应用对数换底公式解题举例

对数的换底公式log_ab=log_cb/log_ca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,b>0)是对数部分的基础知识和重点内容,在解题中经常运用,它既可以正用,也可以逆用,还可以变形应用,应用时要特别注意公式成立的条件.     

信息技术与数学课程整合——几何画板篇(3)①——利用几何画板学习函数(二)

4动态函数图象的绘制 几何画板可以绘制解析式中含有参数的动态函数的图象．例如指数函数y=a^x（a〉0且a≠1）,对数函数y=logax（a〉0且a≠1）,二次函数y=ax^2＋bx＋c,幂函数y=x^a（a∈R）,当参数a,b,c,a变化时,函数图象也随之变化．     

浅谈复系数一元二次方程的根

我们知道,对于实系数一元二次方程ax~2 bx c=0（a、b、c∈R,a≠0）,可用△=b~2-4ac与0的关系来判断有无实数根,并且可用求根公式求此方程的根,那么对于复系数一元二次方程。ax~2 bx c=0（a、b、c∈C,a≠o）怎样求根,怎样判断实根的情况? 1.求根公式 命题（一）:方程ax~2 bx c=0（a、b、c∈C,a≠0）的求根公式是:x=-b [(b~2—4ac)的平方根]/(2a) .     

又谈不动点法求数列的通项公式

文[1]利用函数f（x）的“不动点”巧妙地求出了形如an=aan-1＋b/can-1＋d（c≠0,ad≠bc）,及an=aan-1^2＋b/2aan-1＋c（a,b,c均不为0）的数列通项公式,读后深受启发,经过研究,笔者发现利用函数f（x）的“不动点”还可解决对于初始值a0≠f（a0）,a1≠f（a1）（其中f（x）=x^2-q/2x-2p）递推关系形如an＋1=anan-1-q/an＋an-1-2p（p,q∈R）的通项公式．     

“平方带纵”与古算诗题的一元二次方程——兼论一元二次方程求根公式的历史

1一元二次方程求根公式的历史完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)求根公式最早出现在公元前一千多年的古巴比伦文     

对高中数学课本中一道习题的思考

高中代数下册第132页有这样一道习题:“已知数列{a_n}的项满足,其中c≠0,c≠1,证明这个数列的通项公式是:a_n=[bc~n (d-b)c~(n-1)-d]/(c-1)。” 以这道题为引子,可作如下思考。 思考之一:如果将此题的证明改为求这个数列的通项公式,该如何求呢?很显然这是属于已知数列的递推关系式求其通项公式的问题。而这类问题本身对高中学生来说就是一个难点,但对培养学生能力来说的确是一类较好的题型。此题当c=1时就是等差数列;当c≠0,d=0时就是等比数列;当c≠0,c≠1就可以看成由等差或等比数列生成的新数列,不妨称它为等比差数列。下面就当c≠0,c≠1时介绍几种中学生可以接受的方法。     

当a+b+c=0时

我们知道,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的实数根,在b~2-4ac≥0时,可由求根公式求得。 现在,我们来探究一个问题,当a+b+c=0时,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根有什么特点? 探究 ∵ a+b+c=0,∴b=-(a+c),∴ 原方程可化为ax~2-(a+c)x+c=0,即 (ax~2-ax)-(cx-c)=0. ∴ ax(x-1)-c(x-1)=0. ∴(x-1)(ax-c)=0. ∴ X_1=1,X_2=c/a。     

一道习题的引申及应用

在新教材第一册 (上 )第 1 1 4页 ,有这样一道习题 .写出下面数列 {an}的前 5项 :a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 )下面就此题作探讨 .一、引申递推公式的概念既然在新教材中出现 ,那么已知递推公式求通项公式 ,学生将乐于接受 .因此对上述习题作下面引申 :【例 1】　已知数列 {an}的项满足a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 ),求通项an.【例 2】　 (旧教材P12 63 4题变式 )已知数列{an}的项满足 a1=ban + 1=can +d　其中c≠ 0 ,c≠ 1 ,求这个数列的通项an.其实 ,在an+ 1=can+d(c≠ 0 )中 ,若c =1 ,则该数列是公差为d的等差数列 ;若d=0 ,因为c≠ 0 ,则该数…     

二次函数与一元二次方程关系的应用

二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的关系是：二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的根;反之,一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的根是二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标.它们之间的这种关系在求解相关的问题时,如果能够灵活地运用,则不仅可以使解题过程大为简化,而且还可以获得巧解.     

构造一元二次方程解题

一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）满足： 1．当△〉0时,方程有两个不相等的实数根;     

一类简单复积分的推导

本直接从复积分的定义出发，得到∫c(aoZ^n a1Z^n-1 …an)dZ(其中n∈N,a0≠0,ao,a1,a2,……，an为复常数）当n值较小时的积分结果，避免了建立复积分变量代换公式的过程，显示出此类积分结果可以脱离此公式单独推导。     

在指数函数和对数函数教学中“1”的妙用

在指数函数、对数函数的教学过程中,笔者发现数字＂1＂扮演了一个非常重要而又特殊的角色.我们可以充分利用a0=1（a〉0,a≠1）和loga1=0（a〉0,a≠1）这一特点,引导学生将＂1＂这个数字的特殊性巧妙地运用在解题过程中.     

学习向量八注意

注意1 由a·b=a·c(a≠0),不能推出b=c即消去律不成立.取 ,a与b的夹角为45°,|c|=1/2,a与c的夹角为0°.显然a·b=a·c=1/2,且a≠0,但b≠c.     

灵活运用对数换底公式

对数换底公式：logbN=logaN/logab（a,b〉0,a,b≠1,N〉0）是新课标必修（1）的重要,是对数运算的重要依据之一,应用十分广泛.利用换底公式统一对数的底数（即＂化异为同＂）,是解决有关对数问题的基本思想方法.灵活运用换底公式及其变形,不仅能迅速找到解题的切入点,而且还能优化解题过程,提高解题速度.     

一元二次方程的根与一元一次方程的根的关系

众所周知,一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个根为x=-b±"2ab2-4ac.而一元一次方程bx c=0(b≠0)的根为x=-bc.显然,一元一次方程bx c=0可以看成方程ax2 bx c=0中a=0的特殊情形,然而其根却不能在一元二次方程的求根公式中令a=0得到.有的教师对此现象感到迷惑不解——因为庞大的数学家族是一个和谐的、统一的整体,上述现象的出现似乎破坏了整个数学系统的和谐性与统一性.下面证明,尽管一元一次方程的根不能直接在一元二次方程的求根公式中得到,但仍可以由其中的某个根通过取极限而得到.为避免讨论过于复杂,仅讨论a、b、c皆为实数的情形(事实上…     

含有绝对值的二次函数

1．Y=ax^2＋b│x│＋c（ab≠0）的图象 以a〉0为例,利用自变量x的取值范同进行分类讨论：     

韦达定理的几何证法

<正>如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式先求出它的两个根,然后分别计算这两根之和与两根之积.笔者在文[1]中不借助于一元二次方程的求根公式给出了韦达定理的三种代数证法,本文再给出韦达定理     

根的定义用处大(初三)

大家知道,如果x1,x2(x1≠x2)是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个根,则有ax12 bx1 C=0,ax22 bx2 c=0. 反之,若ax12 bx1十c=0,ax22 bx2 c=0,x1≠x2,则x1,x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个根.     

巧用一个命题解赛题

命题 设abc≠0,又a b c=0,则有:1/a~2 1/b~2 1/c~2=(1/a 1/b 1/c)~2 证 因abc≠0,故1/a、1/b、1/c均有意义,又a b c=0,     

巧用二次函数与一元二次方程关系解题

<正>我们知道,二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的根;反之,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根;反之,一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的根是二次函数y=ax2+bx+c=0 (a≠0)的根是二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.在求解相关问题时,它们之间的这种关系如果能够灵活地运用,则不仅可以使解题过程大为简化,而且还可以获得巧解.下面举例说明.一、判断二次函数图象与x轴的交点情况