也谈1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3公式的导出

《数学教学》2004年第6期《导出公式1^3 2^3 3^3 … n^3的四种方法》一文．笔者有感于其中的第四种方法一面积法，现再介绍另外几种直观、简洁的方法．     

再谈1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3公式的导出

文[1]给出1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3公式的四种求法，文[2]就文[1]的面积法再介绍三种构造方法．笔者深受启发，现再给出几种证明方法．     

导出1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2公式的三种方法

在《数列》的教学过程中,大家都熟练掌握了前n个自然数的平方和公式．即 1^2＋2^2＋3^2＋…＋（n-1）^2＋n^2=1/6n（n＋1）（2n＋1）. 但多数学生不知道如何去证明和推导．为了能让学生了解书本知识,并有所拓展,特总结了以下几种方法．一方面解决学生的疑惑,另一方面以期学生能举一反三,有所创新．     

对平方数累加公式的探讨

记得自己当学生时，是在教科书的封面上第一次看到平方数的累加公式：1^2 2^2 3^2 … n^2=n(n 1)(2n 1)/6的，除了这个公式，封面上还画着金字塔状的“四角垛”，心里很是惊奇一这个公式的发现是多么的神奇，居然能“拼凑”出这种关系．当时自己虽然能够用数学归纳法证明这公式，但“只知其然，     

一类正负相间方幂和中因子5的指数

设n=5^am，本文给出了下面正负相间方幂和中因子5的指数公式∑k=0^2n-1(-1)^k[x dk]^r,d=5s 2。     

关于不定方程x1^3＋x2^3＋x3^3解的研究

法国数学家Fermat大约在1963年左右提出一个猜想：当整数n≥3时,不定方程x^n＋y^n=z^n,xyz≠0无整数解．历史上称为费马大定理,或费马猜想,或费马问题．费马大定理说明不定方程x1^3＋x2^3=m^3无整数解,那不定方程：     

关于“3x＋1猜想”的证明

为了证明数学难题“3x 1猜想”首先给出了大于1的奇数x进行一次“迭代对”的定义和两个不同的大于1的奇数具有相同“迭代对”序列定义,接下来给出的结论如下：1大于1的奇数x与4^t 4^t-1 …… 4^2 4 1具有相同的“迭代对”序列，记作x1→-(4^tx 4^t-1 4^t-2 …… 4^2 4 1)t∈N ；2.所有大于21的奇数可表成23 8，2，25 8n，27 8n和29 8n(n=0，1，2，…)；3.23 8n1→-29 8(4n 8),25 8n1→-29 8(4n 9)和27 8n→-129 8(4n 10)；4.每一个29 8m(m=0,1,2……)型的奇数x，总存在s∈N ,使x进行s次“迭代对”的结果一定是1，记作x1→1。     

运用组合公式求特殊级数的部分和

运用组合公式Cn^k=Cn^n-k,Cn 1^k=Cn^k Cn^k-1推导并证明了级数∑n=1^∞ n(n 1)……(n k-1）（k∈N,k≥1)的前n项部分和的一般公式；同时给出了级数∑n=1^∞ n^k(k∈N,k≥1前n项部分和的求法。     

关于Mordell方程y^2=x^3＋k

设l,l1,l2,…,ls为任意整数,n为正整数,n1,n2,…,ns为任意非负整数．用初等数论方法证明了：如果k满足k=（4l＋2）^3-Пi=1^s（4li＋1）^2ni或k=（4l＋3）^3-2^2nПi=1^s（4li＋1）^2ni,则Mordell方程y^2=x^3＋k无整数解．     

一个不等式的别证

文[1]中提出并证明了一个不等式:已知正数a,b满足a+b=1,m,n是正数满足m+n≥4,求证:(1/a^m-a^n)(1/b^m-b^n)≥(2^m+n-1/2^n)^2(1).进而提出一个加强式:已知正数a,b满足a+b=1,k是整数且k≥3,求证:(1/a-a^k)(1/b-b^k)≥(2^k+1-1/2^k)^2(2).     

关于不定方程x^2＋4^2n=y^3

利用代数数论的方法,证明了不定方程x^2＋4^2n=y^3其中n∈N,x≡1（mod2）,x,y∈Z）无整数解．     

公式Hn=lnn＋c＋ξn及其应用

本文给出公式：1 1/2 … 1/n=1nn c ∈n的证明，然后通过实例证明了公式在处理数列、极限、级数、积分等的问题中能起的重要作用。     

关于Diophantine方程χ^3＋1=3py2

设P是奇素数，证明了：当P=12r^2 1，其中r是正整数，则方程χ^3 1=3py^2无正整数解(x,y)。     

关于2^22＋n阶（3＋n）次幻方存在性的证明

本应用α→qA理论探索高次幻方问题，证明了一定存在2^22 n阶（3 n)次幻方（任意n∈N）。     

n^2与（n＋1）^2之间没有自然数的完全平方数

对于任意自然数n，n^2与（n＋1）^2之间没有自然数的完全平方数，这是一个非常明显的数学事实．在处理某些涉及完全平方数的数学竞赛试题时，这一结论有着不可低估的作用．下面以各地数学竞赛试题为例来说明．     

不易发觉的错解

一、理解性错解 例1设f(n)=1+2+3+…+n，求limn→∞f(n^2)/[f(n)]^2的值。     

关于丢番图方程I^5＋2^5＋3^5＋……＋x^5=py^2

证明了丢番图方程I^5＋2^5＋3^5＋……＋x^5=py^2在p=12k＋1且P能使u^2-6pv^2=3和s^2-6pt^2=1有正整数解时．丢番图方程I^5＋2^5＋3^5＋……＋x^5=py^2必有无穷多组正整数解（xn,yn）=（xn,xn（xn＋1）vn/2。     

关于积分∫0^＋∞ n↑∑↓k=1 Ak f（akx）／x^2 dx 的计算及应用

利用Froullani积分公式及其推广，给出了一类形如∫0^ ∞ n↑∑↓k=1 Ak f(akx)/x^2 dx的广义积分的计算公式及应用．     

如何求递推数列的通项公式

增项相减（除）法 例1 设数列{an}满足a＋3a2＋3^2a3＋…＋3^n-1an=n/3,求数列{an}的通项公式．     

一堂课后的反思

在课本上我们用数学归纳法证明了等式1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2=n（n＋1）（2n＋1）/6．然而n（n＋1）（2n＋1）/6是怎样得来的？1^3＋2^3＋…＋n^3又等于多少？下面通过几种不同的思路进行考虑．记S1（n）=1＋2＋3＋…＋n,S2（n）=1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2,S3（n）=1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3.