利用体积解立体几何题

和面积在平面几何中的地位相当,体积在立体几何中也有一番妙用。举例说明如下。一利用体积求点到平面的距离例1 长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c,求顶点B_1到截面A_1BC_1的距离。解由题设,长方体AC_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c, ∴A_1B=(a~2+c~2)~(1/2),BC_1=(b~2+c~2)~(1/2),A_1C_1=(a~2+b~2)~(1/2) 故cos∠BA_1C_1=((A_1B)~2+(A_1C_1)~2-(BC_1)~2)/(2A_1B·A_1C_1)=(a~2+c~2+a~2+b~2-b~2-c~2)/(2((a~2+c~2)~(1/2))·(a~2+b~2)~(1/2))=(a~2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))sin∠BA_1C_1=(1-(a~4)/(a~2+c~2)(a~2+b~2))~(1/2)=(a~2b~2+b~2c~2+c~2a~2)~(1/2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))     

一道高考压轴题题源探寻与拓展

1 问题来源 题1 (2013年高考广西卷理科压轴题)已知函数f(x)=In(1+x)-x(1+λx)/1+x.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{an}的通项an=1+1/2+…+1/n,证明a2n-an+41/n＞ In2. 笔者在研究上述高考试题时,感觉似曾相似,发现它是2010年高考湖北卷理科压轴题的拓展与延伸. 2 题源探寻 题2 (2010年高考湖北卷理科压轴题)已知f(x)=ax+b/x+c(a＞0)在(1,f(1))处的切线为y=x-1.(1)用a表示b、c;(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的范围;(3)证明:1+1/2+…+1/n＞ln(n+1)+n/2(n+1).     

关于代数方程和方程组的解和讨论的题目

1.方程组{ax+y=a~2 x+ay=1 有多少解? 2.方程组{ax+y+z=1 x+ay+z=a x+y+az=a~2 有多少解?3.解方程|x-1|+|x-2|+|x-3|=x。 4.解方程(x+3-4(x-1)~(1/2)~(1/2)+(x+8-6(x-1)~(1/2))~(1/2)=1。5.下列方程是否有实根?     

a_2~(1/2)+a_3~(1/2)>a_1~(1/2)+a_4~(1/2)的几何解释

本刊1984年3期中《(a2)~(1/2)+(a_3)~(1/2)>(a_1)~(1/2)+(a_4)~(1/2)的一种简捷判定法》一文指出:当a≥0m>0,n≥0时,有(a+m)~(1/2)+(a+m+n)~(1/2)>a~(1/2)+(a+2m+n)~(1/2)成立。并给出了代数证明。本文对以上结论给出它的一个几何解释。由于((a+m)~(1/2))~2-(a~(1/2))~2=m-(m~(1/2))~2,     

函数f(x)+(a~2)/(f(x))的最小值的简单求法(高一)

本文用配方法对《数理天地))2001年第4期《形如f(x)+a2/f(x)的最小值的求法》一文中的四个例题,给出了统一的简单的解答过程. 例1 求函数y=sin2x+4/sin2x的最小值.解因为y=sin2x+4/sin2x     

辅助角公式的应用

在六年制重点中学高中数学课本代数第一册上有这样一道例题,化asinα bcosα为一个角的三角函数形式,课本上最后解答是这样的: asinα bcosα=(a~2 b~2)~(1/2)sin(α φ)……(A)(其中φ角所在象限由a,b符号确定,φ角的值由tgφ=b/a确定) 因为角φ通常称为辅助角,故本文中把公式(A)称为辅助角公式,此公式在求值,证恒等式,不等式,求极值等方面均有十分广泛的应用,现举例如下。 [例一] 已知:a、b不同时为零,且 asinx bcosx=0 … (1) Asin2x Bcos2x=c … (2) 求证:2abA (b~2-a~2)B (a~2 b~2)c=0 证明:将(1)式变形为 (a~2 b~2)~(1/2)sin(x φ)=0 … (3) ∵ a,b不同时为零,由(3)得 sin(x φ)=0     

错在哪里

一、山东广饶一中侯良田、吉林伊通县第五中学王伟来稿题:求椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1的切线被其对称轴所截的最短线段的长。解:设 P(acos,bsin)为椭圆上一点,则 P 点的切线方程为xcos/a+ysin/b=1不妨设是锐角(椭圆是轴对称图形),则切线与 x 轴正向、y 轴正向的交点分别是A(a/cos,0),B(0,b/sin)     

和差换元法解一类初中数学竞赛题

和差唤元法就是设x=m+n,y=m-n进行代换的方法,利用这种换元法去解关于出现x+y,xy类型数学竞赛题时,往往显得简捷而巧妙,下面举例说明。一、用于计算例1 计算(31·30·29·28+1)~(1/2)。 (第七届美国数学邀请赛题) 解:设31·28=m+n,30·29=m-n。则m=869,n=-1。∴原式=((m+n)(m-n)+1)~(1/2) =(m~2-n~2+1)=m=869。二、用于求条件代数式的值例2 设a+a~(-1)=3,求a~3+a~(-3)的值。解:设a=m+n,a~(-1)=m-n,则     

因式分解的特殊方法

关于因式分解的常用方法,中学课本中已作了介绍。本文要探讨的是根据题目的特征,运用比较特殊的方法,进行因式分解的问题。例1 在复域内分解: (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)-3x~2 解原式=(x~2+7x+6)(x~2+5x+6)-3x~2推敲上式的特征,可知若令y=x~2+6x+6,原式就化为: (y+x)(y-x)-3x~2 =y~2-4x~2=(y+2x)(y-2x) =(x~2+8x+6)(x~+4x+6) =(x+4-10~(1/2))(x+4+10~(1/2)) (x+2-(2~(1/2))i)(x+2-(2~(1/2))i) 例2分解:(ab+1)(a+1)(b+1)+ab 解原式即(ab+1)[ab+1+a+b]+ab,若令(ab+1)=A,可得: 原式=A(A+a+b)+ab =A~2+(a+b)A+ab=(A+a)(A+b)     

辅助角公式在解题中的应用

我们知道,辅助角公式asinx+bcosx=(a2+b2)(1/2)sin(x+φ)(其中a、b是不为零的实数,φ角由cosφ=a/(a2+b2)(1/2),sinφ=b/(a2+b2)(1/2)确定),能将某些函数化成y=Asin(ωx+φ)+     

一类代数式求值问题的研究

在初中数学竞赛中,常出现一类代数式求值问题,如: (1) 已知x=2-3~(1/2),求x~4-5x~3+6x~2+5x的值。(1986年上海市初中数学竞赛试题) (2) 若x=(5~(1/2)-1)/2,则x~4+x~2+2x-1=____。(第六届全国部分省市初中数学通讯赛试题) (3) 已知x=(111~(1/2)-1)/2,求多项式(2x~5+2x~4-53x~3-57x+54)~(1989)值。(1989年浙江省初中二年级数学竞赛试题) (4) 已知a=(22~(1/2)+5~(1/2))/(5~(1/2)-2~(1/2))求值:a~5-7a~4+6a~3-7a~2+11a+13。(第三届求是杯数学竞赛初二试题) (5) 当x=3~(1/2)-1时,代数式 (x+4)/(x~3+6x~2+5x-3~(1/2)-15)的值是多少?(88—89学年度广州、福州、武     

asinx+bcosx=c的判别式及其应用

已知方程 asinx+bcosx=c。①其中a、b、c都是给定的实数,且a、b不同时为零,x∈[x_0,x_0+2π),x_0是任一固定常数。设△=a~2+b~2-c~2,则当△>0时,方程①有两个不相等的实数根; 当△=0时,方程①有两个相等的实数根; 当△<0时,方程①没有实数根; 证明∵a、b不同时为零, ∴(a~2+b~2)~(1/2)≠0。∴sin(x+φ)=C/((a~2+b~2)~(1/2))。②(其中φ是辅助角,a≠0时,tgφ=b/a;b≠0     

错在哪里

一、北京师大燕化附中史树德来稿题:已知 A={(x,y)|x~2+2y~2-2ax+a~2-2=0},B={(x,y)|y~2-x=0}。在A∩B≠φ的条件下,求实数a的许可值集。解:点集A即椭圆 1/2(x-a)~2+y~2=1 ①点集B是抛物线 y~2=x_0 ②由题意A∩B≠φ,将②代入①并整理得:x~2+2(1-a)x+a~2-2=0 ③方程③必有实根, ∴ 4(1-a)~2-4·(a~2-2)≥0,解得 a ∈(-∝,3/2]。解答错了!错在哪里?     

一道IMO试题的推广

设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a~2b(a-b)≡a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a~3b(a-b)≥0 (2) ∑a~4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a~3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x~2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x~2-x~3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x~2+3σ_1x~3-x~4)     

巧用公式解题数例

巧用公式a~2-b~2=(a+b)(a-b) 例1.计算3·5·17…,…(2~2~(n-1)+1) 解:原式=(2-1)(2+1)(2~2+1)(2~2~2+1)…,…(2~2~(n-1)+1) =(2~2-1)(2~2+1)(2~2~2+1)…,…(2~2~(n-1)+1) …… =(2~2~(n-1)-1)(2~2~(n-1)+1)=2~2~n-1。巧用a~2+b~2+c~2+2ab+2bc+2ac =(a+b+c)~2 例2.计算5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/2)/2~(1/2)+3~(1/2)+5~(1/2) 解:由(2~(1/2)+3~(1/2)+5~(1/2))~2 =2+3+5+26~(1/2)+210~(1/2)+215~(1/15) =2(5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/2)) 得5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/15)=1/2(2~(1/2+3~(1/2)+5~(1/2))~2     

1991年上海市初三数学竞赛试题及解答

一、填空题(本题10小题,前5小题每题6分,后5小题每题8分;共70分) 1.实数x使x-1/x=5~(1/2),则x+1/x=____。 2.若a、b是二次方程x~2-x+g=0的两个根,则a~3+b~3+3(a~3b+ab~3)+6(a~3b~2+a~2b~3)的值是____。 3.设m为实数,方程x~2-5x+m=0有一个根的相反数是方程x~2+mx+5=0的一个根,则m=____。 4.用[a]表示不超过实数a的最大整数,{a}=a-[a]表示a的小数部分,则方程[x~3]+[x~2]+[x]={x}-1的解是____。     

关于([f(x)]~2)~(1/2)=|f(x)|的逆用

本文准备谈一下关于([f(x)]~2)~(1/2)=|f(x)|的逆用,作为本刊83年第6期“(a~2)~(1/2)型根式变形教学管见”一文的补充。例1.求证|f(x)|~2=[f(x)]~2 证明:|f(x)|=([f(x)]~2)~(1/2) 两边平方,得|f(x)|~2=[f(x)]~2。例2.化简|(1+sinα)~(1/2)-(1-sinα)~(1/2)|(0≤α≤π) 解:原式=(((1+sinα)~(1/2)-(1-sinα)~(1/2))~2)~(1/2) 例3.求证|asinx+bcosx|≤(a~2+b~2)~(1/2)。证明:|asinx+bcosx|=((asinx+bcosx)~2)~(1/2)=(a~2sin~2x+b~2cos~2x+2absinxcosx)~(1/2)=((a~2+b~2)-(a~2cos~2x+b~2sin~2x-2absinxcosx)~(1/2)=(a~2+b~2-(bsinx-acosx)~2)~(1/2)≤(a~2+b~2)~(1/2)。     

一类三角函数最值的应用

命题函数y=a/cosx b/sinx,(a、b∈R~ ),x∈(0,1/2π)的最小值为(((a~2)~(1/3) (b~2~(1/3))~3)~(1/2) 证明∵a~(1/3)cosx b~(1/3)sinx ≤ ((a~2)~(1/3) (b~2)~(1/3))~(1/2)(当且仅当x=arc tg(b/a)~(1/3)时等号成立), ∴((a~2)~(1/3) (b~2)~(1/3))~3)~(1/2)y≥a~(1/3)cosx b~3sinx)·(a/cosx b/sinx)≥(a~(1/6)(cosx)~(1/2)(a/cosx)~(1/2) b~(1/6)(sinx)~(1/2)·((b/sinx)~(1/2))~2=((a~2)~(1/3) (b~2)~(1/3))~2(当且仅当x=arc tg(b/a)~(1/3)时等号成立),即     

别证与体悟

问题 (江苏省盐城市2008年2月调研卷试题)设函数 f(x)=-x~3-2mx~2-m~2x+1-m(其中 m>-2)的图象在 x=2处的切线与直线 y=-5x+12平行.(Ⅰ)求 m 的值;(Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0,1]上的最小值;(Ⅲ)若 a≥0,b≥0,c≥0,且 a+b+c=1,试根据上述(Ⅰ)、(Ⅱ)的结论证明a/(1+a~2)+b/(1+b~2)+c/(1+c~2)≤9/(10).(*)其中不等式(*)的证明,耐人寻味,催人下笔.谨     

成人高考数学综合练习题及答案

<正> 代数一、填空: 1、计算:[(-2)~2]~(-(1/2))+2°/(2~(1/2)) -1/(|1-2~(1/2)|)=-(2~(1/2)+1)/2 2、把x~5y-x~3y+2x~2y-xy分解因式为xy(x~2+x-1)(x~2-x+1) 3、已知((2a+b~(-1))~2+|2-a~2|)/(a+2~(1/2))=0,则(a-b)/(a+b)=(3/5) 4、计算1/2lg25+lg2-lg0.1~(1/2)-log_29×log_32=-(1/2) 5、设A={x:|x|<2}, B={x:x~2-4x+3≤0},则A∩B=1≤x<2;A∪B=-23的解集为{x:x>4}∪{x:0相似文献