用十字相乘法分解因式

因式分解是初中数学中的重要内容,也是同学们学习上的一个难点。十字相乘法是进行因式分解的一种很重要的方法,对于二次三项式ax^2＋bx＋C（a≠0）来说,有时利用十字相乘法分解相当方便。使用这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数的积,即a=a1a2,把常数项c分解成两个因数的积,即c=c1c2,     

谈与二次三项式ax2+bx+c(a≠0)相关的问题

学好数学的重要一环是如何处理好前后知识点的联系与衔接问题,对相关内容进行系统的概括、对比和总结,以便尽可能减少学生在接受知识和解题过程中的困难,防止知识点的混淆,从而使学生学得更灵活、更轻松,最终让学生在每次考试中均能获得理想的成绩,达到大面积丰收,收到事半功倍的效果。本文就与二次三项式ax2+bx+c(a≠0)相关的问题作一浅析。一、当二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的值为零时,即ax2+bx+c=0(a≠0),那么此时的表达式称为关于x的一元二次方程。而将二次三项式分解因式时,所采用的方法有公式法、十字相乘法等,而对于一般不能在有理数范…     

巧用十字相乘法解竞赛题

十字相乘法是初中数学中重要的解题方法之一，并且也是解形如ax^2 bx c=0(a≠0)方程时的一个重要方法．请看下列例题．     

直面解一元二次方程问题

只含有一个未知数(即“元”),并且未知数的最高次数为2(即“次”)的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的标准形式(即所有一元二次方程经整理都能得到的形式)是ax2+bx+c=0(n,b,c为常数,x为未知数,且a≠0). 解一元二次方程的方法很多,具体有因式分解法[包括“十字相乘法即x2+ (p+q)x+pq=(x+p)(x+q)”“提公因式法”“平方差公式”和“完全平方公式”]、公式法、配方法等等.     

探究三次多项式的因式分解

十字相乘法是分解二次三项式的重要方法之一,而用双十字相乘法分解三次或四次多项式有时会显得非常简捷、有效．所谓“双十字相乘法”是指画两组或三组十字交叉线来分解因式的方法．下面是笔者用这种方法分解三次多项式的一点尝试．     

“十字相乘法”分解因式的一点探讨

对某些数字系数的二次三项式(ax~2+bx+c)的因式分解,运用观察法,即“十字相乘法”便可完成。例如分解4x~2+15x+9,在草稿纸上写出,结果得4x~2+15x+9=(4x+3)(x+3)。这里我们提出问题是为什么不把4分成2×2,而分成4×1呢?不把9分成9×1,而分成3×3呢?在教学中若采用“十字相乘法”分解因式是“对角乘积之和等于一次项的系数”,也就是凭观察凑     

十字相乘法分解因式的技巧

当二次三项式ax~2 bx c的判别式△=b~2-4ac为完全平方数(即为某整数的平方)时,可分解为两个一次因式之积(px r)·(qx s)。实际上,只要将a,c适当分解,使之满足:a=pq,c=rs,使ps qr=b即可。这一方法称为十字相乘法。 显然,应用十字相乘法比应用求根公式法方便易行得多。 但是,在许多题目中不能直接施用十字相     

二元二次多项式的“十字相乘”法

十字相乘法是对一元二次三项式进行因式分解的有效的方法,其实它只是两个一元一次二项式的乘法规律的反向运用。当用“十字相乘”这种形象的语言来表达其操作方法时,人们学、用都很方便,因此,也不由想到对较复杂的多项式能否也用十字相乘的形式来分解因式呢?只要能看作两个一次二项式的乘积的高次三项式,或者连续应用十字相乘法进行因式分解,其问题就会迎刃而解。这里谈谈对二元二次多项式用“十字相乘”方法进行因式分解的问题。     

如何认识“十字相乘法”?(二)

在前文(《如何认识十字相乘法?(一)》)中我们介绍了韦达定理、十字相乘法、求根公式法,这里我们继续探讨十字相乘法和求根公式法.1 再看十字相乘法和求根公式法从前文中,可以看出用十字相乘法进行因式分解有一定的局限,主要是用十字相乘法进行分解的因式,要求我们在有限次尝试后能成功将其常数项分解,即找到 x_1、x_2,这就使得常数项不能是分数,也即只能分解系数为整数的二次三项式.而用求根公式法分解因式则是通性通法,只要因式可以分解,用这种方法就可以将其成功分解.由于求根公式法是通     

巧用特殊根“1”解题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2…     

一元二次方程根的判别式的运用

"△=b2-4ac"是一元二次方程ax2+bx +c=0的根的判别式,它是一元二次方程中的一个重要内容.有着许多方面的应用. 一、不需解方程即可判断根的情况 例1不解方程,试可判断方程ax2-4x +1 =0(a≠0)根的情况. 解:因为△=b2-4ac=16-4a, 当16-4a ＞0,即a＜4,且a≠0时,方程有两个不相等的实数根; 当16-4a =0,即:a=4时,方程有两个相等的实数根; 当16-4a ＜0,即:a＞4时,方程没有实数根.     

挖掘“十字相乘法”的作用 提高学生分解因式的能力

在初中《代数》第二册第7.5节分组分解法中第120页上的例1,给出了如下解法: 例1 把a~2-ab ac-bc分解因式。解:a~2-ab ac-bc =(a~2-3b) (ac-bc) =a(a-b) c(a-b) =(a-b)(a c) 当然,此例还可有其它不同的分组分解方法。但学生往往容易产生这样一种错觉:此例除了采用分组分解法之外,别无它法。然而事实上并非如此。此例还可以用课本7.6节要讲的“十字相乘法”求解(但7.6节中并无这样的例子)。具体解法如下: 解:a~2-ab ac-bc =a~2 (c-b)a-bc (看成关于a的二次三项式) =(a-b)(a c) 一般来说,凡适合分组分解法进行因式分解的多项式,如能整理成某个字母的二次三项式,则均可采用“十字相乘法”进行因式分解。例如课本第122～123页上的例4～6,把m~2 5n-mn-5m,x~2-y~2 ax ay,a~2-2ab b~2-c2分解因式,实际     

利用“广义判别式”解题的一些技巧

在解或判别实系数一元二次方程(或可化为此类方程)时,根的判别式Δ=b2-4ac起着极大的作用.实系数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有很多性质,其中当且仅当Δ=b2-4ac≤0时,y=ax2+bx+c保号.如果在实系数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,将系数a,b,c都改为对某些变量的实质函数,就可得到“广义判别式”的概念.即:设a=f(x,y),b=g(x,y),c=φ(x,y)都是以x,y为未知数的一个二元方程,则称Δ=b2-4ac为二元方程ax2+bx+c=0的“广义判别式”.1利用“广义判别式”可判断二元实函数系数方程根的情况实系数一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的保号性可以推广到关于x,y的二…     

二次函数的研究

内容概述二次函数的解析式由条件确定二次函数的解析式需要三个独立的条件,一般有如下三种特定形式:1.一般式y=ax2+bx+c(a≠0)2.顶点式y=a(x-m)2+h(a≠0)3.分解式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)二次函数的最值对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)若自变量x为任意实数,其最值情况为:当a>0,x=-b/2a,fmin=4ac-b2/4a;当a<0,x=-b/2a,fmax=4ac-b2/4a.若自变量x在范围x1≤x≤x2上取值时,其最值情况为:对a>0,有如下结论:     

函数及其图象考点分析及复习研究(续)

(接上期)考点7二次函数的概念、图象及其性质[知识要点]1.函数y=(a,b,c是常数,a≠0)叫做二次函数.当a≠0,b=c=0时,则y=;当a≠0,b=0,c≠0时,则y=;当仅有c=0时,则y=.这些函数都叫做.把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a()2+,由此可知对称轴是,顶点坐标是(,).2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条;当a>0时,开口向,当x=时,函数有值;当a<0时,开口向,当x=时,函数有值.3.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),a确定图象的,c确定图象与y轴的交点坐标是,Δ=b2-4ac确定图象与轴是否相交,当Δ>0时,抛物线与x轴有两个不同交点,当Δ=0时,抛物线与x轴只…     

因式分解常用方法以外的其它方法

因式分解是整式变形的一种重要手段 ,是后继学习——无论是分式、根式、方程 ,甚至高中解析几何等的重要基础 .在课本上 ,主要介绍了提取公因式 ,应用公式 ,分组分解以及十字相乘 (适用于二次三项式 )等方法 .对较复杂的多项式需综合、反复、多次 ,甚至变形应用这些方法 .如分解因式 :4 a2 - 4ab- 3b2 - 4a + 10 b- 3,由于前三项是二次三项式可先用十字相乘法得 :4 a2 - 4ab - 3b2 =( 2 a - 3b) ( 2 a + b)2 a2 a- 3b+ b原式 =( 2 a - 3b) ( 2 a + b) + ( - 4a + 10 b) - 3.这时再次应用十字相乘法 ,如图2 a- 3b2 a + b1- 3∴原式 =( 2 a - …     

不可忽视的五个条件

1a0=1中a≠0 例1当m=__时,函数y=(m+3)x2m+1+4x-5(x≠0)是一个一次函数.     

注意与0有关的五个条件

<正> 一、a0=1中a≠0 例 1 当m=_____时,函数y=(m+3)x2m+1+4x-5(x≠0)是一个一次函数. 错解当2m+1=1时,函数为一次函数,解得m=0; 当m+3=0时,函数为一次函数,解得m=-3.     

中考中应关注的几个问题

随着日历一页页的撕去 ,离中考的日子越来越近。当你即将迈入考场时 ,对下面的问题你是否有着明确的认识 ?(1)“实系数一元二次方程ax2 +bx +c =0有实数解”转化为“△ =b2- 4ac≥ 0”你是否注意到必须a≠ 0 ,当a =0时 ,“方程有解”不能转化为“△≥ 0”。     

如何认识“十字相乘法”？（一）

在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中去掉了“十字相乘法”,引起了广泛的争议,很多初中教师还是把“十字相乘法”作为教学的内容,一些高中教师也用了很多时间补充“十字相乘法”的内容．应该如何对待“十字相乘法”,什么是“通性通法”？本文通过对“十字相乘法”的分析,希望能和教师们一起来讨论这些问题．本文介绍了“十字相乘法”的原理及适用范围;本文（续）将对“十字相乘法”与“求根公式法”进行比较;分析了这些方法在后续数学学习中的作用以及“中、高考”在这方面的命题趋势;最后给出了一些建议,供教师参考．