也谈一类无理函数值域的求法

文[1]中介绍了求函数f(x)=(1/2)(ax b)-(1/2)(cx d)的三种方法,本文将进一步说明,对于此类无理函数,有两种求其值域的通法。 1.利用函数的单调性求函数f(x)=(1/2)(ax b) (1/2)(cx d)的值域。 此法的依据是下面定理: 定理 函数f(x)=(1/2)(ax b)±(1/2)(cx d)(a,b,c,d均为常数,且ac≠0),记g(x)=a*((1/2)(cx d))±c*((1/2)(ax b)),A={x|g(x)≥0},B={x|g(x)≤0},则当时,f(x)在A上是增函数,当时,f(x)在B上是减函数。     

椭圆型方程解的连续性

考虑积分形式的椭圆型方程∫Gv,αα^αβ(x)u,β vf(x)]dx=0(A↓v∈W02^1(G))，在关于f(x)的较弱条件下，借助Green函数，证明了方程的弱解在区域内部的连续性。同时还考虑了下面的方程：∫Gv,αα^αβ(x)u,β vαg^α(x)]dx=0(A↓v∈Wo2^1(G))。     

一个不等式推广的再研讨

第39届IMO预选题11[1]如下:设x,y,z是正实数,且xyz=1,证明:x3 y3(1 y)(1 z)(1 z)(1 x) z3≥.3(1)(1 x)(1 y)4文[2]将(1)式推广为:定理1设xi∈R (i=1,2,L,n),且x1x2Lxn=1,a≥1,n≥2,有nn∑(xii=1a x1)L(a xi?1)(a xi 1)L(a xn)≥n.(2)?1(a 1)n本文给出定理1的一个推广:定理2设xi     

方程a^x=x^a的根及a^x与x^a的大小关系

现行教材在介绍了函数的单调性后,习题中有如“证明:当x>4时,2x>x2”的问题.本文在此基础上进行推广,在讨论函数y=x(a/x)(x>0,a>0且a≠1)性质的基础上,讨论方程ax=xa的根的情况,进一步比较ax与xa的大小关系.1函数y=x(ax)(x>0,a>0且a≠1)的性质     

函数图象的对称轴和最小正周期

[定理1] 设函数f(x)(x∈R)以w为最小正周期,它的图象有对称轴x=c,则存在实数a、b∈(0,w],a≠b,使得x=a,x=b也是它的图象的对称轴。证:对实数c和正数w,总可以找到一个整数k,使得kw<0≤(k 1)w,令a=-kw c,则有a∈(0,w]。∵x=c是对称轴,∴对任意x∈R,有f(c x)≡f(c-x),又w是周期,∴f(kw x)≡f(x)(k∈Z)。从而对任意x∈R,f(a x)=f(-kw c x)=f(c x)=f(c-x)=f(kw a-x)=f(a-x)。     

集合与简易逻辑

第一课时　集合及运算 基础篇 诊断练习一、填空题1.判断下列说法是否正确 ?并说出理由1高一 ( 4)班身材比较高的同学组成一个集合 .2所有较小正数组成一个集合 .2 .试用另一种方法表示下列集合 :1{0 ,2 ,4 ,6 ,8,10 }=.2 {x| 12x ∈ Z}=.3{负数 }=.4 {既是 2的倍数 ,又是 3的倍数的数 }=.3.集合 A ={x| x =2 k,k∈ Z},B ={x| x =2 k+ 1,k∈ Z},C ={x| x =4 k + 1},又 a∈ A,b∈ B,则a + b∈ .4 .已知集合 A ={x∈ R| ax2 + x + 2 =0 ,a∈R},若 A中元素至多只有一个 ,则 a的取值范围是.5.集合 B ={x| x2 - ax + ( 2 a - 4) =0 ,a≠ 4…     

相关,又有区别的几对概念(高一、高三、高三)

1.“定义域”及“值域”例1 设函数 f(x)=lg(ax2+2x+1)(a∈R). (1)若f(x)的定义域是R,求a的取值范围; (2)若f(x)的值域是R,求a的取值范围. 分析 (1)f(x)的定义域是R,即对一切r∈R.ax2+2x+1恒为正数,其充要条件是     

一组不等式的推广

文[1]给出了下面两个定理: 定理1 设a、b∈R+,则 则(a+a/1)(b+b/1)≥(√ab+√ab/1)2.     

一个猜想的证明

文[1]将拙文[2]中证明的一个不等式推广为(文[1] 定理3,叙述略有改动): 定理设x1,x2,…,xn∈R ,λ1,λ2,…,λn是不全为零的非负实数,m≥2,则有     

限定条件下nⅡi=1(1/xi-xi)的下界研究

文[1]提出了一个二元对称不等式: 命题1 已知x,y∈R ,且x y=1,则2＜(1/x-x)(1/y-y)≤9/4 (1) 文[2]用微分法证明了不等式(1)的三元推广: