与中点有关的辅助线

在几何问题中,中点问题是一类常见的问题.与中点有关的辅助线有以下几种.一、已知三角形两边中点,连结两个中点构造三角形的中位线例1 如图1,□ABCD的对角线BD、AC相交于点O,DB=AB,E是AB的中点,DE交AC于点F.求证:(1)∠BDE=∠DCA;(2)FD=FA.(温州97年中考题)分析 因为ABCD平行四边形,故O是BD中点,又E是AB的中点,连结OE,则OE是△ABD的中位线,可证ADOE是等腰梯形.证明 连结OE.     

特殊四边形问题中添加辅助线的方法

<正>特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些与特殊四边形有关的问题时,往往需要添加辅助线.下面介绍求解这类问题时添加辅助线的方法.一、与平行四边形有关的辅助线的作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一.它有许多可以利用性质,为了利用这些性质,往往需要添加辅助线构造平行四边形.1.利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图1,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点,四边形OCDE是平行四边形     

转化是学好四边形的关键

一、将四边形问题转化为平行四边形问题例 1.已知 :四边形 ABCD中 ,AB=DC,AC=BD,且 AD≠BC。求证 :四边形 ABCD是等腰梯形。分析 :欲证此四边形为等腰梯形 ,可由定义来证明。从已知条件可看出 ,只要证明AD∥ BC即可。由此联想到构造平行四边形即可证得。证明 :过点 D作 DE∥ A B交BC于点 E,则∠ ABC=∠ DEC。∵ AB=DC,AC=DB,BC=CB,∴△ ABC≌△ DCB。∴∠ ABC=∠ DCB,∠ DEC=∠ DCB。∴ AB=DC=DE,∵ AB∥ DE,∴四边形 ABED是平行四边形 ,∴ AD∥ BC。又∵ AD≠ BC,∴四边形 ABCD是等腰梯形。二、将四…     

用平移法解多中点问题

应用三角形中位线定理解决多中点问题，经常要用到“取中点连中线”的方法，但对多中点问题，到底在什么地方取点，同学们常感到困惑．本文通过几个典型例题说明取点连线的方法．例１已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别     

让梯形回到平行四边形

同学们都知道,平行四边形是中心对称图形．过对称中心（对角线的交点）的直线如果不经过顶点,可将平行四边形分成两个全等的梯形（如图1）．反过来,如图2,把梯形ABCD绕腰CD（或AB）的中点O旋转180&#176;（顺时针方向、逆时针方向皆可）,可得到梯形EFDC．这时四边形ABEF即为平行四边形．利用这一性质,可以把一个梯形问题（尤其是有腰的中点的条件的问题）转化为平行四边形的问题来处理。     

中点四边形

A BCDEFGH图1中点四边形是指顺次连结四边形各边中点所得的四边形.中点四边形的形状与原四边形的两条对角线有着十分密切的联系.为了说明这一点,请看下面的几个例题.例1如图1,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.试判断四边形EFGH的形状.解析:因为点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点,所以为了能充分利用这一条件,可以连结AC.于是在△ABC中,EF是中位线,则EF∥AC,且EF=12AC;在△ADC中,HG是中位线,则HG∥AC,且HG=12AC.所以ABCDEF GH图2ABCDEFGH图3EF∥HG,且EF=HG.所以四边形EF…     

数学问题与解答——1985年第4期问题解答

76.求证:如果凸四边形一组对边的中点和两条对角线的交点共线,那么这个四边形是平行四边形或梯形。证明:在凸四边形ABCD中,M、N分别是AB、CD的中点,P为AC、BD的交点,M、P、N三点共线。     

对角线——中点四边形的锚

我们先来看教材上一道题目:题目如图1,在四边形ABC D中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点.四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?我们把四边形E FGH叫做四边形ABCD的中点四边形,从课本上知道,中点四边形EFGH是平行四边形.同学们是否思考过下列问题:1.为什么任意四边形的中点四边形都是平行四边形?2.中点四边形的周长和面积与原四边形的周长和面积有什么关系?3.中点四边形能否为特殊的平行四边形(矩形,菱形,正方形)呢?23在学习和探索中,同学们可以发现:对角线相等的四边形的中点四边形是菱形;对角线互相垂直的四边形的中点四边…     

一道例题结论的探索

九年义务教材初中《几何》第二册第179页有这样一道例题：求证：顺次连结四边形四条边的电发,所得的四边形是平行四边形．已知：如日1,在四边形ABCD中,E、F、C、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．证明连结AC．AH＝HD,CC＝CD,HC／／＊c．HC一七＊C‘“一’““一2““一（三角形中位线定理）．同理EF／／AC,EF＝HAC．HC／／EF．所以四边形EFCH是平行四边形．这个命题可以用语言叙述为：任意四边形四边中点的连线构成平行四边形．我们分析这个例题的证明过程,会发现我们作的辅助线（…     

充分挖掘课本资源提高探究能力

在北师大版教材九年级上第三章第一节平行四边形后面有这样一道练习题: 　　已知:如图1,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点,求证:四边形EHFG是平行四边形.证明:∴线段AB、BD、CD、AC的中点分别是E、H、F、G,∴.EH、GF分别是△ABD、△CDA的中位线.……     

观察对角线，线别中点四边形

三角形中位线性质定理,是初中几何重要定理之一．利用此定理,证明顺次联结四边形各边中点所得四边形（约定为中点四边形）是平行四边形、菱形、矩形、正方形．这类问题对不少同学来说,容易出错．原因有二,一是不会运用三角形中位线性质定理;二是判断“中点四边形”是何形状的特殊四边形,需要哪些条件不清楚．本文总结四种类型如下,供同学们学习时参考．     

梯形中的常见辅助线

梯形是只有一组对边平行的特殊四边形。这部分知识主要应用于证明有关线段相等、倍半以及计算角度和线段长。解决这些问题除了要准确地掌握有关的基本概念和基本定理外 ,关键是掌握将梯形转化为平行四边形和三角形问题的分析方法。一般说来 ,处理梯形问题的基本思路是通过添作适当的辅助线 ,把梯形转化为平行四边形和三角形。根据题设条件的不同 ,具体转化时常用到以下几种辅助线 :一、平移一腰或两腰 ,将问题转化为平行四边形和三角形问题。例 1.已知 :如下图 ,四边形ABCD中 ,AB=DC,AC=BD,且AD≠ BC。求证 :四边形 ABCD是等腰梯形…     

有关三角形、梯形中位线辅助线应用技巧

三角形,梯形中位线是我们在计算、证明中经常用到的两条重要的线段,如果能把三角形、梯形中位线辅助线寻找出来,问题就会迎刃而解·所以就三角形、梯形中位线辅助线在证明中应用谈一下技巧·一、有一边中点时,常构造中位线例1如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,E为CD的中点,连结AE、BE·求证:AE=BE·证明:取AB中点F,连结EF·因为EF是中位线,所以EF∥AD∥BC·因为∠DAB=90°,所以∠AFE=∠BFE=90°,所以△AEF≌△BEF,所以AE=BE·例2如图2,E、F分别为四边形ABCD两对角线AC、BD之中点·求证:EF>21|AB-CD|·证明…     

例说四边形中点线段与边的关系

<正>在梯形中,我们利用三角形中位线探究了梯形中位线(中点线段)与上下底的关系,这里我们再深入探究一般四边形的中点线段与哪些边有关的问题.一、与四边形的对边中点线段相关的边问题1已知:如图1,四边形ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点.求证:EF相似文献   

梯形辅助线一例

例 已知四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC．求证：四边形ABCD是等腰梯形．     

开放的问题开放的思维

【题目】已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,给出下列五个条件:①AB∥CD;②OA=OC;③AB=CD;④∠BAD=∠DCB;⑤AD∥BC.(1)从以上5个条件中任意选取2个条件,能推出四边形 ABCD 是平行四边形的有哪些?(用序号表示,如①与⑤)(2)对由以上5个条件中任意选取2个条件,不能推出四边形ABCD是平行四边形,请选取一种情形举出反例说明.【解答】     

怎样用梯形中位线定理解题

一、题中有中位线直接用　　例 1 .已知 :如右图 ,梯形ABCD中 ,AB∥ CD,EF是中位线 ,EF交 BD、AC于 G、H,DC=1 0 ,EF=6,求 GH的长。分析 :由题设知 ,EF是梯形 ABCD的中位线 ,由此可以求出 AB=2 ,由 EF∥ AB∥ CD,E是 AD的中点 ,易知 EG、EH分别是△ ABD和△ ACD的中位线 ,故 EG=1 ,EH=5,从而 GH=EH- EG=4。二、梯形不完善补形用例 2 .已知△ ABC中 ,BD、CE为角平分线 ,EM⊥ AC于 M,DN⊥ AB于 N,P是 DE的中点 ,PQ⊥BC于 Q。求证 :PQ=12 (EM DN)。　　分析 :由于 BD、CE分别为角平分线。作 EM′⊥BC…     

平行四边形的运用

平行四边形的性质有其特殊性,应用广泛.它与三角形、四边形、梯形等存在着广泛的联系.有关平行四边形的证题颇多,现略举数例. 例1 如图1,△ABC的AC边上的三等分点顺次为G、H,AB、BC的中点分别为E、F,连结EG、FH并延长交于D.连结AD、DC,求证:四边形ABCD是平行四边形.     

空间向量在立体几何中的应用

一、空间向量在线面关系证明中的应用 例1 如图,在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点．     

梯形中常见辅助线的作法

在进行有关梯形的边、角、面积等计算和论证问题时,常常需要添加辅助线,将梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形问题.下面介绍六种常见辅助线的添加方法.1平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线,通过平移腰,将梯形转化为三角形和平行四边形,利用三角形和平行四边形的性质,并结合题目条件,达到计算或证明的目的.图1例1如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=2∠B,AD=a,CD=b,求AB的长.解过D作DE∥BC,交AB与点E,则∠DEA=∠B,四边形DEBC是平行四边形,故BE=CD=b,∠EDC=∠B,由∠ADC=2∠B,得∠ADE=∠AED,因而AE=AD=a,所以AB=AE+BE=a+b.2平移两腰过梯形的上底上的一点作两腰的平行线,将梯形转化为一个三角形和两个平行四边形,再利用三角形和平行四边形的性质,结合题目条件,来证明(或计算).图2例2如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别为上、下底的中点,且∠B+∠C=90°.求证:MN=12(BC-AD).证明过点M作ME∥AB交BC于点E,作MF∥CD交BC于点F,则∠MEC=∠B,∠MFB=∠C,∵∠B+∠C=90°,∴∠MEC+∠...