又一个特征为素数的无限域

构造出一个特征为素数的无限域借以避免人们误认无限域以素数为特征的仅只（K,,⊙）一个,其中K={f（x）/g（x）｜f（x）,g（x）∈Zp[x],g（x）≠0,p为素数},,⊙分别是有理函数域中的加及乘运算.     

有限域的运算

定理1假如E是元数为q的有限域，那么它的特征，并且这里。是E在它的素域上的次数．引理1在特征为P的有限域GF（pn）中，对任意元a，b成立（a±b）p＝ap±bp引理2假如G是一个有限交换群，m是G的元的阶中最大的一个，那么m能被G的每一元的阶整除．定理2在特征为卢的有限域GF（pn）中，对应a→ap是一个自同构．定理3在有限域E中，所有非零元素组成的乘法群是循环群．定理4假定m是n的任意因数，那么有限域GF（pn）只有唯一个GF（pm）型子城，并且GF”（户”）的生成元是aP．－‘／P．－‘，其中GF”表示GF的非零元作成的乘群，a是GF”…     

大偶数表为两个素数之和（上）

本文用发现的W级数∑n=1^∞1／（n 1)(n-1)!和素数定理各自独立地证明大偶数表为两个素数之和是正确的。为了得到定量的结果,把它归纳为下列问题并得到解决：是否存在着一个仅依赖于2n的函数f(2n)?它能表示偶数表为两个素数之和的素数解的组数。在一维空间里,把素数定理引入奇数列发现P(G)-1/logn。P（G）作为数据处理的工具而建立一个随机抽样的数学模型,得到:P2n(1,1)=f(2n)-2nlogn/2/log2nlog^2n(2n→∞）,把素数定理π（x）拓展到二维空间：π（x,y）。利用π（x,y)建立一个均值数学模型,得到P2n(1,1)2=f(2n)2-2n/log^22n(2n→∞）,但是,对于表示偶数的素数解的组数来说,两个不同的函数f(2n)和f(2n)2的主阶的数值规律却是一致的。因此,这个殊途同归的证明表明：Goldbach猜想已被证明是一条正确的定理。     

关于有限可换群的自同态

对于Abel群G,用End G表示G之自同态集。已知结论表明,对于η、ξ∈End G,用（ξη）（x）=ξ（η（x））和（η+ξ）（x）=η（x）+ξ（x）来定义ξη和η+ξ,用1X=X和0X=0来定义1和0,则（End G,+,、,0,1）一个环。简称End G为Abel群G之自同态环。关于有限Abel群G之End G,已经有了一些结论,比如“P~n阶初等Abel群G的自同态环E（G）是具有p~（n~2）个元的有限环,它与有限域K_p上n阶全阵环同构”等。本文用初等因子定理讨论了n阶Abel群自同态的个数范围及特殊情况下这些自同态的构造并做为例题给出了Klein四元群的所有自同态。     

素数趣谈(六)

一、任何一个大于3的素数,都可以写成4n+1(如29=4×7+1)或4n+3(如31=4×7+3,n为自然数)的形式,不能写成以上两种形式的素数是没有的。形式为4n+1的素数有无穷多个,而形如4n+3的素数也有无穷多个。每一个形如4n+1的素数,都可以     

方幂和问题中的圈

以Tm（n）表示自然数n（10进制）各位数码的m次方和。显然映谢T是自然数集N上的一个二元关系，若Tm（n）=P，则由n到P的运算过程，我们称为Tm变换，经过多次T。变换后，数字的变化规律形成一个循环变化的数组，我们称这个数组为T。变换下的目。当m=1时，T1（n）=P的变换相当于求各位数码和，任意一个自然数n，反复求各位数码和，最终可得一个一位数，它就是n除以9的余数。换句话说，T1变换下共有9个圈，它们分别由1—9这9个数单独构成的。当m=2时，T2变换下仅有2个圈：（1），{37，58，89，145，42，20，4，16}。波兰史坦因豪斯著《一…     

寻找“孪生素数”

正素数是数学中一种有趣的数字,素数的定义是:对于大于2的正整数,如果除了1和它本身之外,不是任何其他数的倍数,那么该正整数就是一个素数。比如说,4不是素数,除了1和4以外,它还是2的倍数;而5则是一个素数,不能被1和5之外的其他数整除。寻找素数早在古希腊,就有了素数的概念,对素数也有了一定的研究。古希腊著名数学家欧几里得认为,如果从乘法运算的角度来看自然数,那么素数就是自然数的最小组成单元。他们不能被分解成更小的数的乘积,而所有的自然数却都可以分解成素数的乘积。面对素数,人们首先想到的问题是:作为自然数的     

等幂和与波文猜想

§1等幂和是一个古老而有趣的问题,曾吸引着许多数学家句兴趣[1]。伯努利数Bm是一个分数,今后我们所讨论的伯努利数分子、分母,都是指最简分子、分母。作者通过大量的研究,已获得了前107个等暴和、公式和前106个伯努利数及其深刻性质。[2]引理1[3]m为奇数,n为自然数,则n（n＋1）|2Sm（n）。引理2[4]p为素数的充要条件是,满足：（1）当p－1m时,;（2）当p-1|m时。引理3[5]m≥4为偶数,n≥5为奇数,则的分子;引理5[6]m为偶数,则对每个素数p均有ppBm的分母．并且当且仅当p－1|m时,p|（pBm＋1）的分子,p||Bm的分母（P||A表示P|A…     

两类有限域加法的计算机实现

用计算机高级语言C语给出了两类典型有限域GF（2^n)（n∈N）和GF（p^2)(p为素数）加法的计算机实现，其中用到了C语言中的位运算和库函数。     

中学适用的数论

你的初级中学或中学学生能进行一个合数的素因子分解吗?如果会这样做,那末你的学生可以得到两条规则:一条是求出一个自然数n≥2的因数的个数,另一条是求出一个自然数n≥2的一切因数的和.首先,让我们仔细地确定,一个自然数n≥2的素因子分解或素因子分解形式意味着什么.算术基本定理指出,每一个大于1的自然数,或者是素数,或者可把它唯一地(如果不考虑相乘的次序)写作一些素数的积,例如,2,3,5,7,11是素数,我们可写出:     

关于素数幂的一条表示定理

设q为奇素数，p为素数组P≡3（mod4），本文用完全初等的方法证明了：如果l为使q∧l可表示成二次型x∧2 py∧2，（x，y）=1的最小正整数，m为自然数，则q∧m有这种表示的充分必要条件是：l|m。     

哥德巴赫猜想是2n生素数猜想的部分形式

将自然数分为两种不同的元素s元素和h元素,再将自然数中指定区域内的素数集组成梳子,通过调整梳齿的不同位置来梳选自然数中指定区域的自然数集,从哥德巴赫猜想及2n生素数猜想各自所形成的梳子其结构具有相同的特征,从而得到哥德巴赫猜想是2n生素数是否无穷存在猜想的部分形式的结论.     

关于素数方面两个问题的探证

设连续素数P1=2 ,P2 =3 ,…… ,Pi,Pi+1,且P1｜n ,P2 ｜n ,……Pi｜n ;G′i 表示在 1、2、3……n这n个连续自然数中 ,去掉P1,P2 ……Pi这i个连续素数的倍数及除以 (除P1外 )每一个素数余同一余数的数后 ,余下数的个数 ,则G′i =n· P1- 1P1·(P2 - 2 ) (P3- 2 )… (Pi- 2 )P2 P3……Pi。由此可以进一步证明 ,任一偶数 2n(n≥ 3 2 )表示成两素数和的种数 ,L2n ≥〔 2n4 〕 ,这两个结论对解决素论方面的一些问题有重大作用。     

质数的一条性质及其应用

只有 1和它本身两个约数的自然数叫做质数(也叫素数 ) .由此定义不难得到质数的一条性质 :若P是质数 ,m、n均是正整数 (m相似文献   

一类有限特征的无限代数域

本文构造出一类特征为素数的无限域，在这个域中，每一个元素都是素域上的代数元．     

法来数列与一道研究生试题

所谓法来数列，就是给定一个自然数n，把所有分母不超过n的一切既约分数（真分数）按从小到大的顺序排列起来，就得到一个法来数列，特别地称为n阶法来数列.（上海版九年义务教育课本数学（六年级）眼研究性学习参考课题演）例如，当n＝３时，有３阶法来数列：１３，１２，２３．当n＝４时，有４阶法来数列：１４，１３，１２，２３，３４．当n＝７时，有７阶法来数列：１７，１６，１５，１４，２７，１３，２５，３７，１２，４７，３５，２３，５７，３４，４５，５６，６７．等等．这是１８１６年一位英国学者约翰·法来研究过的一个问…     

伪素数的充要条件

定义 若2~(n-1)-1≡0 (modn),且n为合数,则称n是伪素数。 伪素数的个数无限,种类无穷,它们隐藏在自然数集合之中,使得费马定理的逆命题不真。目前,人们还不能找出自然数集里所有的伪素数. 文[1]、[2]给出了两个不同类型的伪素数的表达。本文中,我们证明如下的 定理 n是伪素数的充要条件是 n为合数,且n|2~(n-1,y(n))-1. 其中φ(n)是欧拉函数,(n-1,φ(n))是n-1与φ(n)的最大公约数。 证 1.设n是伪素数,则依据定义得知2~(n-1)-1=0 (modn),且n是合数,     

有关Fermat数的两个定理

费马数问题是国际上一个未解决的著名数论问题．1640年,费马（Fermat,P．de）提出一个猜想：形如Fn=2^2n＋1（称为费马数）的数一定为素数,但他并没有给出一个完全的证明．     

关于洪斯伯格筛法的一点注记

洪斯伯格通过对杨辉三角形的巧妙编排,设计出一种筛选素数的方法。即 定理1 奇数K是素数的充分必要条件是对任意满足1≤K—2n≤n的自然数n     

解决杰波夫猜想的两种途径

本文根据素数分布理论,运用初等数论的方法,给出了n~2与(n 1)~2之间奇合数(不含n~2和(n 1)~2)个数的一个表示式:及奇合数个数的粗略估计式:p_a=1 [n/3] [n/5] …[n/p]-[n/3×5]-…十…[n/3×5×7].(其中[a]是不超过a的最大整数,p是不超过n的最大奇素数,n∈N,n≥4).证明了:r_n=N—k,k是满足2~k≤n<2~(k 1)的自然数.并猜想:1)R_a≤r_n(n≥4);2)对任意n(n≥3)个无区别的小圆圈并列一行,用不超过n的所有奇素数P,相隔p—1个小圆圈划一个小圆圈,奇素数不重复用,则按照这个规定,这一行n个小圆圈不管怎么划,至少有两个小圆圈不能被划.易验证,若这两个猜想有一定成立,则杰波夫想得到证明.