以锐角的正(余)弦为根的一元二次方程问题

以Rt△ABC的两锐角∠A、∠B的正(余)弦为两根的一元二次方程问题,常见于近几年各地中考试题之中。解这类题目的关键是灵活运用三角函数有关知识,如sinA=cosB,cosA=sinB,sin~2A sin~2B=1,sinA、sinB、cosA、cosB的值都大于0且小于1等等。现举例说明。     

2005年最具影响力的数学试题分类解读

一、三角函数1.(全国高考题)△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cosB=3/4. (Ⅰ)求cosA+cotC的值; (Ⅱ)设(?)·(?)=3/2,求a+c的值. 解析(Ⅰ)由cosB=3/4得sinB=(1-(3/4)2)~(1/2)=7~(1/2)/4 由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC. 于是cosA+cotC=1/tanA+1/tanC =cosA/sinA+cosC/sinC=(sinCcosA+cosCsinA)/sinAsinC     

绝妙解法

题目求 sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°的值.解△ABC 中,由余弦定理和正弦定理,有a~2=b~2+c~2-2bccosA, (1)(a/(sina))=(b/(sinB))=(c/(sinC))=k (2)由 a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC 代入(1)得sin~2A=sin~2B+sin~2C-2sinBsinC·cosA. (3)     

余弦定理变形一得

在△ABC中有余弦定理:a~2=b~2 c~2-2bc·cosA,变形得: a~2=(b c)~2-2bc(1 cosA) =(b c)~2-4bc·cos~2A/2 ≥(b c)~2-(b c)~2cos~2A/2 =(b c)~2sin~2A/2. 由此得sinA/2≤a/(b c)(当且仅当b=c时取等号).同理可得sinB/2≤b/(a c)(当且仅当a=c时取等号);     

错在哪里

数学在△ABC中,已知cosA=5/13, sinB=3/5,则cosC=____．A．16/65 B．56/65 C．16/65或56/65 D．-16/65错解:由cosA=5/13,得sin A=12/13．又sin B=3/5,得cos B=±4/5．当cos B=4/5时,     

关于一个三角不等式的进一步思考

文[1]用导数的方法证明了下面的结论在△ABC中,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC<2.注意到A:B=C=π/3时,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC的值等于3~(1/2),笔者不禁产生联想:`     

两个三角形不等式链的加细

1987年,苏化明未加证明地介绍了如下不等式链:在△ABC中,有 -cos2A-cos2B-cos2C ≤cosA+cosB+cosC ≤sinA/2+sinB/2+sinC/2 ≤3/2. (1) 杨学枝老师在文中给出了△ABC中的一个不等式: sin~2A/2+sin~2B/2+sin~2C/2≤1/4 (ctgB/2ctgC/2+ctgC/2ctgA/2+ctgA/2ctgB/2)~(1/2) (2)     

平面向量在三角中的简单应用

三角知识是高中数学知识的重要组成部分 ,思维灵活 ,变化多端 ;向量知识进入中学数学教材后 ,由于向量把数和形融为一体 ,为三角问题的解决提供了更为广阔的空间 ,同时三角也为平面向量提供了展示的舞台 .下面就三角和平面向量的结合方面 ,例谈平面向量在三角中的简单应用 1　求某些角的值1 已知A∈ ( 0 ,π2 ) ,B∈ ( -π2 ,0 ) ,且满足 :cosA-sinB sin(A B) =32 ,求A和B的值 .解　因为cosA -sinB sin(A B) =32 ,所以sinAcosB cosA( 1 sinB) =32 sinB ;构造两个向量 :p =(sinA ,cosA) ,q= (cosB ,1 sinB) ,则p·q=sinAcosB c…     

错在哪?

解三角形中的存在性问题是教学中的一个难点,到底是一解还是两解,需要我们做出准确、细致的估计、判断.请看2012年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷理科第13题例1设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=3/5,cosB=5/13,b=3,则c=_<sub><sub><sub>.解:（公共部分）由已知可得A,B均为锐角,sinA=4/5,sinB=12/13,cosC=sinAsinB-cosAcosB=33/65.由正弦定理得a/（4/5）=3/（12/13）,所以a=13/5.错解:由余弦定理得（13/5）²=3²+c²-2·3·c·3/5,即25c²-90c+56=0.所以c=14/5或4/5.错因分析:（法1）cosA=39/65,cosB=25/65,cosC=33/65,0C>A,b>c>a.故c=4/5不符合题意,舍去.故c=14/5.（法2）由cos60°=1/21/2/2=cos45°     

对两道课本习题解答的商榷

习题1:在△ABC 中,sinA=5/(13),cosB=3/5,求 cosC 的值(见文[1]第150页第8题).配套的教师用书提供的参考解答为:(56)/(65)和(16)/(65).注意0相似文献   

三角求值的取舍

先看一题:例1在△ABC中,3sinA-4cosB=6且3cosA 4sinB=1,则角C的大小为——.分析:两式平方相加,得:sin(A B)=1,即sinC=1/2.     

浅析三角求值中的一类问题

在三角求值题中,常见到下面一类问题:在△ABC中,(1)已知sinA和sinB,求sinC;(2)已知sinA和cosB,求sinC ;(3)已知cosA和cosB,求sinC.这类题目的解法为sinC=sin(A B)=sinA·cosB cosA·sinB.需要知道sinA、sinB、cosA、cosB的值.但是在根据条件求这些值时,常考虑一解或两解情况.学生在这个问题上往往出现漏解或增解现象.下面给出一种判定方法.     

重视已知条件与所求命题的挂钩——一堂高三复习课上学生所暴露问题的反思

数列复习课上有这样一例:ABC中,a,b,c成等差数列,求证:(1)B≤60°;(2)2cosA+2C=cosA2-C.在学生有足够的时间思考以后,提问学生甲:“如何证第(1)小题B≤60°?”学生甲的回答过程如下:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.∵sinaA=sinbB=sincc,∴sinAa++scinC=sinbB=2si2nbB,∴sinA+sinC=2sinB.∵sinA+sinC=2sinA2+CcosA2-C,2sinB=2sin(A+C)=4sinA2+CcosA2+C,又∵sinA2+C≠0,∴2cosA2+C=cosA2-C.同学们露出惊讶的表情,歪打正着,证第(1)小题却证出了第(2)小题.从这个同学的回答中反映了一部分同学在解题过程中存在思路不清的现象:(1)只…     

三角函数常见易错题解析

一、没有注意角的范围而导致错误二、忽略三角函数值的范围而导致错误例1在△ABC中,已知sinA=53,cosB=153,求cosC.错解由sinA=35,cosB=153得,cosA=±54,sinB=1213.故cosC=-cos(A B)=-cosAcosB sinAsinB=(-45)×513 35×1132=6156或cosC=-cos(A B)=-cosAcosB sinAsinB=45×153 53×1132=6565.分析由于A、B、C都是三角形的内角,而且sinA=35<1132=sinB,根据AA.又cosB=513>0,可知B为锐角,则A也为锐角,所以cosA=54.正解由cosB=153得,sinB=1132.而sinB=1123>35=sinA,于是有B>A.又cosB=153>0,可知B为锐角,则…     

集锦

文[1]对△ABC内恒等式sinA SinB SinC=4cosA/2cosB/2cosC/2 (1)cosA cosB cosC=1 4sinA/2sinB/2sinC/2 (2)     

对△ABC内几个恒等式的逆向探究

高中《代数》(必修本)上册第三章《两角和与差的三角函数》中有下面几道题: 1.在△ABC中,求证:sinA sinB sinC=4cosA/2cosB/2cos2/C。(第193页例5) 2.在△ABC中,求证:     

锐角三角函数专题训练（一）

一、细心填一填1．在Rt△ABC中,∠C＝90&#176;,a=2,b=3,则cosA=——,sinB=——,tanB——．     

关联三个外接圆的不等式

定理　设△DEF为锐角△ABC的垂足三角形 ,BC =a ,CA =b ,AB =c,△AEF、△BDF、△CDE的外接圆分别为⊙O1(R1)、⊙O2 (R2 )、⊙O3(R3) ,则有aR1 bR2 cR3≥ 63 .证明 :由于B、C、E、F共圆 ,∠AEF =∠B ,∠AFE =∠C ,从而△AEF∽△ABC(如图 ) .　∴ EFBC=AEAB=cosA ,　∴EF =acosA .同理　DF =bcosB ,DE =ccosC .由正弦定理得EF =2R1sinA .∴acosA =2R1sinA ,从而aR1=2tanA .同理 bR2=2tanB ,cR3=2tanC .由于△ABC为锐角三角形 ,tanA >0 ,tanB >0 ,tanC >0 ,∴ tanA tanB tanC33≥tanAtanBtanC=tanA ta…     

解分式方程常见的误区

一、顾此失彼例1(1998·重庆市万州区中考题)在RtABC中,∠C=90°,sinA、sinB是方程(m+5)x2-(2m-5)x+12=0的两个根,求m的值.错解由根与系数关系可得:sinA+cosA=2m-5m+5,sinA·cosA=12m+5.由sin2A+cos2A=1,有2m-5m+52-24m+5=1.解之得m=20或-2.经检验,m=20或-2是原方程的解,∴m=20或-2.分析本题在解分式方程时,考虑到了验根,但却忽略了三角函数的值域.事实上,因∠A是锐角,可知0相似文献   

等边三角形判定的一组充要条件

文[1]给出一道南昌市高中数学竞赛题的简证,该题可叙述成如下:命题1△ABC为等边三角形的充要条件是sinA,sinB,sinC顺次成等差且cosA,cosB,cosC顺次成等比.笔者对该命题进行了类比探究,以命题形式进行叙述,本文约定:△ABC三个内角A,B,G所对边分别为a,b,c.命题2 AABC为等边三角形的充要条件是sinA,sinB,sinC顺次成等差且cosA,cosB,cosC顺次成等差.证明:必要性显然,下证充分性.由sinA,sinB,sinC成等差,得2sinB=sinA+sinC,由正弦定理,得