立几中的“折”与“展”

在立体几何中有这样的两类问题 ,一类是把平面图形按照一定要求进行折叠或旋转 ,得到空间形体 ,另一类是为解决某些问题 ,需要把空间图形展开为平面图形 .解决这两类问题的关键是要分清楚图形变化前后的位置关系和数量关系的变与不变 ,下面举例说明 .例 1　边长为 2ａ的正方形ＡＢＣＤ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＢＣ的中点 ,沿ＤＥ ,ＥＦ ,ＦＤ把图形翻折起来 ,使Ａ、Ｂ、Ｃ重合于一点Ｐ ,求Ｐ点到平面ＤＥＦ的距离 .分析　先画出平面图形与空间图形 (如图 1) ,再比较两图中的位置关系和数量关系 .由ＡＢＣＤ是正方形 ,知ＤＡ ⊥ＡＢ ,ＤＣ⊥ＢＣ…     

旋转变换在平面几何解题中的应用

所谓旋转变换是指图形绕一定点 (旋转中心 )按一定方向旋转一个角度 (旋转角 ) ,得到与原图形全等的图形 .旋转变换是平面几何解题中常用的手段 ,它不仅能使一些几何解题化难为易 ,而且对培养学生的变换能力大有好处 .现就旋转变换在平面几何解题中的应用举例说明 .1　解决有关线段关系问题图　 1例 1　如图 1,已知点Ｅ、Ｆ分别在正方形ＡＢＣＤ的边ＢＣ、ＣＤ上 ,且∠ＤＡＦ=∠ＥＡＦ .求证 :ＢＥ ＤＦ =ＡＥ .分析　从图中可以看出 ,题设和结论是分散的 ,需要集中 .如何集中呢 ?想办法把△ＡＤＦ与△ＡＢＥ连在一块就行了 .于是考虑将△…     

向量方法在平面几何中的应用

平面向量具有较强的工具性作用,向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题,还可以简洁明快地解决平面几何许多常见证明(平行、垂直、共线、相切、角相等)与求值(距离、角、比值等)问题.用向量法解决平面几何问题的一般途径是:问题条件翻译向量关系式向量运算其它向量关系式翻译问题结论向量法应用于平面几何中时,它是数学中的数与形完美结合,能使平面几何许多问题代数化,程序化,从而得到更有效的解决.1　利用两个非零向量a、b共线的充要条件a=λb(其中λ是实数),解决与“平行或共线”有关的问题.　　例1　如图1,一…     

新型的中考作图题解析

在近几年的中考试题中 ,作图题一改传统尺规作图的模式 ,涌现出一些构思新颖、富有创意的新型题目。现撷取几例 ,以飨读者。1　开放型例 1　平面上有且只有四个点 ,这四个点之间有一个独特的性质 :每两个点之间的距离有且只有两种图 1长度 ,如正方形ＡＢＣＤ (图 1 ) ,有ＡＢ =ＢＣ =ＣＤ =ＤＡ≠ＡＣ =ＢＤ ,请画出具有这种独特性质的另外四种不同的图形 ,并标明相等的线段。 (2 0 0 0年杭州市中考题 )解析　本题以平面上四个点具有的惟一独特性质为素材 ,要求考生作出四种符合要求的图形。本题答案有多种 ,试举例如下。　 ＡＢ =ＡＣ =Ｂ…     

二面角问题的垂面解法

二面角的平面角的作法有定义法 ,三垂线定理(或逆定理 )法和垂面法三种 ,在解决与二面角有关的问题时 ,人们都习惯于采用前两种方法 ,而极少用到后一种方法 ,其实有些关于二面角的问题 ,特别是棱未作出的二面角的问题 ,若用垂面法则更为简捷 .特举数例 ,仅供参考 .例 1　过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ ,引ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ ,若ＰＡ =ＡＢ ,则平面ＡＢＰ与平面ＣＤＰ所成二面角的大小是 .图 1解　如图 1,由ＰＡ⊥面ＡＢＣＤ ,知面ＰＡＤ⊥面ＡＢＣＤ .又ＡＢＣＤ为正方形 ,有ＡＢ⊥ＡＤ ,ＣＤ⊥ＡＤ ,得ＡＢ⊥面ＰＡＤ ,ＣＤ⊥面ＰＡＤ ,所以面…     

巧用特殊平面图形,快速处理向量问题

平面向量是高中数学的重要内容.把平面向量(高中内容)与平面几何(初中内容)融合命题(以选择题或填空题的形式出现),已形成新高考试题中的一道靓丽风景.由于平面向量中涉及到向量的长、两个非零向量所成角、平行、垂直与平面图形中的边、两条直线所成的角、平行、垂直有关密切的关系,因此,如果用一些特殊的图形(如平行四边形、     

妙用三点共线求解向量中的最值问题

<正>一、向量问题中的三点共线结论应用向量的定比分点公式与平面向量唯一分解定理,不难证明关于三点共线的如下结论:结论设■是平面内两个不共线的向量,则三点A、B、P共线的充要条件是存在唯一的实数λ和μ,使得■,且λ+μ=1.这个结论经常用在涉及向量试题中的最值(取值范围)问题.在实际解题过程中,当题目中没有明显的预示可以使用该结论时,需要我们善于挖掘题目隐含的条件,观察图形,构造出满足使用该结论的条件,这是运用该结论的一     

例析2000年中考阅读题

近年来中考数学试卷中 ,阅读型试题频频出现 ,让人目不瑕接 .其特点是 :素材来源广、新颖、贴近实际 ,内容基础且丰富 ,具有综合考查学生阅读理解、数据处理、分析推理、书面表达、逻辑思维、探索创新等能力 .本文就 2 0 0 0年部分省市中考题中采撷数例 ,分类简析供参考 .一、考查阅读图形问题例 1　 (南京市 ) (1 )如图 1 ,在正方形ＡＢＣＤ中 ,Ｅ是ＡＤ的中点 ,Ｆ是ＢＡ延长线上的一点 ,ＡＦ =12 ＡＢ ,求证 :△ＡＢＥ≌△ＡＤＦ .(2 )阅读下面材料 :如图 2 ,把△ＡＢＣ沿直线ＢＣ平行移动线段ＢＣ的长度 ,可以变到△ＥＣＤ位置 ;如图 3 ,…     

例谈代数方法解决平面几何问题

<正>初中平面几何有一个特点是公理、定理多.一般平面几何问题都需要从几何公理、定理出发进行推理与论证.实际上,函数是研究数与量的关系,通过点、线变化建立函数模型,对于一类比较复杂的平面几何问题,可以考虑把平面几何图形放在平面直角坐标系中用代数方法(解析法)来解决.本文例举用代数法解几何题.例1(2017年重庆中考中考题)如图1,正方形ABCD中,AD=4,点E是对角线AC上     

利用坐标法解几何问题

<正>坐标法是指通过建立平面几何坐标系,设出已知点的坐标,求出未知点的坐标,把几何问题转化为代数问题,或者把代数问题转化为几何问题,数形结合,从而解决问题。一、建立坐标系的一般原则1.尽量选择图中互相垂直的线段作为坐标轴。2.若图形是轴对称图形,则选择对称轴为坐标轴;若图形是中心对称图形,则选择对称中心为原点。     

利用向量解平面几何问题

用向量解决平面几何问题 ,首先是在图形中选出一对不平行的有向线段 ,设为ａ、ｂ ,则平面内的其他有向线段均可用ａ、ｂ惟一表示 ,即ＡＢ =ｐａ +ｑｂ .有序实数对 (ｐ ,ｑ)可看成ＡＢ的“坐标” ,这里近似于复数 ,但它的优点在于直观性 ,ａ、ｂ可以是不互相垂直 ,同时起始点可以任意选定 ,从而对于解决几何问题有着较大的自由度 .本文仅就两个方面说明它的价值 .　　一、证明三点共线定理 1　Ａ、Ｂ、Ｃ为平面上不重合的三点 ,则Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线 ＡＢ∥ＡＣ 存在实数λ,使ＡＢ =λＡＣ .定理 2　ａ∥\ｂλａ + μｂ =0 λ + μ =0 .图 …     

向量与平面几何融合问题探析

平面向量集数形于一体,具有几何和代数的双重特性,利用平面向量处理平面几何问题,最重要的是先在平面几何图形中寻找具有向量因素的特征,如共线、平行、垂直、线段的倍分等,然后利用向量求解。基本途径有:(1)把线段向量化,直接用向量运算的定义和性质来解决,此为非坐标法;(2)先选取适当的坐标系,求出有关向量坐     

妙用向量解立体几何题

以往在中学 ,解几何问题一般用几何方法 ,如今 ,向量在中学数学中的应用越来越广泛 .用向量知识解立体几何题 ,可以很容易解决平面或空间中的共线、平行、垂直、夹角、长度等问题 .用向量法解立体几何题 ,一般的做法是在平面上确定两个不共线的向量作为基向量 ,在空间确定三个不共面的向量作为基向量 ,然后把平面或空间的任一向量均用基向量表示 .例 1　 (第十一届“希望杯”数学邀请赛 )如图1 ,已知正三棱柱ＡＢＣ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1的所有棱长都相等 ,Ｄ是ＡＡ1 的中点 ,求ＢＣ1 与ＣＤ所成的角 .分析　本题所求的是异面直线所成的角 ,而向量的…     

解立体几何题的转化途径

解立体几何题的转化途径□兰州一中王国栋一、用定义转化立体几何中的许多题目，只要根据有关几何概念的定义，作出表示几何量的平面图形，就可以直接把空间问题转化成平面问题求解例１如图（１），Ａ１Ｂ１Ｃ１—ＡＢＣ是直三棱柱，∠ＢＣＡ＝９０°，点Ｄ１、Ｆ１分...     

由数学中考谈“基本图形”的学习

正大家知道近些年数学中考试题中几何部分所占比例为40%左右,呈现形式为填空题、选择题、解答题.几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用.几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系.这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题.下面就最近几年各地中考试卷出现的平面几何试题谈谈个人看法.1.通过抓基本图形,让学生熟悉几何证明的基本套路掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组     

巧构"一般系",妙解向量问题

向量是新教材中增加的教学内容,有关向量的概念、公式较多,学生在应用时往往思路不清、不得要领而舍简求繁.其实向量的应用题绝大部分集中在求长度、角度,证平行(含共线)、垂直4种类型上,如果能够建立直角坐标系,则平面上任意向量都可以用坐标表示,即a=xi yj=(x,y),就能把几何问题转化为纯计算的代数问题,而对无坐标系或不适合建坐标系的题目,学生往往感到无从下手,甚至硬要作出辅助线,建立坐标系,把简单的问题搞得很复杂.     

例说向量数量积运算中的基向量法

在平面向量与平面几何的交汇题型中,有时候不容易建立平面直角坐标系,此时我们可以采用"基底法"进行求解,即运用平面向量基本定理:如果e₁和e₂是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,存在唯一一对有序实数（x,y）,使a=xe₁+ye₂,这里{e₁,e₂}称为这一平面内所有向量的一组基底,e₁,e₂称为基向量.如果我们能把题目中所涉及的向量均转化为用"基向量"进行表示,即可利用"基向量"的运算来进行向量的数量积运算。     

以正方形为背景的中考试题

正方形是初中平面几何中的常见图形,以正方形为背景的中考试题往往与代数、三角等知识结合在一起,具有较强的综合性。 例1 如图1,在边长为a的正方形ABCD的一边BC上任取一点E,作EF⊥AE交CD于点F.如果BE=x,CF=y,那么,用x的代数式表示y的     

折纸中的函数最值问题

折纸称得上是人们生活中喜闻乐见的一种“大众数学”，一个很简单的平面图形进行简单的折叠翻转，就能演变出丰富的数学内容．这里仅举几例说明运用函数方法研究折纸中的最值问题，供大家参考．例１　用一张正方形纸片ＡＢＣＤ折风筝，使Ｂ点落在ＡＤ上将纸片折叠．为使折起部分的面积最小，应怎样折，且最小面积是多少？图１解：如图１，建立坐标系，设正方形边长为１，ＭＮ为折痕，且点Ｍ的坐标为（０，ｔ）（１２≤ｔ≤１）．∵Ｂ和Ｂ′关于ＭＮ对称，∴｜ＭＢ′｜＝｜ＭＢ｜＝ｔ．在Ｒｔ△ＡＭＢ′中，｜ＡＢ′｜２＝ｔ２－（１－ｔ）２…     

联想基本图形拓广证题思路

一个平面几何图形,常可分解成若干个基本图形.因此,基本图形是构成复杂图形的细胞.证明平面几何问题时,若从基本图形入手,先将题中图形分解(构造)成几个基本的几何图形,然后充分利用这些基本图形的性质去证,常可思路广阔,容易证明. 本文,以一道平面几何题的多种证法为例,来说明在教学中如何引导学生去联想基本图形而拓广证题思路. 题目如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB,CE平分∠ACB交DE于E.求证:CD=DE.1 抓住图中己有的基本图形去证明