解相似三角形问题时构建“共顶点旋转”模型

<正>在解答初中几何问题时,需要同学们快速识别模型,然后利用模型常用的解题思路进行解题．初中阶段解相似三角形时,构建“共顶点旋转”是重点使用的模型．一、模型的介绍如图1,△ABC和△ADE有共同的顶点A,点D在AB上,点E在AC上,将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度后,连接BD,CE,得到△ABD∽△ACE．此类共顶点旋转模型,还可以看作一个三角形绕着一顶点旋转后的缩放,在作辅助线时,只要找到对应点然后连线就可以,如图1中就是B连D,C连E.     

全等三角形中的“手拉手”模型

<正>“手拉手”模型是涉及了初中数学众多知识的重要模型之一,这些知识包含了全等三角形、相似三角形、正方形、旋转以及圆.此前,同学们已经学习了北师大版七年级下册《全等三角形》和《生活中的轴对称》,下面我们一起来探究全等三角形中的“手拉手”模型吧.     

三角形旋转存在性的判定与性质

如图1,△ACM与△BCN是具有一个公共顶点的两个正三角形,令△ACM绕顶点C旋转不同的角度,可以得到下列图形（图2-图5）,许多文章对该图形进行了研究和推广,如将正三角形推广到正方形、正n边形,将两个正三角形改为两个等腰三角形、两个相似三角形等等．本文将从另一个角度研究该组图形,看看究竟是哪个三角形旋转更具本质特点．     

全等三角形中“手拉手”模型的探究

模型思想是初中数学的重要思想,“手拉手”模型是初中数学经典的几何模型之一,在全等三角形和相似三角形中都有所应用,在圆、正方形和旋转中也有涉及.本文基于学习人教版八年级数学上册“全等三角形”和“轴对称”之后,深度探究等腰三角形和全等三角形中的“手拉手”模型.     

变“静”为“动”找对应

《数学》教材 (义务教育课程标准实验教科书七年级下册 )Ｐ1 35要求 :记两个三角形全等时 ,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。对于初学者来说 ,有一定的困难 ,为了突破难点 ,介绍以下方法 :同学们知道 ,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。我们就要在“重合”上下功夫 ,让静止的图形“动”起来 ,观察两个三角形是怎样重合 ,是对折重合 ,是平移重合 ,还是旋转重合。这样 ,我们才能很容易的找出对应顶点 ,正确地写出对应边 ,对应角。图 1例 1　已知 :如图 1 ,△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′写出对应边 ,对应角。观察 :固定△ＡＢＣ…     

谈“手拉手模型”的解题思路

“手拉手模型”是基于全等三角形的一个典型的数学模型,它是基于三角形全等,由两个等腰三角形旋转而成的一个基础模型.由于这两个三角形具备一个公共顶点,很像两双手拉在一起,故取名“手拉手模型”.“手拉手模型”是全等三角形板块中非常重要的模型之一,笔者总结有关“手拉手模型”的解题思路,希望能给学生带来启示.     

分类例说“角含半角”模型及其相应结论

<正>所谓“角含半角”模型,是指在一个平面图形中,一个角与另一角共顶点,且该角的大小是另一个角大小的一半．“角含半角”模型是初中平面几何中最常见的一种模型之一．通常利用“旋转的观点”看待图形的几何变化,即将这个半角顶点旋转或通过截长补短的方法,使得两个分散的角变换成为一个三角形,这又相当于构造出两个三角形全等或相似．     

比例线段的四种证法

一、相似三角形选择法这是一种根据三角形顶点字母的构成,选择相似三角形的证题方法,这种方法有利于从复杂的图形中找出所需要的相似三角形.例1 如图1,△PQR是等边三角形,∠APB=120°.     

“折纸活动”中的三角形、四边形

<正>平面几何中的“直线形”问题（主要是三角形、四边形问题）是中考的必考内容,常以图形的性质及平移、旋转、轴对称三类基本运动为载体,综合运用三角函数、相似三角形、全等三角形、勾股定理等知识,研究图形间的数量关系和位置关系等,往往涉及“手拉手模型”“一线三等角”“半角模型”等.     

“子母”三角形相似在几何证题中的作用

如图,P是△ABC的边AB上一点,连结CP,我们称△ACP和△ABC为“子母”三角形“子母”三角形有两个明显的特点:其一,有一条公共边;其二,有一个公共角,要证其相似,只需证∠ACP=∠B或AC:AP=AB:AC(即AC~2=AP·AB)即可. 在几何证题中,从分析要证的结论和观察图形入手,结合题目的已知条件,对照“子母”三角形的相似特点,就会自然迅速地打通思路,本     

“平移与旋转”探索与思考题

1.如图1,在直角△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=1,把该三角形的斜边AB放在定直线l上,按顺时针方向在l上转动.求:图1(1)顶点C运动到C″的位置时,点C经过的路线长;(2)画出点A运动到A″的位置时,所经过的路线长;(3)按照以上旋转规律,△ABC至少经过几次旋转可看成由一次平移得到?2.如图2,△ABC中,∠BAC=120°,以BC为边向外作等边图2△DBC,现以D点为旋转中心,把△ADC绕D点逆时针旋转60°到△EDB的位置:(1)画出旋转后的图形.(2)此时,A,B,E三点是什么位置关系?为什么?(3)若AB=1,AC=3,你可以求出图中哪些线段的长?(答案见下期)“平…     

2006年4月号“数学创新与实践竞赛”参考答案

题1 上下两阴影图形面积相等。如图1,A,B,C三点为重新组合后图形的顶点(都是格点),但“△ABC”不是三角形(证明略,可参考上     

两个等边三角形中的三角形全等

等边三角形是数学学习的一个基本图形,两个等边三角形进行各种各样的拼接,形成比较复杂的图形.但只要掌握三角形全等这个武器,就能快速准确分解复杂图形,防止其他无关信息干扰,从而快速获得解题思路,提高解题的有效性,收到化繁为简、化难为易的良好效果.一、以一个点为顶点向外作两个等边三角形基本题型:如图1:△ABC与△ADE都是等边三角形,点D在AC上,求证:BD=EC证明∵△ABC与△ADE都是等边三角形∴BA=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°     

巧用翻折、旋转的“不变性”解题

新课程标准下的初中数学教材,增加了翻折、旋转等贴近生活的内容.此类问题涉及到了“动”———翻折或旋转.解此类问题,我们首先把握好“动”前后图形或图形的部分不变性,从而找到相等的元素,然后,才能正确的解决此类问题.为此,本文举例如下:例1如图1,在长方形ABCD中,AD=10,AB=8,E是CD上一点,若以AE为折痕,将△ADE翻折过来,顶点D恰好与BC边上的点F重合,求△AEF的面积.分析翻折后,△AFE≌△ADE(“动”后的不变性),所以AF=AD=10,∠AFE=∠D=Rt∠,EF=ED.要求△AEF的面积,我们只要求直角边EF即可,在Rt△ABF中,AB=8,AF=10,…     

解读相似三角形的一个基本模型——“一线三等角”

<正>相似三角形是初中几何中的核心模块,也是考查学生分析和解决问题等综合能力的重要载体.在解决问题时,我们要能从复杂的图形中分离和构造基本图形,从而将几何问题"模块"化,以提高解题效率.本文主要探究相似三角形的一个基本模型——"一线三等角".基本图形1如图1,点B、O、C三点共线,∠B=∠C=∠AOD=90°,则△BOA∽△CDO(证明略).     

谋定而后动 知“角”而有得——一类相似分割问题的求解策略

<正>在苏科版八年级数学(下册)“图形的相似”一章中有这样一道探究题：问题 如图1,已知△ABC和△A′B′C′,其中∠C=∠C′=90°,且两个三角形不相似.问：能否分别用一条直线分割这两个三角形,使△ABC所分割成的两个三角形与△A′B′C′所分割成的两个三角形分别相似?如果能,请设计分割方案;如果不能,请说明理由.分析 该问题中需分割的是两个直角三角形,两个直角三角形中的各内角关系除了已知条件中的“∠C=∠C′=90°”之外,     

巧用平行线型相似三角形

《几何》课本“相似形”一章中有一定理:“平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。”如图1、图2,为叙述方便起见,我们称这一类相似三角形为平行线型相似三角形。称基本图形图1为“A”字型,基本图形图2为“X”字型,不管哪种情况,都有 DE∥BC(?)ΔADE∽△ABC(?)AD/AB=DE/BC=AE/AC     

“线段的中点”导学

“△”在甲骨中，是表示私心的“私”，说“自环为私”，而我们今天把“△”当成三角形的符号，是说至少三边才能组成一个封闭的图形．“△”代表了三角形的主要特征：三条边，三个角，三个顶点．也正是三条边、三个角这6个数据让三角形变化多端，三个顶点让三角形无处可藏．我们在     

经典几何模型——浅析手拉手模型的归纳与应用

本文通过对手拉手模型的归纳分类以及经典例题的解析,揭示手拉手模型是由共顶点全等(相似)三角形衍生出的旋转全等(相似)三角形这一本质,给出快速切入这一类问题的解题技巧和思想方法。     

全等三角形常见错误分析

同学们在学习全等三角形时,经常会出现以下错误: 一、记两个三角形全等时,表示对应顶点的字母没有写在对应的位置上. 例1 如图1,当AB=DC,AC=BD时,得出△ABC≌△DBC;如图2,当AB=CD,BC=AD时,得出△ABC≌△ADC.