从正方体透视正四面体与球体的切接问题

如图 1,我们看到正四面体内接于一个正方体 ,此时 ,正四面体的 6条棱恰为正方体的 6条面对角线 ,正方体的中心也是正四面体的中心 .我们可以将一个正方体切割成一个正四面也可以将一个正四面体补形成一个正方体 ,利用这个事实 ,可以通过正方体研究正四面体与球体的切接问题 ,从而化难为易 .在多面体与球体的切接问题中 ,正方体和正四面体与球体的切接类型是最丰富、最全面的 .主要有 ( 1)正方体或正四面体的外接球 ;( 2 )正方体或正四面体的内切球 ;( 3)正方体或正四面体的棱切球 .解决此类问题的基本思路是 :作出过它们“接”“切”点的轴…     

高考数学试题中的正四面体

正四面体是最为简约而又优美的多面体,它有4个顶点、4个面、6条相等的棱,它是一种特殊的正三棱锥——底面边长等于侧棱长。在历年的高考数学试题中,多次出现正四面体的有关计算问题,主要有三种类型：(1)正四面体的计算；(2)正四面体与正方体的计算；(3)正四面体与球的计算。由于可以把正四面体补成正方体,而正方体与球的关系又甚为密切,因此在正方体中研究正四面体的有关性质,确实掌握正四面体与其外接正方体,正四面体与其外接球、内切球之间的关系是快速而正确解答正四面体有关问题的基础。     

割补法在立几中的应用

正方体截去四个三棱锥后(如图)得到一个以面对角线为棱的正四面体 ABCD,反之,正四面体补上四个三棱锥后则还原为原来的正方体,其面对角线即为正四面体棱长,且这个正四面体的体积的正方体体积的1/3.实际上,这里的“截去”或者“补上”就是典型的割补法.在立几中,割补法的应用很广泛,请看下面例题.     

补形,有规律可循(高二)

1.正四面体补为正方体例1 求棱长为1的正四面体的体积. 分析 常规的思路是直接用三棱锥的体积公式去求,但要首先求出此三棱锥的高,求高比较繁琐.如果将正四面体ABCD补形为正方体(如图1),那么此正方体的棱长为 ,因此,求正四面体的体积便有了新的求解思路:     

“构造法”在立体几何中的应用

在许多立体几何问题中,由于图形的不规则,因而线面关系也不是很直观、明显,如果我们依题设条件,构造出一个特殊的几何体(如:正方体、长方体、正四面体等),并将其"嵌入"其中,有些线面的关系就会变得更加清晰,问题也就迎刃而解.     

构造正方体模型巧解高考立几题

正方体是高中立体几何中一种重要的多面体,同时也是一种重要的立几模型.不仅因为正方体中有很多典型的线线、线面、面面的平行和垂直关系,而且通过连线可以得到一些特殊的多面体,如三棱锥(包括正四面体)、四棱锥等等,并且正方体中棱长、侧面对角线、正方体对角线及点面距离存在着特殊的数量关系.根据正方体的这些特点,可以把求正四面体、三棱锥、四棱锥等问题转化为正方体模型处理,不仅     

补型法在解立体几何题中的应用

所谓补型法是将一几何体补成另一几何体后,在新形成的几何体中研究原几何体中的有关元素的位置关系及其计算的方法,也称嵌入法.它是一个重要的数学解题方法,在高考中有广泛的应用.笔者根据多年的教学实践总结出如下几种常见类型.1将正四面体补成正方体例1一个四面体的所有棱长都为2,4个顶点在同一球面上,则球的表面积().A3π;B4π;C33π;D6π图1解将正四面体补成正方体,如图1.正四面体外接球的直径即为正方体外接球的直径.由于四面体的所有棱长都为2,所以正方体的边长为1,正方体外接球的直径为3,球的表面积为3π,故选A.例2正四面体SABC…     

一道课本习题的引伸与应用

由立几课本108页习题十三的第1题(新教材第二册下(A)59页第8题)可知。正方体截去四个三棱锥后．得到一个正四面体．若设正方体的棱长为a．正四面体的棱长为a′，正方体及正四面体的外接球半径分别为R、R′．正方体的内切球及正四面体的棱切球半径分别为r、r′，易知有如下结论：     

补形法在解立体几何题中的应用

一、将正四面体补成正方体例1一个四面体的所有棱长都为2√,4个顶点在同一球面上,则球的表面积为A.3πB.4πC.33√πD.6π解析将正四面体补成正方体,如图1所示.正四面体外接球的直径即为正方体外接球的直径.由于四面体的所有棱长都为2√,所以正方体的边长为1,正方体外接球的直径为3√,球的表面积为3π,故选A.例2在正四面体S-ABC中,若E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所形成的角等于A.90°B.60°C.45°D.30°解析由题意知三棱锥S-ABC为正四面体,将正四面体补成正方体,如图2所示.易知EF∥SG,从而∠GSA即为EF与SA所…     

利用正方体解决正四面体问题

如图1，正方体6个表面的6条对角线构成正四面体S-ABC的6条棱，因而对每一个棱长为m的正四面体，均可将其放置于棱长为a（a=2的平方根/2m）的正方体内，且使正四面体的4个顶点分别为这个正方体的4个顶点，     

构图巧解 正四面体——构造正方体速解正四面体问题

我们知道,正方体ABCD-A1B1C1D1中,以A、C、B1、D1为顶点四面体是正四面体,对于正方体我们比较熟悉,因此对于涉及正四面体的问题,可以构造其相应的正方体,从而转化为解决正方体的相关问题.兹举例加以说明.【例1】如图1,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于().A.90°B.60°C.45°D.30°解:由题意,三棱锥S-ABC是正四面体,将它放在正方体AMBN-DCGS中(如图2),易见SC的中点E与AB的中点F的连线恰好是正方体的高,故EF∥AD,异面直线EF与SA所成的角就是DA与SA所夹…     

联想一道赛题 培养创新意识

题一个球与正四面体的各条棱都相切,且球的表面积为8π,则正四面体的棱长为___．(第17届(06年)“希望杯”高二2试)解如图1,补正四面体ABCD成正方体,则正四面体的棱均为正方体的面对角线．     

巧构正方体 速解高考题

一、将正四面体补成正方体例1(2006年山东卷)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥P—DCE的外接球的体积为()(A)4273π(B)62π(C)68π(D)264π解析:根据题意折叠后的三棱锥P—DCE为正四面体,且棱长为1.以此正四面体来构造正方体,使正四面体的各棱分别是正方体各面的对角线,如图2.则正方体的棱长为22,正方体的对角线也即正方体外接球的直径的长为26.又正方体的外接球也为正四面体的外接球,所以外接球的半径为46.所以,V球=43πr3=43π(46)3…     

“构造法”在立体几何中的应用

在许多立体几何问题中，由于图形的不规则，因而线面关系也不是很直观、明显．如果我们依题设条件，构造出一个特殊的几何体（如：正方体、长方体、正四面体等），并将图形“嵌入”其中，有些线面的关系就会变得更加清晰，问题也就迎刃而解．     

三棱锥的三视图探究

引题(2012年高考福建卷·文4)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱球的三个三视图是三个等圆,正方体的三个三视图是三个全等的正方形.选对D不难,但第一直觉却会认为正四面体的三个三视图是三个全等的正三角形.这是一个误区,正四面体三视图中一个是正三角形,另两个是底等腰不等的等腰三角形.     

正四面体和它的外接圆半径(高二)

题目一个四面体的所有棱长都为2~(1/2),四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( ) (A)3π. (B)4π. (C)33~(1/2)π. (D)6π. 分析这个正四面体可以想象是由棱长为1的正方体砍去四个角所得(实验修订本第二册下53页第8题),而这个正方体8个顶点所在的球面,也正是这个正四面体四个顶点所在的球面,而这个正方体对角线的长就是球的直径,显然,应选(A). 由题目条件想象到构造相应的正方体,这种转化使思路变清晰,各种线面位置关系也容易观察,     

补形巧解立体几何题

<正>巧妙补形是求解立体几何问题较为常用的一种解题方法,是把一个几何体补成另一个几何体,从而在新形成的几何体中研究原几何体的有关问题,这样可以使要求解的问题变得简单,解题过程简捷,思维空间广阔,解题方法新颖,问题获解顺利.1把正四面体补成正方体例1一个四面体的棱长都为槡2,四个顶点都在同一球面上,则球的表面积为().A.3πB.4πC.3槡3πD.6π解析如图1,把四面体补成一个棱长为1的     

特殊四面体外接球和内切球半径的非常规解法——构造法

【例1】求棱长为a的正四面体外接球的半径．分析：如图1,以正四面体A1-BC1D的棱长为侧面对角线构造相应的正方体A1B1C1D3-ABCD,此时所求正四面体A1-BC1D外接球半径就是正方体A1B1C1D1-ABCD外接球半径．     

巧解两例

1　巧求金刚石原子晶体键角例 1　在金刚石的晶体里 ,每个碳原子都被相邻的 4个碳原子包围 ,处于 4个碳原子的中心 ,以共价键与这 4个碳原子结合 ,成为正四面体结构 ,求证键角为 10 9°2 8′.这是《中学数学月刊》1999年第 11期第44页的例题 ,原证法将化学问题转换成立几计算问题 ,在正四面体中求两顶点对体中心的张角 ,比较复杂 ,现给出如下简单证明 .分析和证明　构造正方体 ABCD -A1 B1 C1 D1 ,将金刚石 AB1 CD1 嵌于正方体ABCD - A1 B1 C1 D1 中 ,设正方体中心为 O,棱长为 a,则∠AOC为所求键角 .在正方体中 ,AO=CO=3a2 ,AC=…     

以正方体为载体设计试题的若干途径

正方体是高中立体几何一种重要的模型.正方体自身具有很多典型的线线、线面、面面的平行和垂直关系,而且通过连线还可以得到一些特殊的多面体,如三棱锥(包括正四面体)、四棱锥等等;同时,正方体中棱长、面对角线、体对角线及点面距离间