数量积问题解题方略

数量积是平面向量的一朵奇葩,运算彤式有a·6=|a| |b| cos α(0≤α≤π)与坐标表示a·6=x1x2 y1y22种.其几何意义是:a·6等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积.     

向量妙解线性规划最值问题

正1问题的提出随着高中数学课标课程的实施,使得许多新知识进入了高中数学教材,同时也进入了高考试题.其中,线性规划问题就是这样一种知识.线性规划问题几乎是每年高考必考的内容,而且其理论和方法在实际生活中有着广泛的应用.因而,线性规划问题解法的研究,就成为一个重要的课题.2理论基础①平面向量数量积的几何意义:数量积a?b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.即a?b=|a|?|b|cosθ,θ∈[0,π].②平面向量数量积的坐标表示:两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.即设1 1a=(x,y),2 2b=(x,y),则1 2 1 2a?b=x x+y y.     

2014年高考数学必做创新题

第1点运算定义型()必做1定义平面向量的一种运算:ab=|a|·|b| sin〈a,b〉,则下列命题:1ab=ba;2λ(ab)=(λa)b;3(a+b)c=(ac)+(bc);4若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=|x1y2-x2y1|.     

向量的性质及其应用

向量的性质常见于教材的例、习题中 ,但其应用是教材的薄弱内容 .同学们学习时应掌握下面性质的应用 ,以加深对向量知识的理解和掌握 .1若 e1、e2 是平面α内非零不共线向量 ,则对于α内任一向量 a,有且只有一对实数λ1,λ2 ,使得 a=λ1e1+λ2 e2 成立 ;2非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 )的数量积为a .b =x1x2 +y1y2 ;3设向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 ) ,b≠ 0 ,则 a∥b x1y2 - x2 y1=0 ;4设非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 ) ,则 a⊥b x1x2 +y1y2 =0 ;5非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 )的夹角θ满足 cosθ =cos〈a,b〉 =a .b|…     

巧用公式x_1x_2+y_1y_2=|(m|→)||(n|→)|cosθ解题

设m=(x1,y,),n=(x2,y2),θ为向量m与n的夹角.平面向量数量积的定义:几何表示为m·n=|m||n|sinθ,坐标表示为m·n=x1x2 y1y2.于是有X1X2 y1y2=|m||n|     

用圆锥曲线的定义求一类最值问题

各种数学资料中 ,经常出现如下一类问题 :点 M为圆锥曲线上一动点 ,求它到圆锥曲线的一个焦点 F和平面上一定点 A的距离和的最值 .大多数学生对这类问题感到困难 ,不知如何入手 .本文利用圆锥曲线的定义巧妙地求出这类问题 .1　椭圆、双曲线、抛物线中的有关结论1.1　椭圆结论 1　设椭圆 x2a2 + y2b2 =1(a >b>0 )的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,平面上一定点 Q(x0 ,y0 ) ,M为椭圆上任意一点 .(1)定点 Q(x0 ,y0 )在椭圆内部 (即 x20a2 + y20b2<1) ,则 | MF2 | + | MQ|的最小值是 2 a -| QF1 | ;最大值是 2 a + | QF1 | .(2 )定点 Q(x0 ,…     

向量导数巧求最值

恰当地应用好向量和导数,许多最值问题便迎刃而解,并且利用向量和导数来求最值,容易被学生接受.为了便于比较.一、用|a||b|≥a.b求最值例1已知x,y,z∈R ,且x y z=1,求x1 4y z9的最小值.解:令a=(1x,2y,3z),b=(x,y,z),则|a|2=1x 4y 9z,|b|2=1,(a.b)2=(1 2 3)2=36.由|a|2|b|2≥(a.b)2得,1x 4y 9z≥36,当且仅当1x=2y=3z时等号成立,即x=16,y=31,z=21.∴1x 4y 9z的最小值为36.例2已知ai,bi∈R ,且∑ni=1ai=∑ni=1bi=1,求a1a 12b1 a2a 22b2 … ana 2nbn的最小值.解析:令p=(a1a1 b1,aa2 2b2,…,anan bn,q=(a1 b1,a2 b2,…,an bn),则|p|2=a1a 21b1 a…     

2021年浙江卷第17题的解法探究

<正>一、试题呈现已知平面向量a,b,c(c≠0)满足|a|=1,|b|=2,a·b=0,(a-b)·c=0,记平面向量d在a,b方向上的投影分别为x,y,d-a在c方向上的投影为z,则x²+y2+y²+z2+z²的最小值是___.二、解法探究解法1几何法     

用向量知识简求解几题

向量是高中教材的新增内容 ,是数形结合的典型体现 ,向量与解析几何同源同宗 .用向量知识去解决两直线共线 (平行 )、垂直及夹角等问题比传统解几方法有着很大的优越性 ,对多数师生来说 ,向量方法还是一个有待发掘的宝库 .这里略举数例 ,以期抛砖引玉 .例 1　已知动点 ( x,y)满足 ( x - 2 ) 2 + ( y - 1) 2 =2 5,求 3x + 4y的取值范围 .解 :设 a =( 3,4 ) ,b =( x - 2 ,y - 1) ,a与 b的夹角为θ,则 3x + 4y =a .b + 10 =| a| | b| cosθ+ 10 =2 5cosθ + 10 .∴ 3x + 4y的最大值为 35,最小值为 - 15,即 3x+ 4y∈ [- 15,35] .例 2　 ( 1995年…     

如何画出(|x|)/a+(|y|)/b≤1(a,b都为正常数)的可行域

1问题的由来问题1(2011年高考湖北卷·理8)已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a上b.若x,y满足不等式|x|+|y|≤1,则z的取值范围为()A.[-3,3]B.[-3,2]C.[-2,2]D.[-2,3]问题2(2011年高考安徽卷·理4)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值     

对几道向量题的统一解法

<正>我们知道,两个向量a,b的数量积a·b=|a||b|cosθ,对于一类利用已知向量a,b表示的向量c=xa+yb,可以分别让c与a,b作数量积运算,从而建立x,y之间的等量关系.利用这一方法,能够简单地解决一类高考向量问题.下面举例说明.例1给定两个长度为1的平面向量     

数学奥林匹克高中训练题(72)

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1 .已知集合M ={x|x2 9y2 =9,x、y∈R},N ={x|x2 y2 - 2ax =0 ,x、y∈R ,|a|≤1 ,且a为常数 }.则M∩N =(　　 ) .(A) {x| |x| ≤1 }(B) {x| |x| ≤|a| }(C) {x|a - |a| ≤x≤a |a| }(D) {x| |x| ≤2 }2 .方程 (a - 1 ) (sin 2x c     

运用向量性质解答立几试题

向量的主要性质①向量的加法适合向量加法的三角形法则或平行四边形法则,即AB+BC=AC; ②若e1、e2是平面α内非零不共线向量,则对于α内任一向量a,有且只有一对实数λ1λ2,使得a=λ1 e1+λ2 e2成立; ③非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积为a·b=x1x2+y1y2; ④设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b(?)a·b=x1x2+y1y2=0;     

从一道高考模拟试题谈起

2009年合肥市高三第三次模拟考试数学(理)的第21题如下: 设向量i,j为直角坐标平面内的x轴、y轴正方向上的单位向量,若向量a=(x+1)i+yj,b=(x-1)i+yj,且|a+|+|b|=4.(1)求满足上述条件的点P(x,y)的轨迹C的方程;(2)过F(-1,0)任作一条与y轴不垂直的直线l交轨迹C于A、B两点,在x轴上是否存在点M,使得MF平分∠AMB?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.     

平面区域型最值问题的解法

当点(x,y)在平面上一个区域F上变动时。求二元函数f(x,y)的最值,这类问题称之为平面区域最值问题。本文以竞赛题为例说明这类问题的解法。 例1 若实数x、y满足|x| |y|≤l,求z=x~2-xy y~2的最小值和最大值。(1975年苏联大学生竞赛题)     

如何画出|x|/a+|y|/b≤1(a,b都为正常数)的可行域

1.问题的由来问题1(2011年高考湖北卷.理8)已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a⊥b若x,y满足不等式|x|+|y|≤1,则z的取值范围为     

向量的模就是点到点距离

<正>教材上说:向量AB(向量)的大小称为向量的长度(或称为模),记作AB(向量).教材上涉及向量的模的问题无非三种:由特殊的平面图形中获得线段的长度关系;直接给出向量的模,利用公式计算向量的数量积a·b=|a||b|cosθ;由向量的坐标(x,y)利用公式(x²+y2+y²)2)^(1/2)计算向量的模.而在实际的作业练习测试中,直接套用如上三种模型的习题可谓是少之又少,师生们发出感慨,数学真难,向量的模真难.其实啊,     

用向量外积的概念解释共线向量的等价条件

在高中数学的向量部分,有两个在形式上颇为相似的重要知识点:其一,对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥bx1x2 y1y2=0.其二,对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥bx1y2-x2y1=0.     

一个命题的向量证明及推广发散

命题 :设点 P(x0 ,y0 ) ,⊙ O:x2 + y2 =r2 ,直线 l:x0 x + y0 y =r2则 1当点 P在圆上时 ,直线 l与⊙ O相切 ;2当点 P在圆外时 ,直线 l与⊙ O相交 ;3当点 P在圆内时 ,直线 l与⊙ O相离 .1　证明在直线 l上任取一点 Q(x,y) ,因为向量 OP =(x0 ,y0 ) ,OQ =(x,y)所以 OP .OQ =x0 x + y0 y =r2即 | OP| .| OQ| .cos∠ POQ =r2因为 l的一个方向向量 v=(-y0 ,x0 )所以 v.OP =0 OP⊥ l故圆心 O到 l的距离d =| OQ| .cos∠ POQ =r2| OP|| OP| >r时 ,d r;故命题为真 .2　画法已知点 P和⊙ …     

高等数学综合练习

1　填空题(1 )向量b与非零向量a平行的充分必要条件是存在一个实数λ,使。(2 )两个向量a ,b相互垂直的充分必要条件是。(3)假设平面 3x - y - 1 =0与平面 2x +ay -z - 2 =0垂直 ,则a =。(4 )点 (- 1 ,- 2 ,- 1 )到平面x +2 y +2z - 5 =0的距离d =。(5 )直线x =3y =5 +tz =1平行于坐标轴。(6 )函数 y =1ln(1 -x - y) 的定义域为。(7)曲线x =acost,y=asint,z =bt在t=π2 处的切线方程为。(8)设z=xy,则 z x=。(9)设z=ex2 +y,则 2 z x2 =。(1 0 )累次积分∫10 dx∫xx f(x ,y)dy交换积分次序后 ,得到积分。(1 1 )圆域D :x2 +y2 ≤ 2上的二重积分…