第29届IMO试题及解答

第一天 (堪培拉 1988年7月15日) 1.考虑在同一平面上半径为R与r(R>r)的两个同心圆.设P是小圆周上的一个定点,B是大圆周上的一个动点.直线BP与大圆周相交于另外一点C.过点P且与BP垂直的直线l与小圆周相交于另一点A(如果l     

周期Haseman型边值问题

先利用特殊的保角映射法，将具有周期Haseman型边值问题转化为扩充复平面上一个在外域具有一定限制的Haseman型边值问题；然后通过关于单位圆周对称的方法转化为一般带位移的Riemann边值问题，从而得到可解性理论和解的表示形式．     

复平面上的圆的方程

在复平面上,任意一点(x,y)可用复数z=x iy表示;反之,任意一个复数z=x iy亦表示复平面上的一个点(x,y)。复数与复平面上的点之间建立了一一对应关系。同样,从原点O到复数z=x iy所引的向量与这复数Z也建立一一对应关系。为了方便,我们将“复数”、“点”与“向量”不加区别。     

分式线性映射性质的应用

分式线性函数的映射性质在解析函数的几何理论及其应用中起着极其重要的作用。本文将通过具体例题来说明分式线性映射的一些基本性质的应用。我们已经知道一个分式线性映射 w=az b/cz d (ad-bc≠0) 具有以下十条基本性质: 1°它实现扩充复平面(即添加无穷远点的复平面)到扩充复平面的双方单值的映射。特别当c≠0时,z=-d/c映射为w=∞;z=∞映射为w=a/c。而当c=0时,z=∞射映为     

圆≠圆周

圆和圆周的概念不能等同看待,也不能互换使用。　　现行小学数学六年制第十一册课本“圆的认识”有这样的叙述:“圆心和圆上任意一点的距离都相等”。“连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径”,“通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径”。　　敝人认为,这样的叙述,圆和圆周概念含混不清,逻辑上犯了盗用概念之病。《现代汉语小词典》第678页:“圆周,即在平面上的一动点以定点为中心,一定长为距离而运动一周的轨迹。圆是圆周所包围的平面。”这就指出圆周是围成圆的边缘封闭曲线,它属圆的一部分。圆是完整的个体,它的平面包括圆心、半径、…     

用代数方法确定空间圆的参数方程

一、基本事实设r1,r2为半径为R的⊙O1所在平面上(与⊙O1所在平面的法向量n正交的)的两个相互正交的单位向量,对于⊙O1上任一点P,若记θ为r1到O1P的转角(沿从r1到r2的转角为90°的方向),则:P与θ∈[0,2π]一一对应(将0与2π对应的同一点看成两个点),且O1P=R[(cosθ)r1 (sinθ)r2].对应于上述参数,圆周上的弧长微分为ds=Rdθ.二、几个圆周的参数方程以下利用上述事实,举例说明确定空间球面与平面的相交线圆周的参数方程的方法.1、曲线x2 y2 z2=R2x y z=k(|k|<3R)为一个圆,圆心为O1(k/3,k/3,k/3),半径为R2-k2/3,其所在的平面x y z=k上的…     

复数在解析几何中的应用一例

在中学课本中引入复平面的概念,将平面上的点与复数一一对应．这种对应的本质就是给复数在直角坐标系中找一个位置．而我们所学习的解析几何正是研究各种图形在直角坐标系下的性质,那么复数与解析几何间是否有某种关系呢?笔者发现,在解析几何中合理引进复数,可以大大简化解题步骤,使我们既快又好地得到所需的结果。下面以直线为例,简单阐述笔者的想法。     

论电磁学中高斯定理的谬误

本文的立意非常简单和明确,即数学命题的最基本规律.任何一个数学命题：其计算出来的结果都要符合“验根”的要求;即每道数学命题中,根据题设的要求得出的计算或推理结果,不能与题设条件相矛盾,否则,结果就不正确.这是数学的基本规律.@@在高斯的电通量定理中,高斯的电通量定理是根据库仑定律经二重积分推导出来的.无论是根据库仑定律还是高斯定理进行计算都能得出如下的计算或推理结果：一、两个点电荷不能相互靠近,否则其相互作用力理论上会达到无穷大,其相互作用的关系是与距离的平方成反比;二、线电荷与点电荷之间的距离也不能为零,否则也是相互间的作用力理论上会达到无穷大,其相互作用的关系是与距离的一次方成反比;三、点电荷与平面电荷的关系则是一个常数,即点电荷与平面电荷的作用关系与距离无关.这就产生了一个天大的矛盾：即,如果我们在平面电荷的平面上取一个点A,那么这个点A上的电荷就是明显的经典的点电荷,再经这个所取的点电荷A点,在平面电荷的平面上作一条直线BC,直线BC经过A点;那么这务直线BC在这个平面电荷的平面上,而在这条直线BC上的电荷则又是一条经典的线电荷.那么,通过刚才在平面电荷的平面上所取的点电荷的点A,作一条垂直于平面电荷的平面的直线AD,垂线AD与平面电荷的平面相交于A点.由此可得如下结果：平面电荷外的那个点电荷D点与平面上的无论是A点电荷,还是D点电荷与经过垂直点A点的平面电荷上的线电荷BC,都是不能相互靠近的,其作用的关系与距离的二次方或一次方成反比.也就是说当距离AD为零时,其中,D点电荷与A点电荷,或D点电荷与BC线电荷之间的作用力理论上会达到无穷大.这就形成了用高斯定理本身产生的自相矛盾的情况出现.由此充分说明高斯的电通量定理是谬误的.高斯是     

解题小品——坐井观天

成语“坐井观天”常常用来表示眼界狭小.据说金灭北宋,掳去北宋两个皇帝徽宗和钦宗,关押在五国城,令其坐井观天十余年. 众所周知,从一个圆周上去掉一个点后,其余的点可以与实数轴上的点一一对应,如图1. (NPOAx) 图1 同理,从一个球面上去掉一个点后,其余的点可与实平面上的点一一对应. 于是,可将许多与有理数、无理数相关的问题搬到圆周上来解决. 在解题中,也可将其理解为以小搏大,以局部驾驭整体.     

三角形存在条件与柯西不等式

从复数相等的定义 ,我们知道任何一个复数ｚ =ｘ ｙｉ(ｘ ,ｙ∈Ｒ) ,都可以由一个有顺序的实数对 (ｘ ,ｙ)惟一确定 .在平面直角坐标系中 ,把点 (ｘ ,ｙ)与复数ｚ=ｘ ｙｉ对应起来 ,这样就使平面上所有的点与全体复数之间建立了一一对应关系 .这个表示复数的平面就叫做复平面     

直线与平面教学中的几个问题

1.怎样认识和判定异面直线 对“异面直线”这个概念的理解,学生常有以下三种模糊认识。认为异面直线是①在空间不相交的两条直线;②分别位于两个不同平面的两条直线;③一个平面内的一条直线与这个平面外的一条直线。其原因是对异面直线是“不同在任何一个平面内”这一本质属性缺乏正确的理解而造成的。要深刻理解异面直线的问题,其焦点是能够把两条直线平行和异面区别开来。为此,我们在课堂教学中可以做这样的实验。     

复数与解析几何

在平面直角坐标系里,我们建立了平面上的点和有序实数对(即点的坐标)之间的一一对应关系;在复数平面里我们建立了复数集和复平面上的所有点集之间的一一对应关系。复数本身是由实部和虚部构成的,其实质仍然是     

恰当使用复平面,简化计算过程

在学习复数这一章,“复平面”是一个很重要的数学概念.在“复平面”内,复数 x=a bi(a、b∈R),点Z(a、b)向量(?)建立了一一对应关系,因而对同一数学问题可以从数、点、向量几个方面观察思考,选择解决问题的最佳方式.“复平面”是向量平移,旋转等几何性质一展身手的好场所,恰当使用“复平面”,“数形结合”,常常可以简化     

圓周展开的另一种方法

对于许多实用上的目的,用3(1/7)来代表π的数值已经是足够了。所以在一条直线上,截取长度等于1个圆的直径的3 1/7倍,这样得到的长度就与这个圆周的长很近似了。现在介绍另外一种相当简单但却比较精确的展开方法:假如我们要把1个半径r的圆周展开(如图),那么,首先要引直径AB,过B点作与AB垂直的直线CD,然后从圆心O作一直线OC和     

关于Grotzsch区域函数的模函数的角偏差估计研究

根据Grotzsch的区域函数的定义,对其概念认真分析和探讨,进而再对Grotzsch的区域函数作了进一步的研究,并把Grotzsch的区域函数的性质应用于扩充复平面上的K-拟共形映射中,获得了一个角偏差估计的定理.     

重新认识亚里士多德轮子悖论

教学“圆的周长”这部分内容时,许多教师都会设计这样一个活动来让学生动手操作:首先在一个圆形教具的圆周上任找一点,做下标记,然后以这个标记为起点,使该圆沿一条直线做无滑动的滚动,待该标记重新落在直线上时,圆刚好滚动了一周.此时量出起点与终点间的距离就恰好是该圆的周长.这是一种比较常用的动手测量圆周长的方法,为了找出圆周长的计算公式,教师往往安排学生重复以上操作,接着再算出圆周长与其直径的比值,并最终给出C=πd或C=2πr的圆周长计算公式.从该公式中很容易看出:一个圆周长的大小取决于它的直径(或半径)的长短.这是毋庸置疑…     

高中数学新教材第九章教学问答（二）

172 .怎样将“斜线在平面内的射影”的概念进行推广 ?答 :我们将“斜线在平面内的射影”这个概念也推广到以下三种情况 :( 1 )平面的斜线在这个平面内的射影 ,定义为“从斜线上斜足以外的任意一点向平面引垂线 ,过垂足和斜足的直线” ;( 2 )平面的垂线在这个平面内的射影 ,定义     

求曲线方程时杂点的剃除问题

曲线的方程和方程的曲线是平面解析几何中的重要概念 ,曲线的点集与方程的解集之间是一种一一对应关系 .在求曲线的方程时 ,要使所求的方程是所给曲线的方程 ,它必须满足纯粹性和完备性 ,即“曲线上的点的坐标都是这个方程的解 ;以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ,而求曲线方程时杂点的剃除是有关曲线纯粹性的问题 .1　所求方程表示的曲线有杂点 ,没有剃除例 1　平行四边形ABCD中 ,A(0 ,0 )、B(4 ,- 3) ,点D在以A为圆心 ,半径为 3的圆周上运动 ,点P分AC的比为 2∶ 1,求点P的轨迹方程 .解　设P(x ,y) ,D(xD,yD) ,则C(xD+4,y…     

机翼剖面函数及其反函数构成的保形变换与应用

本文通过一个中间扩充复平面,最终将扩充z平面和扩充w平面联系起来,并建立起它们之间的一个等式,从而通过解这个等式得出机翼剖面函数。文中还针对扩充z平面上的一些其他区域在机翼剖面函数下保形变换到扩充z平面上的什么区域进行了讨论。     

“直线不在平面内”与“直线在平面外”应有区别

空间的直线与平面的位置关系有三种:1、直线在平面内,2、直线与平面相交,3、直线与平面平行。什么是平面外的直线?高中数学教材没有作明确的规定。但是,教材中直线与平面平行的判定定理,把a是a外的一条直线写成a￠a,即把“a不在a内”与“a在a外”当成一回事,这样做在逻辑上是不够严密的。“直线不在平面内”这个概念是确切的。它只排除直线在平面内一种情况,包括直线与平面相交与直线和平面平行,它同直线在平面内概括了直线与平面的全部位置关系。而直