亦真亦幻话悖论

人们通常认为“数学真理是绝对真理”,“数学是逻辑推理严格性的典范”,然而正是在数学的严密中却隐藏着一颗定时炸弹——悖论。它不定时地引爆,一次又一次地引发数学危机,而危机的克服又无一例外地引起数学深刻的变革。因此,数学悖论以其神秘、深奥     

数学悖论对数学发展的影响

数学史上的三次数学危机都是由数学悖论引起的。论述了数学悖论及其引发的三次数学危机的产生与发展,及数学悖论对数学发展的作用。     

论“物元分析(MEA)”对数学的开拓

一、数学的几次重大开拓 世界上有些科学家论述数学的重大进展或转折点时有所谓数学危机(Mathemati-cal crisis)的说法,认为第一次危机是公元前400年Hippasus发现不可通约性,对古希腊的数学观点有很大的冲击,他的同伴把他抛进了大海,这次“危机”导致无理数的出现。第二次危机是无穷小量引起的,反映数学内部有限与无穷小的矛盾、连续与离散的矛盾,与很早的Zeno悖论(运动不存在)相呼应,导致微积分的诞生(1665),第三次危机由Cantor集合论(1874)引起,出现了Russell悖论,导致数学基础的研     

谈悖论对数学发展的影响

在数学史上,悖论对数学的发展产生了深远的影响。在解决悖论的过程中,各种理论应运而生：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生;第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立;第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。     

漫谈数学史上的三次危机

由悖论引起了数学史上的三次较大危机,每一次“危机”对人们观念都有冲突,另一方面也说明了数学悖论巨大地推动了数学的发展。     

漫谈数学史上的三次危机

由悖论引起了数学史上的三次较大危机,每一次“危机”对人们观念都有冲突,另一方面也说明了数学悖论巨大地推动了数学的发展。     

浅议集合论悖论

悖论的出现引起了数学领域的三次危机,特别是集合论悖论的出现所引发的第三次数学危机对数学界的震动最大、影响最深.数学家和逻辑学们在寻求解决办法的过程中形成了各种的学派,在不同领域促进了数学和其他科学的发展.     

三次数学危机与悖论

悖论的发现，给数学界以极大的震动，相继导致了数学史上的三次危机。为了探求其根源和解决难题的途径，数学界、逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。本文就悖论与数学危机的产生、悖论的根源以及障论对数学科学的影响提出一些看法。     

数学在克服危机中前进

古希腊时代,由于无理数的发现与一些直觉经验相抵触而引发了数学的第１次危机。１７世纪,牛顿和莱布尼兹创立了微积分后,由于对无穷小量的理解未及深透而引发了数学的第２次危机。１９世纪末,康托尔创立集合论后,由于罗素提出了“宇宙是不存在的”这一著名悖论上引了数学的第３次危机,数学在克服危机中得到了很大的发展。     

浅论数学悖论的积极意义

数学悖论是指在当前的数学学科理论体系下由一些“正确”的事实或“可接受”的约定出发。经过严密正确的逻辑推理得到的矛盾的数学结论。它既具有极强的思辨品格，又具有浓厚的幽默色彩。对基础数学的发展起着重要的作用。本文通过揭示数学悖论的认识根源、思维特色，挖掘出数学悖论的积极意义，进而激发学生对数学探索的情趣。     

数理逻辑的兴起和发展

数理逻辑可以溯源到微积分一样长的历史,莱布尼兹最早用“数理逻辑”一词来指称这一学科。数理逻辑的形成和发展,始终与数学内在的矛盾联系在一起。 数学的内在矛盾由来已久,它反映在数学史中的三次危机上,每次危机的解决,就给数学带来新的内容,新的发展,甚至导致激烈的数学变革。第一次数学危机是由不可通约量,即无理数的发现引起的,经过这场危机,人们认识到直觉和经验不一定可靠,而     

从数学悖论看数学中矛盾的相互转化

通过对数学悖论的哲学剖析,阐述了数学的发展是数学中矛盾运动的结果。     

数学基础中的逻辑主义

康托尔创立集合论,推进了数学家对于"无穷"的认识,但是却引出了被称为集合论悖论的第三次数学危机,这次危机导致了人们对于数学基础的深入研究。逻辑主义学派不仅致力解决集合论悖论,还决心将数学的基础建立在逻辑之上。该学派的工作虽然极大地促进了数学基础的研究和数理逻辑的发展,但是,将数学建立在逻辑上的目的却没有取得最终的成功。     

数学基础中的逻辑主义

康托尔创立集合论,推进了数学家对于“无穷”的认识,但是却引出了被称为集合论悖论的第三次数学危机,这次危机导致了人们对于数学基础的深入研究。逻辑主义学派不仅致力解决集合论悖论．还决心将数学的基础建立在逻辑之上。该学派的工作虽然极大地促进了数学基础的研究和数理逻辑的发展,但是,将数学建立在逻辑上的目的却没有取得最终的成功。     

数学史上的三次危机

在科学技术中,当一种反常现象与通常理论发生冲突时,就会出现理论上的危机。在数学发展史上,已经经历了三次危机,又可以说产生过三大悖论。 公元前5世纪,人们对有理数的认识还不是很清楚,对于无理数的概念更是一无所知。但毕达哥拉斯学派断言:任意两条线段,总存在一最大公度线段。他们认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数     

集合悖论再议

集合悖论的出现引发了世界数学界的震惊,史称第三次数学危机。针对集合论初创阶段逻辑结构还不够完善现象,数学家们尝试从逻辑上去寻找问题的症结,ZFC公理集合理论的提出,暂时避免了引发数学史上集合悖论的出现,但也不能说,危机就此完美解决。悖论破译的过程就是数学大发展之时,ZFC公理集合理论、模糊数学、集对分析等分支就是探索一种解决和处理集合的新方法。集对分析仍处于发展之中,若将经典微积分求系统变化率与集对分析理论求层次演化率相结合研究,定会促进集对分析向前发展。     

也谈1945—1950年美国对华政策的演变

1945年至1950年,中国发生了翻天覆地的变化。这种变化与同时期美国对华政策的出发点的矛盾日趋尖锐,使美国对华政策出现一次又一次的危机,从而逼迫美国外交政策的决策者作出一次又一次的选择。     

对数学概念教学的几点思考

在数学学习活动中,从生动的直观到抽象的思维,形成一系列数学概念,这些数学概念的真理性又返回数学实践中接受检验。在这个过程中数学概念经过了不断的发展与变化,正是这种发展与变化,使学生的认知不断实现"同化"与"顺应",思维得到完善和发展。     

数学基础学派中的逻辑主义

十九世纪末,为了寻找数学的基础,数学家康托创立了著名的集合论。然在随着一系列悖论的发现,尤其是罗素悖论的发现,使得刚刚建立起来的令数学家激动的现代数学大厦的基础又发生了崩塌(第三次数学危机),引发了当时数学界关于数学的(哲学)基础的一场大辩论,并由不同的哲学观点而产生了逻辑主义、直觉主义及形式主义的三大学派。本文只就罗素、怀特海为代表的逻辑主义观点作些粗浅     

逻辑数学悖论及其解决

逻辑--数学悖论是指仅借助于逻辑和数学的符号而得以构造的悖论.从历史发展看,其主要是指布拉里--福蒂(Burali-Forti) 悖论,康托悖论和罗素悖论,它们分别是在1897、1899及1902年提出的.逻辑--数学悖论的出现,明确地表明素朴集合论中包含有逻辑矛盾.解决逻辑--数学悖论,必须对康托的素朴集合论加以限制,特别是必须抛弃前面所提到的概括原则.按策梅罗的研究成果,只须对公理适当地加以选择,就可做到既能使新建立的集合论能成为数学的基础,同时又能确保新的理论不会导致悖论.