试题填空题中题(1)的若干种换元积分求解方法,以期能在大学数学的一题多解教学方向能带来更多有益思考.     

谈定积分概念的教学

定积分是经济类专业高等数学教学的重点,无论从概念本身到实际应用,还是从计算方法到思想方法,均有着举足轻重的地位。数学概念从其形式上看,它是数学的表层知识,但是,一个数学概念的背后往往蕴涵了丰富的数学思想,有的数学概念本质上就是一种数学观念,是分析、处理问题的一种策略和基本方法,这一点,在定积分概念身上体现得更加突出。本文主要针对定积分概念教学中的问题,从教学方法上谈了自己的理解和看法。     

高等数学中关于定积分的说课方法

定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺垫,起到了承上启下的作用.定积分概念的引入体现着微积分“无限分割”、“无穷累加”、“以直代曲、以不变代变”的基本思想.从内容和数学思想方面在教材中都处于重要的地位.本节从实例出发得到定积分的概念,为以后更好地研究定积分的几何意义和定积分的应用奠定了基础.     

高职定积分应用的教学研究举例

定积分是高职数学教学中非常重要的一部分教学内容,定积分应用的问题是对现代社会经济现象定性及定量分析的一个重要内容。这就要求学生不仅要学会定积分的基本计算,还要会用定积分处理相关的实际问题。本文以定积分教学为背景,给出定积分在社会生活中的一些实例,从实际应用的角度来说明定积分的应用和使用。     

高中数学“定积分”易错题型例析

正高考全国统一考试大纲和福建省考试说明都将"定积分"这一知识内容的要求层次界定"了解",但近几年高考试题每年都有对"定积分"知识点进行考查的题目,使"定积分"知识点成为了"冷点"中的"热点",它给学生提供了数学建模的新思路和"用数学"的新意识.因教材中安排"定积分"的课时少,教学中对其重视不够,导致学生对定积分概念及其几何意义理解不够透彻,对微积分基本定理应用不够熟练,对公式的记忆不准确、不熟练,从而导致在解题中出现一些错误.下面通过具体例题,对"定积分"知识点中的易错题型作些分析.     

利用定积分证明不等式的思路开发——数学探究学习的一次课堂实录

定积分是一种特定形式的和式的极限,许多实际问题都可以归结为求这种特定形式的和式的极限．因此,定积分有着丰富的背景和广泛的应用．笔者做了一次数学探究学习的课堂尝试,让学生探究利用定积分知识求证不等式．     

定积分integral from n =0 to π/2(cosθ/(sinθ+cosθ))dθ的解法

定积分I=integral from n =0 to π/2(cosθ/(sinθ+cosθ))dθ有多种解法,除一般解法外,还有若干简单、灵巧的解法。以此为例,强调"一题多解"对学习数学的意义和作用。     

例谈定积分的应用

定积分是微积分中的重要内容,新一轮的高中新课程改革把简单的定积分放到高中数学中,让学生更早地接触到了高等数学中微积分的有关的知识和思想,感受到数学的魅力和应用．本文旨在几个方面粗浅地谈谈定积分的应用,以此来说明定积分的作用是非常强大的．     

让初中学生掌握分类讨论的数学方法

在中学数学教学中，分类讨论是正确解决一类较复杂的数学问题的好方法，要及时让学生掌握这种解题的方法，从初中阶段起就应加强运用这种方法解题的练习和训练，从而使学生升入高中后，具有较强的解决分类讨论这类数学问题的能力。事实上，在初中数学课本中，已出现了一些分类讨论的数学问题。如：原初中代数第一册课本复习参考题P180第10题（3）a与-a哪一个大？P181第18题（l）a＋b一定大于a吗？为什么？（2）a-b一定小于a吗？为什么？初中代数第三册复习参考题九P29第3题：a的绝对值是什么？P46：求a2的值；初中代数第四册复习参考题十…     

"曲边梯形的面积"的教学

普通高中课程标准实验教科书数学（苏教版）选修2—2第一章导数及其应用,第1．5．1节“曲边梯形的面积”是学习定积分必须要做的前期准备．本节提供了定积分的一些实际背景材料（曲边梯形面积、变速运动路程、变力作功）,研究这些背景材料对于建立定积分概念至关重要．通过探求曲边梯形的面积,掌握“以直代曲”的数学思想方法,从问题情景中了解定积分的实际背景,借助几何直观体会定积分的基本思想,了解微积分的文化价值．     

定积分的应用

定积分是高等数学的重要组成部分,也是研究物理学中某些理论的重要工具,积分中的微元法是把物理问题抽象成数学中的定积分。本文是通过微元法的理论,求水压力、变力做功等物理问题,从而使求物理问题转化为定积分。