等比数列求和公式的一个应用

本文提供等比数列前n项和公式的一个应用—求一个自然数所有约数的总和. 设自然数N的标准分解式为 N=尸户·尸争·尸黔……尸矛(P1,尸2,尸3,……尸。为质数.并且Pl<尸2<尸3<……<尸:;a,,aZ,气,……,a,为自然数) 。I入厂,。,.。。_二二。p夕;p刀:D几D凡、‘ 则万的约数必是形如尸护尸厂尸护……尸价的数 ‘其中夕.为非负整数.且夕‘《a‘,i~l,2,3,·一,n)而(l+Pl十月+……+呼,)(1十尸:十代十……+尸物二,…(l+氏+尸盖+.··…+尸黔)展开后的每一,,二二、胡,胡召。几胡.,‘二~*谓项都是形如辉‘邢‘p护……尸言“的数,因而每一项都为N的约…     

边长是连续整数的三角形的性质

《、卜学教研》(数学),2年第2期!8页刊登一道赛题及其解答如「: 如图I,△,落邢只边的长分别是邵一17,‘飞一18,月刀=l勺,过△月留l勺的点p向△A欣少的三边作垂B线,PD、朋、即(D、召、F为垂足),且刀D十‘刀+寿’- I)图l27,求刀D+脚’的长. (第五肠全囚部分省、市初中数学通讯赛试题) 解:连结剐、朋、八了.由全」股走理得: 刀护+C刀2+月FZ 一尸BZ一尸护+尸(咫一尸尸+尸矛一尸尸, 刀尸+月解+C拼 二尸牙一尸j’z+尸矛一尸尸十P(夕一尸护, 刀I尸十C刃2十月尸一刀尸+月解+亡解 =刀矛’2+(18一(了E)2+仁17一刀D)2.整理得形,+阶t2一182十17…     

求直线x±y+c=0的对称点的一简便方法

设点尸(x0,护),直线l:Ax十Bg+C=0.由直线I的方程可分别解得x=一B夕+C AAx+C B将上两式右边的封和二分另}l由封。+C月劣。十C过刀。和x。代替,得点尸,现就尸和Pl的关系做如下讨论: (1)可求得月大。一Bgo一C 2A尸和尸‘的中点M B”一击。二C、_ 2刀/’的坐标为可以验证,M的坐标是方程月x+丑召+C二。的解.所以M在l上. (2)我们又可求得直线尸尸,的斜率护一苍,而直线,:,/、B。、。一。的。。率、一层.要使、·*,-(一层)(公)一1·即(乡)’一,,所以“线‘:“‘十B刀十C二。的斜率儿二士1,便有存·留二一1. 通过上面两点讨论,有结论:点尸(…     

逐次逼近下的等角变换及其妙用

定义在已知渔A,凡C:中(约定乙C,不是钝角).设边月:召:的,l,垂线与△月:刀le,的外接圆的cl点一侧相交于点‘:〔如图1),记△浅瓦c:为△决及’二我们称必:月,B:C:到玉击凡负的几何变换为以月,il’;勺斌刃等角变换· 性质:在以A:B,为尹的等角变挑下,△月,BICI变成△滩2石:(’:,则对于三角形的各元素二、权、以只、△、、尺、,、、‘(:井l,2,字母意义如通常所述),恒有 l,△,(△2 (’:高h.1令·2) 2.尸,(八··’·月,、02、o:、B,四点共圆,·’.凡,20202)‘△,,01,,·:’,2),、)5 .olb,e:(aZ姚。2.(丫△,(△:,艺月:已B】~匕AZCZ刀2)6.a,…     

一道竞赛题的拓广及简捷证明

Z一‘u,凡,一凡,,?‘Z, 比1下1.苗-Z,)1二25川Z、:).宁“应边成比Z ︸{尸.尸!砚月,{片欢︼凡 一一一Z,’一Z。生。例 义 抗州市第屯局‘’求是杯”敌学竞赛21题:在边长为l的正兰角形月曰:儿.勺有一点‘,,分别以月:、A:、月:为顶点,、以月1(,、;;‘,、月J‘,为腰作顶角为300的等腰△月:‘,方,、△.4:()召:、△JJ(,扫3,求念方出:方:的面积· 参考答案的解法较繁.这里先证明一个更广泛的结论,然后直接给出一种简捷解法· 命题的拓广:已知多边形月;边:…凡和一点尸,入尸绕月t旋转角。(了<。相似文献   

歌曲四首

记少气广、改‘沙、‘、‘岁.声、户,氏J‘.‘护、f、J、‘,tl‘J‘矛、r、‘,‘,吸J飞‘‘夕、‘J‘‘口、r,产、r一,,l ,,,‘·子6.叶‘·蛙2.I一二皿.长玛,斗星二4!蜒过}2昌是盘噜吮材ot22·2。}通玛 不是即o{rZ二三 不是月p2呜“}奥 不瘫玛! l一‘渭娜’ 应些!二3!越应}3一!嘴私二、落不戒,舀丝!二3}“、},一l‘蜜、或边升奥来, 右33}“左}才3 316‘了}‘戳武:翼蛛J罢瓶:军以,毖·‘}应色}平县}几} 成阳月苑不决多自,呀2吐一告︸ ‘八七之}20五随}丝3}望丝}l“﹄。月2二:尺乃‘1.是只鹤子呀。嘴法说明:一趁唱泛昌一只么子:.:,趁唱趁…     

数学问题与解答

206.已知正六边形通刀口2,刀,,内任一点尸,连结ZH、尸刀、PO、尸刀、尸刀矛晒1,求证 尸且·尸刃·cos匕APD=Z诏·尸丑·cos乙Bl〕E=PC·于晒,.cos匕口子晒,.〔活,体积相等,且口土平面丑已尸,凡一音·AO·“一普凡令匕BC叹尸=0, 证:如图l,连结通刀、丑刃、已石1,则通刀=刀刀二C晒,.二①.又过P点作垂直于朋、ED的厂直线交AB、刀刀于M、N,则通万=EN,卫丑=万刀…②·CF石形刀馨。 BCSin30“丑尸sino丫BC=甲AB,一Ao,=a,=Zasin(150“一0),sin(150“一0)’…刃万,二Zasino,口尸“一专邵·oFs‘n30。月川6 图1二a,sin陇in(一50“一0…     

小花猫

渔少二夕音色:小号加颤音节奏:进行曲诊l尸.,户舀1 11二=币}l(尸,,‘1_们尸叫!}!11,l寸-twe~一leeIL一上_LI,,一了闷几{}J!11」曰l日习‘J了刁一习.百一习一~1一、l,}11}J日J尸}一‘‘奋二二}一一2 .1{咋公一牛!一4万一4 rs…·、5 匕自己。卞能卿、州走跳.J宋一·尸愧,‘J .....月1尸,尸性11l~声r巧】门~-寸L」J、11!i仁——一乍一一~一尸月,l!11日二工」〔二了tr一寸一一j一一一}—十-—-一一l1轰、」尸日司日}一.一厂一lji}}il卞一-~,~-一l急{异j君溉l熟}氛姨3妇小花猫@马玉芝 @李嘉评 @陈金熬~~…     

自作聪明的小毛驴

l万习“湘.匀.__l_l_11二口‘~1 fi)尸,{l‘布丁阮瓜.…1 .1..1口一l-·l口二」产」产户If葫陌听骊.1 11尸尸l,1.(..一夕曰l冰1子任1 1 1 1111.-.(.一L尸{月」甲j甲」‘下‘七四11.山l民睦侧l一rl山lLl田l丁翻‘11.田民为门气’生‘月‘才曰翻曰肠I曰.曰.,曰山曰「l,曰四-〔l,‘日翻‘「,,日.山曰.才口四口l『门,咐r月叫I叫二,叫二,叫〔l明,.〔1.,.〔1(I,,口.11l协、,J去曰.口.口.,月..~.月.一日.l月.日.日.l口.口日口1‘.口.口.l尸,口.口.“于行厅于示于尹{l‘饭.翻丫r‘卜、l.、l甘、I.马ll、ll、l『、l1.口.口IL丫r“l(、ll、I.11l…     

哦!沙朗

中速、轻歌漫舞地、·{全‘迄丝)丝丝.月,;‘匕冲(‘·业{业‘·1 2 1 65 Z~、0 5 25…5兰{5二){5}几}.}5旦迄里}2-花上羊角晒场/产、、窗.2花上羊角晒场}介二l介卜!}兰卫兰」一}里止6·}6(主三)}5/一、65铺满响起弯的尸铜铃簧火/一、1 .2竺理二尸口边哟哟路竹小爆弯声56铜铃簧火 二了决、}二八一}竺东三里{兰2.旦~亘响彻荡起,条条山翩翩舞 Z尸、、12!6谷哟步哟:}互5晰哟晰哟25l:.介l了代、}兰‘j,里一工}兰3}立二遭i{立‘遭,2声边6、八O=/八O一一/5=羌羌羌羌声悠儿红}了丁\二,1里里』迄」卫-}夕二.遭悠红}旦二遭历年历年寨人寨人歌心悠红…     

我们爱北京

1,C刀4 ~、产尸~一~~气,、二色{了‘’三!“一}图止‘京诚,了确北t阅嘟3担嘴‘了!泛泣!‘要繁鬓鼻是/一一卜、—1万—左了}/一!2应!、一,产全瑞次.声.、.爱式.{尖,‘勺 J尸尹一一一6.灵1左~皿一夕匕创峨花工浅 尸古、卜尹禅勺O劣.一一3都6.欢.}‘旦:秋光,尹亡)一明‘。万阅卫互!‘索妇、国占黄一·l们一{6我’7,一乏 戏川’户了 只..一一一决}6二兰{2一1之一食习匕味,户匕!2一家,·直.卜鱼二 个J矛J。!7越!‘‘斤壳涌万口活 洲产一一一~、、!j一}i玄。亥占碱我们爱北京@王晨湖 @罗晓航~~…     

咚咚锵

我敲小鼓咚咚，一一一~ l梦胜1 .1 1 11二‘—】二l、l J曰卜J澎J)县l，，承宜且(月刃i川，，r门，卜户i曰l一11一11‘-.).争l l、、、尸一州.，一11~11一」一11、. l山甲.1尸.一l〕~一(，~一.1 .11一l~、一!J门阮苦尸廿{口刃尸J l{尸J l浮尸冬}J )尸，J {，‘，.护‘..曰11 11一.l 1 .1) l勺1 .11一l备l、、、声—- l一.l 1 11 1 1 .1」11甩{习f。> .二>目.J口.J..产.叫一.=口二二二一一一一粼粼{‘、.叫叫--一1 1.一尸一1 1.1.-一l尸尸尸l 1.，一l，刀.苦尸尸脚.).J 1.口以‘以一l‘枯l~肠1民‘.J .1 l一口，1一尸卜11成「l l『口.口…     

邓爷爷,我想你——纪念邓小平诞辰100周年

1=C3\4入尤尺未仁脚-月, 一U(百一11“一}立“i1吞一}“}含一}息V5 、,J n甘。前感万万邢{“一}是日尸/一入6。1想6一}弓你荞啊)产尸一、如今·17我 ·1爷 ·2爷慢稍·1邓。{00。 /、 二。疆互}乙手川“厂、3.想455.在00旦}‘一1‘一哪里?(啊) /、{二川。}j7·爷,我0}06爷5邓00,.663八J月. 了‘P、口t 0 . !曰7拄们O叮引引卜引引U灯1111引Illjll引叭/一~、65纠退一{立一0医l盯2_:_一卜}{你派吵I}。‘6 4 16从u乏42}4今你在哪里?(啊) 厂一—一、0000。{。眼复}孟等川26-.曰1.一 .。O‘.0‘................ 工66下里丘.1光厂- 月呀·2阳…     

三角形内接三角形的周长

命题设△D刀F为△ABC的内接二角形,BC=、.C几=乙,刀B=:,l为△D刀尸r认周长,叮l,} l一口c。:魂{一乙cosB十cc。:C.(1)其中等号当且仅当八ABC为锐角三角形,且△D刀F为垂足三角形时成立. 证设R为△ABC外接圆的半径,其它字母含义如图示,则 (a, 夕; ,7) (a: 口: 了2)F刀尸厂声」 =36     

三角形角平分线的平方和

1,88年,D·卜丁·卜们1,evj。在《美国数学月刊》卜提出的问题朋2咫是:给定也月段’.设。、,‘,、,。、是角平分线长,、是半周长,7,是内切圆半径.刀是外接回半径,则峭+。居+心蕊,挤一 .R以了-(1)等号成立当且仅当乙.月阿”勺正二角形· l,,。年,该刊发表厂w.J。,,。。的一个证明,其,},用到微积分(见仁,」). 由Eujcr不等式R分公易知,〔l)是熟知的不等式(参见[2]的8.!”· 心十。宕牛‘毋二厂(2)的一个加强. 本文‘卜,孑健们用完全tl]等的/汀、’子到厂更好的结果. 定理l。诺一卡。未+时 户十3了之、‘+,止(32月。+4〔)乃+37君)尸 卜:+2乃一…     

中华儿女斗志昂——(歌剧“向陽川”选曲)

产3、1.月....‘月,.!........ 、.2一应 6. 6一一、...一已护一 内,= ,‘=l 望些冷(~i亡广·…“.“.一} 1丫61乙、花6一!/\3 5 35VV16l·甲甲-}生里立之I一2 35/~…一一一6 61中华丝}/一一一,3 5 32二要月立!皇 ‘产尸.、.止主{立一飞·儿女斗志昂,毛主席的z一一—、 .5 65、广~------、1 01一lT=3’乏!互迄上奥之之}三卫呈二掣.}2教导永不/~、!z尸、…l三之}二迄之鱼选鱼}垦想世亡:毋匕,, 尸--~一一-、1 61‘一弓汗界,一} I」退 ’面3 61对︵.里茅︵︸一.在︵里身~i逗-巫二}亚一丁飞厂一-、6返}还丝主}}l唯河看海中华儿女斗志昂——(歌…     

乘上儿童小火车

l山口.己曰....一11-.一~ll日可-...-.一l_l毛-一日..‘.…l_且i丁.尸一l亨口的‘.1卫「「已i厂_j jiji曰,…ll气咬、,一1 11 11‘一;夏.,一奋一」一J见1 1 11L fll!门....1,,.尸-汤r.「l勺二.白1一「 J...‘J尸...…l日.1二…‘.1~性ee.白口.T-二山曰下碑叼‘i二曰曰j1we.盆一.肠俪口J八1 1 11七叫脚.,,日l」l」产,二尸.,.~口户竺,,}」门」‘..).1.+百一刊一卜刊,十十下辛,曰:二.胜...‘~....~J一-......一...-l‘月.川}.四,口..口.留寺封才书衬:点芍二幸什名甘澎餐浮l.1.白.~....~.、、.~洲门..~.1 ....~....~.l11~,..一,.l,.卜州、二…     

小老鼠找朋友

5i小老5l鼠哟o一毛3几(绝50健50一落50绝50)一5 15四处1 50走,想要找个是厂2一尧3了-友3 2 0 1 1 5 0 15(艳30凳30一绝30乞。50!5 11 好朋 !bo}55产找5 10小兔11卫互卫呸2卫互卫)}5·3些和小狗,口尸户~一~、、l(互卫二)I又找松鼠和·2 小1 5 01( 猴,这个不答应 尸尸一~、、3·2旦」‘12(7 12 #####)l卫二孟立l兰生卫一」‘工.互立巨』1 1 0 11·6!13·那个直摇头,互卫互卫!上立(互互二!哎呀、哎呀、哎呀、哎呀你天天干坏事儿,谁愿跟你迎o)11交导一争二一争于一争卜g心朋争卜争署友!小异一沉一争导一升一小薯一争导一拭一小冬一拭一于冬一争…     

一个不等式推广问题的再研讨

文〔1」将一个不等式推广为:定理1设ai>0(i=1,2,…,n),n弟“,m任N’,且“二谷ai,则有 .一刀名,._.竺,肠亡I,址气_- 、,__~_、’~,,‘一J‘J“‘石一二弓,‘J“i云留l口一“i林一11吕l本文中“〕”的等号成立均当且仅当al二‘”二a。·以下略,(1)=口2 记“‘“二愈a‘:,文〔“〕又给出了不等式(l)的一个指数推广: 定理2设al,aZ,…,a。(n办2),尸皆为正实数,则对任意非负实数q,有S(。)占a产宁q宁q)ZJ二万.下一~-甲罗仑一月一~一万‘=进万‘F,一alJ,一n一l 文〔3〕将不等式(l)推广为: 定理3设ai>o(i=1,2,…2,m、keN书,且m·>k,L ‘54, (2)…     

全軍上下一片紅

词曲=卜B沁二共原晨拼、生茂、唐河兴奋、活漪介,.,介3一5介,.,,沪..、尸.、、2耗学氧栋镇传fL.不」吞尤件.六,。I徐玲、;山一尸.几,一‘肠‘,阵 ..........吕色的承色的习}丝i!业 战l二扣- 扣军好思想,榜样,2新继 纠三亘}。,自合.1介水乙矛;︸ ..内‘产广、l6;}丝、到;三:v}‘厂、 }二少竺6上卜-审队嘴弋片条L代牟L拍颗颗颗忠于向太军色全耘尸户、场尸月一、;·引亘丝{;“卜·i!,这二{/-,乙/.几, .凡,高高举举旗旗党。阳。 东 右三尸,、、尸.、思想耗思想杠得一一、尸.、户口、、}丝丝{亘丝卜一…丝丝}丛纽… J,一~~一一一~-~~~~~;一};…