用两点距离公式求函数的最值

用两点距离公式求函数的最值□兰州市二中马瑞华例１求函数ｙ＝ｘ２＋４＋ｘ２－４ｘ＋５的最小值解：ｙ＝ｘ２＋４＋（ｘ－２）２＋１＝（ｘ－０）２＋（０－２）２＋（ｘ－２）２＋（０－１）２．设点Ａ坐标为（０,２）,Ｂ坐标为（２,１）,则问题转化为在ｘ轴上...     

再谈由不等式证明不等式的方法

安振平先生就条件是不等式的不等式如何证明在文［１］中进行了归类．其实,条件是不等式的不等式证明方法较多,本文再举例给出几种典型的证法．例１（文［１］中例８,数形结合法）已知ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋１≤０,求证：－３ｘ≤ｙ≤３ｘ．证明：∵ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋１...     

剖析求函数值域的几种常见错误

求函数值域的方法较多，但在使用这些方法过程中，学生常常会出现一些错误，如忽视定义域、忽略变形过程中自变量取值范围的扩大，盲目使用一些常用方法等，现举例说明．１　忽视中间变量的取值范围例１　求函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ（ｘ２－ｘ＋１）的值域．错解　由－１≤ｘ２－ｘ＋１≤１，得０≤ｘ≤１．∵　当ｘ∈［－１，１］时，ａｒｃｓｉｎｘ∈－π２，π２，∴　－π２≤ａｒｃｓｉｎ（ｘ２－ｘ＋１）≤π２．所求函数值域为－π２，π２．剖析　上述解法忽视了中间变量ｘ２－ｘ＋１的取值范围．事实上ｘ２－ｘ＋１＝ｘ－１２２＋３４…     

用几何意义求最值

用几何意义求最值□甘肃省临洮中学孙守业文朝辉一、直接可求解的最值问题对于这一类问题，只要我们充分理解代数式中某些部分的几何意义，直接化为几何问题，利用几何图形的性质求解．例１求函数ｙ＝１＋３－２ｘ－ｘ２的最大值．解：ｙ＝１＋３－２ｘ－ｘ２ｙ－１＝...     

关于两圆根轴的推广

关于两圆根轴的推广江苏盐城师专附中殷东生设平面上有两圆（圆心Ｏ１（ｘ１，ｙ１）、Ｏ２（ｘ２，ｙ２）不重合）Ｃ１：（ｘ－ｘ１）２＋（ｙ－ｙ１）２＝ｒ２，①Ｃ２：（ｘ－ｘ２）２＋（ｙ－ｙ２）２＝Ｒ２，②①－②，得ｌ：２（ｘ２－ｘ１）ｘ＋２（ｙ２－ｙ１）ｙ...     

含有绝对值函数的作图

一、含有绝对值的一次函数的图象例１画出下列各函数的图象．（１）ｙ＝１２｜ｘ｜＋１;（２）ｙ＝｜２ｘ＋１｜＋｜ｘ－１｜．解：（１）原函数可化为ｙ＝１２ｘ＋１,（ｘ≥０）,－１２ｘ＋１．（ｘ＜０）．因此,原函数图象是由射线ｙ＝１２ｘ＋１（ｘ≥０）和ｙ＝－１２ｘ＋１（ｘ＜０）组成的一条折线,转折点是（０,１）,如图（１）．整个图象关于ｙ轴对称．（２）当ｘ≤－１２时,ｙ＝－（２ｘ＋１）－（ｘ－１）＝－３ｘ;当－１２＜ｘ≤１时,ｙ＝２ｘ＋１－（ｘ－１）＝ｘ＋２;当ｘ＞１时,ｙ＝２ｘ＋１＋ｘ－１＝３ｘ．即…     

因式分解在解题中的应用举隅

因式分解在解题中的应用举隅靖远县二中韦有孝一、解方程（组）例１．求适合下列方程的ｘ和ｙ：（ｘ２＋ｙ２）（１＋－１）＋ｘｙ－９＝（ｘ＋ｙ＋２）＋１１－１。解：由复数相等条件，有ｘ２＋ｙ２＝ｘ＋ｙ＋２，（１）ｘ２＋３ｘｙ＋ｙ２＝１１。（２）｛两式相减得ｙ...     

换元法在因式分解中的应用

所谓换元法，就是把某个代数式看成一个新的未知数（元）来实行变量替换，其实质就是转化．通过转化常能化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉．下面通过实例加以说明．一、整体换元例１分解因式：（ｘ２＋ｘ－１）（ｘ２＋ｘ－３）－１５．分析我们可视ｘ３＋ｘ－１为整体，令其为ｙ，则ｘ２＋ｘ－３＝y－２．这样便转化为我们所熟悉的二次三项式．解令ｘ２＋ｘ－１＝ｙ，则原式=ｙ（ｙ－２）－１５=Ｙ２－２ｙ－１５＝（ｙ－５）（ｙ＋３）=（x２+ｘ－６）（ｘ２+ｘ＋２）＝（ｘ－２）（ｘ＋３）（ｘ２＋ｘ＋２）．注也可视Ｘ２＋Ｘ或Ｘ２＋…     

部分乘积型多项式的因式分解

根据多项式的结构特点，灵活选择因式分解的方法是因式分解的关键．本文通过实例介绍部分乘积型多项式──某些部分是整式乘积形式的多项式的因式分解（在有理数范围内）的方法，供同学们学习时参考．例１分解因式：（ｘ－３）（ｘ３－２）－（３－ｘ）（ｘ２－１）＋２（３－ｘ）．解视（ｘ－３）为一整体，则每项均有公园式（ｘ－３），可用提公因式法分解．原式＝（ｘ－３）（ｘ３－２）＋（ｘ－３）（ｘ２－１）－２（ｘ－３）＝（ｘ－３）（ｘ３＋ｘ２－５）．例２分解因式：（ｘ＋ｙ）２－４（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＋４（ｘ－ｙ）２解视…     

《因式分解》自测题

一、填空题（每空２分，共２０分）１．ｘ３－２ｘ２ｙ＋ｘｙ２＝ｘ．２．ｂｃ－ａｃ＋ａＢ－ａ２＝（ｃ＋ａ）（）．３．若１２ｘ２－８ｘ－７＝（２ｘ＋１）（６ｘ＋ｍ），则ｍ＝．４．已知ａ＝３．ｂ＝２。则ａ３－２ａ２ｂ＋ａｂ２－ａ＝５．２７－８ａ３＝（３－２ａ）（）．６．１６ｘ＋　　１／４＝（４ｘ＋．）７．ｘ２－ｙ２－２ｙ－１＝（）．８．分解因式：ｘ３＋ｘ２－２ｘ－２＝（ｘ＋１）（）．二、选择题（每题３分，共２４分）１．若二次三项式ｘ２＋ａｘ—１可分解为（ｘ—２）（ｘ＋ｂ），则ａ＋ｂ的值为（）（Ａ）－１；…     

一类不等式的推广

一类不等式的推广甘肃省教科所王志亮这年来，有些书刊载文，用三角代换法证明如下不等式：若ｘ２＋ｙ２≤１，则｜ｘ２＋２ｘｙ－ｙ２｜≤２，（１）｜ｘ３＋３ｘ２ｙ－３ｘｙ２－ｙ３｜≤２．（２）观察（１）与（２）左边各项系数：Ｃ０２，Ｃ１２，－Ｃ２２；Ｃ０３，...     

初三数学期末试题

一、填空题（每小题３分，共４２分）： １．方程（ｘ－２）（ｘ＋１）＝０的根是＿。 ２．点Ｐ（３，－２）关于ｙ轴对称的点的坐标是。 ３．若一元二次方程 ｘ２－（ｍ－１）ｘ＋ｍ－５＝０的两个根互为相反数，那么 ｍ＝＿。 ４．在函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是。 ４．在函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是。 ５．关于ｘ的方程ｘ２－４ｘ＋ｋ＝０有实数根，那么实数ｋ的取值范围是。 ６．一次函数的图像过（－１，３）和（０，２）两点，则此函数的解析式为＿。 ７．在函数ｙ＝中，当ｘ－时，函数值ｙ＝。 ８．实数ａ，ｂ满足ａ＋ｂ…     

求值域问题的“五注意”

求值域问题是高中数学的重点和难点．同学们解答这类问题时常因考虑不周、方法不当而导致错误．为使同学们走出“求值域”的误区，特归纳五条注意事项如下： 一、注意等号取得的条件是否满足 按照某种方法求得“值域”后，应养成检验端点值（即判定等号取舍）的良好习惯．因为它可能是解法正误的“晴雨表”． 例１求函数ｙ＝ｘ－２＋２ｘ＋１的值域 错解：ｘ－２０，ｘ＋１０， ｘ－２＋２ｘ＋ １ ０即原函数值域为 ｙ ［０， ∞） 辨析：由上述解法可知ｙ＝０时，须满足显然没有与之对应的ｘ． 故扩大了ｙ的范围致误． 正解：原函数可化为…     

学会用和差代换解题

我们知道，对于任意实数ｘ与ｙ，恒有ｘ＝１／２（ｘ＋ｙ）＋１／２（ｘ－ｙ），ｙ＝１／２（ｘ＋ｙ）－１／２（ｘ－ｙ），若令１／２（ｘ＋ｙ）＝ｓ，１／２（ｘ－ｙ）＝ｔ，则ｘ＝ｓ＋ｔ，ｙ＝ｓ－ｔ，我们不妨称这个简单代换为和差代换．如果ｘ＋ｙ＝２ｋ（常数），我们则可引入参数ｔ，分别用ｋ＋ｔ，ｋ－ｔ代换ｘ和ｙ，用和差代换解决某些数学问题，简捷明快，颇具新意，下面我们就来看看这样几道例题。     

一个代数不等式的推广

宋庆先生在《一个新发现的代数不等式》（见数学通讯１９９９年第６期）一文中得到如下定理及推论： 定理　若ｘ，ｙ，ｚ是正数，则 ｘｎ（ｘ－ ｙ）＋ ｙｎ（ｙ－ｚ）＋ ｚｎ（ｚ－ｘ） ≥（１）其中ｎ≥０；当ｎ≤０时；不等式（１）反向，等号当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ或ｎ＝０时成立 推论若ｘ，ｙ，ｚ是正数，则 ｘｎ（ｙ＋ｚ－２ｘ）＋ｙｎ（ｚ＋ｘ－２ｙ）＋ｚｎ（ｘ＋ｙ－２ｚ）≤（２）其中ｎ≥０；当ｎ≤０时，不等式（２）反面，等号当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ或ｎ＝０时成立。 本文目的是将不等式（１）与（２）进行推广，得到相应的两个不等…     

求函数最值问题中常见错解剖析

李文仅就解答有关最值习题时的几种常见错误举例剖析如下：１　配方法例１　若ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＝４，求ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２的最大值。错解　ｘ＋ｙ＝４ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２＝（ｘｙ）２－２ｘｙ＋１６＝（ｘｙ－１）２＋１５这函数不存在最大值，只有当ｘ·ｙ＝１时，ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２取得最小值１５。剖析　由已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＝４得，０＜ｘｙ≤（２）２＝４．当日仅当ｘ＝ｙ＝２时等号成立。欲（ｘｙ－１）２最大，即｜ｘｙ－１｜最大，故正确的答案为：当ｘｙ＝４，即ｘ＝ｙ＝２时，ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２取得最…     

初二数学期末试题参考答案

一、填空题： １．（ｘ＝３）（ｘ－３）： ２．８５°： ３．２ｃｍ＜Ｃ＜１２ｃｍ： ４．８０°： ５．６．－１： ７．二、选择题： １．Ｂ； ２． Ｄ； ３．Ｂ； ４．Ｄ； ５．Ｂ。三、因式分解： １．（２ｘ－５）（ｘ＋２）（ｘ－２）；２．（２ａ＋ ｂ－１）（ Ｚａ－ ｂ＋ １）； ３． ｘ（ｘ＋２ｙ）（ｘ－２ｙ） （ｘ２＋３ｙ２）。四、计算：五、解答下列各题： １．由已知得ｘ－ｙ＝３ｘｙ，原式＝。 ２．＝３％。 ３．设自行车速度为ｘ千米／时，则汽车速度为３ｘ千米／时，根据题意，得，解得ｘ＝１５。答：自行车的速度为１…     

数形结合在解题中的巧妙应用

数形结合是一种重要的数学思想方法．本文拟就如何适时地妙用数形结合，谈些个人观点，供参考． 一、数形结合在求最值中的妙用 求函数的最值，方法颇多．但有些题目看似代数问题，采用代数方法求解，往往演算过程繁琐冗长，或者无从着手．假如题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题就迎刃而解． 例１求函数，ｙ＝的最值． 解：由“比”联想到斜率，问题就转化为：求动点（ｃｏｓｘ、ｓｉｎｘ）与定点（２，２）的连线斜率的最值． 又因为动点（ｃｏｓｘ、ｓｉｎｘ）的轨迹为ｘ２＋ ｙ２＝ １ 设过（２，２）的直线方程为： …     

活用两点的距离公式解题例谈

两点的距离公式主要用于求两点的距离．若能灵活应用,则可使有些数学问题的解决更直观、明了．现将在高中数学中的几种常见用法归纳如下．一、解方程例１　解方程｜３ｘ－２｜＋｜３ｘ＋７｜＝９．解：原方程化为｜ｘ－２３｜＋｜ｘ－（－７３）｜＝３．①根据两点的距离公式的特殊情形,即数轴上两点的距离公式,可知①式即求点Ｍ（２３）和另一点Ｎ（－７３）的距离之和等于３的ｘ的值,显然－７３≤ｘ≤２３是原方程的解．例２　解方程ｘ２＋ｙ２＋（ｘ－２）２＋ｙ２＋（ｘ－２）２＋（ｙ－４）２＋ｘ２＋（ｙ－４）２＝４５．图１解：…     

非负数应用举例

非负数应用举例□兰钢中学郭燕一、偶次根式的被开方数非负例１求函数ｙ＝２ｘ－１＋１－２ｘ＋４的定义域．解：由２ｘ－１≥０得ｘ≥１２,由１－２ｘ≥０得ｘ≤１２,所以原函数的定义域为ｘ＝１２．例２解不等式７－ｘ－ｘ－３＞０．解：由７－ｘ≥０得ｘ≤７,由...