两个重要的三角恒等式

两个重要的三角恒等式杨变清郭海萍ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）＋ｃｏｓ（Ａ－Ｂ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（－Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝４ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ……（＊）其正确性既可由左和差化积到右,也可由右积化和差到左。在（＊）中分别以π２＋Ａ、π２＋Ｂ、π２...     

一个应用广泛的不等式

设ｘ、ｙ、ｚ是任意实数,Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,则ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≥２ｘｙｃｏｓＣ＋２ｙｚｃｏｓＡ＋２ｚｘｃｏｓＢ．（＊）证　注意到Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,将不等式（＊）移项、配方、整理,该不等式等价于（ｘ－ｙｃｏｓＣ－ｚｃｏｓＢ）２＋（ｙｓｉｎＣ－ｚｓｉｎＢ）２≥０．上面不等式显然成立,故不等式（＊）成立．不等式（＊）揭示了任意三个实数ｘ、ｙ、ｚ与满足条件Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π的三个角Ａ、Ｂ、Ｃ的余弦值之间的一个重要关系．在解题中灵活地运用这个不等式,可使有些证明难度较大的不等式获得简洁、巧妙的证明．例１　在△ＡＢＣ…     

对口招生考试数学试题及参考答案

Ａ〔０,π６〕Ｂ〔π６,２π３〕Ｃ〔π６,５π６〕Ｄ〔５π６,π〕８已知函数ｙ＝２ｓｉｎ（ｘａ＋π３）的最小周期为π,则ａ等于（）Ａ±１２Ｂ±２Ｃ１２Ｄ２９在等比数列｛ａｎ｝中,ａ６＝６,ａ９＝９,那么ａ３等于（）Ａ４Ｂ３２Ｃ...     

三角形内三角函数值的求法

在解决三角形中有关三角函数的求值问题时,要注意角的范围与三角函数值的联系与影响,通过对内在条件的挖掘,使隐含的条件显露出来。现就一常见类型问题的求解讨论如下：在△ＡＢＣ中,已知ｓｉｎＡ＝ｐ,ｃｏｓＢ＝ｑ,求ｃｏｓＣ。显然０＜ｐ≤１,－１＜ｑ＜１。　　（一）当ｐ＝１时,知Ｂ＋Ｃ＝π２,∴ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＢ＝１－ｑ２;　　（二）当ｑ＝０时,知Ａ＋Ｃ＝π２,∴ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＝ｐ;　　（三）当－１＜ｑ＜０时,知０＜Ａ＜π２,π２＜Ｂ＜π,∴ｃｏｓＡ＝１－ｐ２,ｓｉｎＢ＝１－ｑ２,∴ｃｏｓＣ＝－ｑ１－…     

勾股定理及其逆定理的综合应用

勾股定理及其过定理是几何中十分重要的两个定理，它们在解题中应用比较广泛．现举几例说明它们在几何解题中的综合运用．一判断三角形形状例１如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是高，且ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ．求证：△ＡＢＣ为直角三角形．证明在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中，由勾股定理得ＡＢ２＝ＢＤ２＋ＡＤ２，ＡＣ２＝ＡＤ２＋ＣＤ２ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＤ２＋２ＡＤ２＋ＣＤ２．ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ，ＡＢ２＋ＡＣ２＝（ＢＤ＋ＣＤ）．即ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２．根据勾股定理的逆定理知△ＡＢＣ为直角三角形．二求角度例２如图２，ＡＢＢＣ，ＣＤＡ…     

三角形内角和定理的多种证法

大家都知道，三角形三个内角的和等于１８０°．对于这个定理的证明，除了课本所介绍的外，还有其他的证法．看一看，以下证法你能想到吗？已知：△ＡＢＣ．求证：∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°．证法１如图１所示，过点Ａ作ＡＥ／／ＢＣ，则∠１＝∠Ｃ．∠Ｂ＋∠ＢＡＥ＝１８０°（两直线平行，同旁内角互补）．而∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠１，所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｃ＝１８０°（等量代换）．证法２如图２，过点Ａ作ＥＤ／／ＢＣ，则∠Ｉ＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ．而∠１＋∠ＢＡＣ＋∠２＝１８０°（平角定义），所以∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＝１８…     

高考数学综合训练(三)

一、选择题 (本大题共 1 2小题 ,每题 5分 ,共 60分 )1 .已知Ｉ为全集 ,Ａ、Ｂ、Ｃ为Ｉ的非空子集 ,若Ａ∩Ｂ =Ａ∩Ｃ ,则下列等式一定成立的是 (　　 ) .Ａ .Ｂ =Ｃ　　　　　　Ｂ .Ａ∪Ｂ =Ａ∪ＣＣ .Ａ∩Ｂ =Ａ∩Ｃ　Ｄ .Ａ∪Ｂ =Ａ∪Ｃ2 .已知函数 ｆ(ｘ) =ｓｉｎ(ｘ φ) ｃｏｓ(ｘ φ)为奇函数 ,则 φ的一个取值是 (　　 ) .Ａ .0　　Ｂ .-π4 　　Ｃ .π2 　　Ｄ .π3.一个圆锥的侧面展开图扇形的周长为 2 ,则这个圆锥侧面积的最大值是 (　　 ) .Ａ .12 　　Ｂ .π2 　　Ｃ .14 　　Ｄ .π44.函数 ｆ(ｘ) =ｘ3-ｓｉｎｘ的部分图象…     

一个三角恒等式的推广及应用

三角恒等式的变换公式繁多，方法灵活，广大学生望而生畏．然而，如果广大教师抓住一些富有特征的典型的三角恒等式，发挥其广泛的应用功能，则可收到“以一当十”，“以点带面”的效果．本文试图通过对一个三角恒等式的挖掘和联想，展示它的广泛的应用． 结论：在ＡＢＣ中，我们知道 Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝Ａ＋Ｂ＝－Ｃ 则有ｔｇ（Ａ＋ Ｂ）＝－ ｔｇＣ １－ ｔｇＡ· ｔｇＢ－ ｔｇ Ｃ 于是将上式交叉相乘移项整理得： ｔｇＡ＋ ｔｇＢ＋ｔｇＣ＝ｔｇＡ·ｔｇＢ·ｔｇＣ（*） 如果我们作进一步深入的探索，就不难将这一结论推广到Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ｋ（…     

两个性质与两条法则

两个性质与两条法则兰州师专温传校性质１等差数列的等差中项的平方，大于它前后两项之积。设Ａ，Ｂ，Ｃ为等差数列，公差为ｄ≠０，则Ａ＝Ｂ－ｄ，Ｃ＝Ｂ＋ｄ，ＡＣ＝（Ｂ－ｄ）（Ｂ＋ｄ）＝Ｂ２—ｄ２，Ｂ２—ＡＣ＝Ｂ２—Ｂ２＋ｄ２＝ｄ２＞０，∴Ｂ２＞ＡＣ。若令Ｂ＝...     

根据角平分线条件构建全等三角形

几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝…     

等差三角形中的一个定理及应用

我们把三边边长成等差数列的三角形叫做等差三角形．它有一个重要的性质如下：定理　在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，若ａ、ｂ、ｃ成等差数列，则有ｔｇＡ２ｔｇＣ２＝１３．证明　由题意知　２ｂ＝ａ＋ｃ，由正弦定理得　２ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ，∴　４ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝２ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ－Ｃ２．又∵　ｓｉｎＡ＋Ｃ２≠０，则有２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝ｃｏｓＡ－Ｃ２，即　２ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２－２ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２＝ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２＋ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２，∴　３ｓｉｎＡ２…     

初中数学升学复习测试题精编──解三角形（二）

初中数学升学复习测试题精编──解三角形（二）一、填空题１．若四边形ＡＢＣＤ内接于圆，则ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＋ｃｏｓＤ＝２．△ＡＢＣ中，已知ｓｉｎＡ：ｓｉｎＢ：ｓｉｎＣ＝３：５：７，那么最大角是度。３．△ＡＢＣ中，ａ＝ｂ＝１，ｃ，则三个内角为４...     

勾股定理在几何计算中的应用

勾股定理是平凡中的重要定理,应用十分广泛．本文专门介绍它在几何计算中的应用．由于题目中的条件不同,用法也不相同,那么我们怎样用好定理呢？一、根据条件直接用定理这类题目很多,仅举一例供大家体会．例１如图,在Ｒｔ△ＡＢＣ中,ＡＣＢ＝９０°,ＣＤＡＢ于Ｄ．若ＡＢ＝１３,ＣＤ＝６,求ＡＣ＋ＢＣ的长．解在Ｒｔ△ＡＢＣ中,由勾股定理得ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２．ＡＢ＝１３,ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２＝１３２＝１６９．ＣＤＡＢ,　Ｓ△ＡＢＣ＝ＡＣ·ＢＣ．由面积关系,得ＡＣ·ＢＣ＝ＡＢ·ＣＤ＝１３×６＝７８．（ＡＣ＋Ｂ…     

对角互余四边形的一个性质推广

文［１］给出了对角互余四边形的一个性质： 定理 在四边形 ＡＢＣＤ中,若∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°,则 ＡＢ２·ＣＤ２＋ＢＣ２·ＡＤ２＝ＡＣ２·ＢＤ２ 逆定理 在四边形 ＡＢＣＤ中,若ＡＢ２·ＣＤ２＋ＢＣ２·ＡＤ２＝ＡＣ２·ＢＤ２,则 ∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°。 但逆定理的结论     

应用勾股定理进行几何计算

直角三角形两直角边ａ、ｂ的平方和，等于斜边ｃ的平方，即ａ２＋ｂ２＝ｃ２这就是我们所熟悉的勾股定理。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．灵活应用它，不仅可以解决与直角三角形有关的计算问题，一些与斜三角形有关的计算问题也可通过添作垂线后获得解决．现以近年来的中考题为例介绍勾股定理在几何计算中的应用．例１如图１，Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的高，已知ＡＤ＝４，ＢＤ＝１６，则ＣＤ＝（１９９５年甘肃省中考题）解在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ＝２０，ＡＣＺ＋ＢＣＺ一ＡＢＺ一４００．在Ｒｔ凸ＡＣＤ和…     

莫斯科大学数学力学系2001年入学考试试题和答案

第１套 (３月 )１．解方程３ｘ -２｜ｘ -２｜＝３ ３ｘ＋１８-２｜３ｘ＋１８ -２｜．２．解不等式ｌｏｇ（２１＋４ｘ－ｘ２）（７－ｘ）ｌｏｇ（ｘ＋３）（２１＋４ｘ－ｘ２）＜ １４．３．在腰长ＣＤ＝３０的梯形ＡＢＣＤ中两对角线相交于点Ｅ ,∠ＡＥＤ＝∠ＢＣＤ．经过点Ｃ、Ｄ、Ｅ的半径为１７的一圆和底边ＡＤ相交于点Ｆ ,并且和直线ＢＦ相切．试求梯形的高和它的底边．４．能不能选出这样的数Ａ、Ｂ、φ、ψ,使得表达式［ｓｉｎ（ｘ-π３）+２］２+Ａｃｏｓ（ｘ+φ）+Ｂｓｉｎ（２ｘ +ψ）对一切ｘ都取同一个数值Ｃ ?如果能 ,常数…     

二次三项式因式分解的一种简易方法

二次三项式因式分解的一种简易方法兰州铁道学院附中郝亚平设二次三项式Ａｘ２＋Ｂｘ＋Ｃ可分解为（８Ｘ＋ｂ）（Ｃｘ＋ｄ），亦即ａｃｘ２＋（ａｄ＋ｂｃ）ｘ＋ｂｄ。比较系数得Ａ＝ａｃ，Ｂ＝ａｄ＋ｂｃ，Ｃ＝ｂｄ。设ａｄ＝Ｆ１，ｂｃ＝Ｆ２，则有ＡＣ＝Ｆ１·Ｆ２，Ｂ...     

三角形的一个有趣性质

三角形的一个有趣性质兰州石油学校王江云若用Ａ，Ｂ，Ｃ表示凸ＡＢＣ的三个内角，以ａ，ｂ。ｃ分别表示它们的对边（即ＢＣ＝ａ“ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ）则有以下定期。定理在ＡＢＣ中，若Ａ≥Ｂ，则即ｓｉｎａ＝ｓｉｎｂ＋ｓｉｎＢ，正弦定理，得推论１在ＡＢＣ中，若Ａ＞...     

证明三角形全等的基本思路

证明三角形全等一般有下面三种思路．一、两个三角形中，已知两边对应相等，需证出它们的夹角对应相等，或者第三边对应相等．例１已知：如图１，Ｂ为ＡＣ的中点，ＢＥ=ＢＤ，∠１=∠２．求证；∠Ａ=∠Ｃ．分析显然需证△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ，已有ＡＢ=ＢＣ，ＢＥ=ＢＤ，还需要证明它们的夹角∠ＡＢＥ=∠ＣＢＤ，而∠１=∠２，它们的夹角相等是显然的．证明∠１＝∠２（已知），∠１＋∠３＝∠２＋∠３（等式性质），即∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ．在△ＡＢＥ和△ＣＢＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＢＤ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ，△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ…     

成果集锦

ｗｈｃ１３６的证明文［１］第２２９页列出杨学枝的如下猜想：ｗｈｃ１３６设Ｐ、Ｑ、Ｒ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的点,记ＡＱ＋ＡＲ＝ｕ,ＢＲ＋ＢＰ＝λ,ＣＰ＋ＣＱ＝ｖ,则ｐ＋ｑ＋ｒ≥（μ＋λ＋υ）－１２（λυμ＋υμλ＋μλυ）,其中ＱＲ＝ｐ,...