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1988年全国高中数学联赛第一试最后一题:已知a、b为正实数,且1/a 1/b=1,试证对每一个n∈N, (a b)~n-a~n-b~n≥2~(2n)-2~(n 1)(*) 这个不等式从形式上看较难证明,经过研究,笔者发现它有许多证法,择其简单的四种介绍如下: 证一应用二项式定理,得(a b)~n-a~n-b~n=C_n~1a~(n-1)b C_n~2a~(n-2)b~2 … C _n~(n-1)ab~(n-1) (1)根据组合数性质C_n~k=C_n~(n-k),由(1)得(a b)~n-a~n-b~n=C_n~1ab~(n-1) C_n~2a~2b~(n-2) 十… C_n~(n-1)a~(n-1)b (2)(1) (2)后两边除以2得 相似文献
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本文试图从牛顿二项式定理和杨辉三角形数阵出发,将杨辉三角形加以推广,旨在建立牛顿多项式的系数数阵。一、牛顿二项式定理和杨辉三角形教阵。著名的二项式展开式 (α 6)~n=C_n~0α~n C_n~1α~(n-1)b C_n~2α~(n-2)b~2 …… C_n~rα~(n-r)b~r … C_n~nb~n (1)是英国著名的数学家牛顿首先提出的,并借助于组合种数公式的性质:C_n~r=C_n~(n-r)和C_n~r C_n~(r-1)=C_(n-1)~r加以证明的。因此,称此二项式的展开式为牛顿二项式定理。关于牛顿二项式定理的系数C_n~r,很早就有人研究。早在牛顿之前四百多年,我们中 相似文献
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张波 《数理化学习(高中版)》2010,(4)
每年全国及各省市文理科的三十多套试卷中,大多有关于二项式定理的题目.本文对2009年的二项式定理考题归类解析,以使考生在备考复习中,克服盲目,明确方向,突出重点,提高效率.一、利用展开式的通项公式在(a+b)~n的展开式中,第r+1项是T_(r+1)=C_n~ra~(n-r)b~r.利用这个通项公式,可以解决展开式中某一指定项的问题,如常数项,含某字母若 相似文献
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我们知道,二项式定理(a+b)n展开式中的通项为Cnran-rbr(r=0,1,…,n),可这样得到,n个乘积括号中有r个取“b”,剩下的n-r个取“a”,得Crnbr·Cnn--rran-r,即Crnan-rbr.根据这一思路,能巧妙解决一类多项式展开题.例1解(a+2b+3c)7的展开式中a2b3c2项的系数是多少?此题可以根据二项式定理,先把其中的两项看成整体,用二项式定理展开再求题目所要求的.这种解法体现了化归的意识.但是,根据二项式定理的形成过程的探讨,可以直接得到下述解法:从7个括号的2个里取“a”,得C27a2,再从剩下的5个括号的3个里取“2b”,得C35(2b)3,最后在剩下的2个括号里… 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(5)
<正>二项式定理是组合数学中的重要内容,也是高考的考点之一。在高考中对二项式定理的考查主要是以小题为主,难度不算很大,但其解法有一定的灵活性,下面就来对二项式定理在解题中的应用进行探究。1.二项式定理:(a+b)n=C_0n=C_0nanan+C_nn+C_n1a1a(n-1) b+…+C_n(n-1) b+…+C_nrara(n-r)b(n-r)br+…+C_nr+…+C_nnbnbn(n∈N*) 相似文献
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刘锁堂 《雁北师范学院学报》1996,(6)
近几年关于二项展开式的系数和问题,在高考及各类数学竞赛中频频出现,这类题短小精悍,虽然难度不大,但有一定技巧性,所以考生得分率不甚理想.本文就赋值法求解二项展开式的系数和谈点肤浅看法,以利于二项式定理的教学。 1 基本原理 设二元多项式函数f(x,y)=(ax by)~n=C_n~0a~nx~n C_n~1a~(n-1)bx~(n-1)y …… C_n~ra~(n-r)b~rx~(n-r)y~r …… C_n~nb~ny~n,其二项式展开式的系数和正是f(x,y)在x=y=1处的函数值,即: f(1,1)=C_n~0a~n C_n~1a~(n-1)b …… C_n~ra~(n-r)b~r …… C_n~n=(a b)~n。因此,二项展开式的系数和正是变量赋于一些特殊值时的函数值,这种方法适合一般的二项展开式系数和的求解,我们可以称之为赋值法。 相似文献
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(a+b)n的展开式的通项为 Tr+1=Cnra(n-r)br(0≤r≤n). 应用通项公式Tr+1=Cnra(n-r)br时应注意以下几点:①通项公式是表示第"r+1"项,而不是 第r项;②展开式中第r+1项的二项式系数Cnr与第r+1项的系数不同;③通项公式中含有a, b,n,r.Tr+1五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求第五个元素,在有关二项式定理的问 题中,常遇到这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式, 把问题归蚋为解方程(或方程组),这里必须注意n是正整数,r是非负整数,且r≤n.下面就其应 用举例说明: 相似文献
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1《据本巧设题》1997年第4期第1期的讨论题已知a、b、c、d∈ER~ 且c/a d/b=1,求证:a b≥(c~(1/c) d~(1/d))~2.曹兵(江苏通州二甲中学)证一 由柯西不等式 相似文献
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1988年全国高中数学联赛第一试第五题介绍了不等式:若 a,b>0且 a~(-1)+b~(-1=1,则(a+b)~-a~n-b~n≥2~2~n-2~(n+1),n∈N.(1)(1)式可推广为:若 a,b>0,则对 n∈N,总有(a+b)~n-a~n-b~n≥(2~n-2)(ab)_2~n≥2~n(2~n-2)(a~(-1)+b~(-1))~(-1).(2)本文将(2)式推广到多个变量的情形.定理若 k∈N,a_1,…,a_h>0,则对 相似文献
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题 1 已知 a,b,c∈ R ,且 abc≤ 1 ,求证 :a bc b ca c ab ≥ 2 ( a b c) .(《数学通报》1 999年第 1期问题 1 1 71 )该题型新颖独特 ,其证法亦不多见 .贵刊仅在文 [1 ]中给出了一种证法 ,现笔者应用基本不等式简证如下 .证明 原式成立 a b c- c( a b c) c a b c- a( a b c) a a b c- b( a c) b≥ 2 . 1a 1b 1c- 3a b c≥ 2 . ( * )∵ 1a 1b 1c- 3a b c≥ 33abc- 13abc=23abc≥ 2 .(∵ 3a b c≤ 13abc)∴ ( * )成立 ,故原式证毕 .题 2 若 a,b,c∈ R ,abc=1 ,则aba3n 2 b3n 2 ab bcb3n 2 c3n… 相似文献
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大家知道,均值不等式(a b)/2≥/(ab)~(1/2)(a、b∈R~ )是中学数学中的一个重要不等式。在不等式的证明和求解有关最值等问题时有着极为广泛的应用。故加强这一不等式的教学,探寻其多种证题途径与方法,则显得很有必要。下面我们着重用几何方法来证明这个不等式,从而能显示出这个不等式的几何意义。 命题 如果a、b∈R~ ,那么(a b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时取“=”号) 证法1 如图1所示,AD是直角三角形的斜边BC上的高,E为DC的中点。 相似文献
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第31届IMO中有这样一道备选题:设a,b,c,d是满足ab bc cd da=1的非负实数,求证近几年来.中学数学刊物上经常介绍这一选题的各种证法(参阅本刊93年第11期P37),本文将给出它的几个新证法.为了行文方便,我们记待证式左端为I,令a b c d=e、a2 b2 c2 d2=E证1利用柯西不等式,证2利用二元均值不等式.四式相加,得证3利用配方法.证4利用基本不等式a2 b2≥2ab(a、b∈R)的变形:a(a-b)≥b(a-b)等号当且仅当a=b时成立.一道IMO备选题的几个新证法@王福楠$昆山市正仪中学… 相似文献
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题目若a,b是正实数,且a+b=2,则1/1+a+1/1/+b 的最小值是_. (第23届“希望杯”高一1试14题)本题主要考查考生利用二元均值不等式求最值及灵活应用所学知识解决问题的能力.本文给出多种解法,以开拓同学们视野. 相似文献
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2019年全国卷Ⅰ理科数学第23题出人意料地考查纯粹的基本不等式,要求学生能灵活使用二元以及三元均值不等式.本文经过深入探究,首先给出第23题的多种证明方法,然后将该题的结论推广到一般形式.试题(2019·全国卷Ⅰ·理23)已知a、b、c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1 a+1 b+1 c≤a 2+b 2+c 2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.首先给出第(1)问的两种证明方法. 相似文献
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王兆华 《中学数学教学参考》1994,(8)
不等式a b/2≥ab~(1/2)(a,b∈R )是中学数学重要不等式之一.其应用广泛,技巧性强,加强这一不等式的教学,对提高学生的分析问题、综合应用知识的证题能力和创造思维能力,以及诱发学生对数学的美感,增长他们创造数学美的能力是大有好处的.本文从不同的角度给出这一不等式的几种证法,以供参考. 定理如果a,b∈R ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号). 证法一:(用二次根式的性质证) 当a≠b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2>0; 当a=b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2=0. 故(a~(1/2)-b~(1/2))~2≥0. 即a b-2ab(1/2)≥0. 故a b/2≥ab~(1/2). 证法二:(用面积证)如图1所示, 当 a≠b 时,S_(正方形ABCD)>4S_(矩形AB_1C_1D_1); 当a=b时,S_(正方形ABCD)=4S_(矩形AB_1C_1D_1), 故 S_(正方形ABCD)≥4S_(矩形AB_1C_1D_1) (a b)~2≥4aba b/2≥ab~(1/2). 相似文献