中位线定理与中点四边形

<正>人教版教科书数学八年级下第132页的数学活动,是研究有关中点四边形的问题.其实中点四边形就是依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形,它是什么图形?通过探究我们发现它的形状始终是个平行四边形,下面对这个结论进行证明和讨论.【例1】已知:如图1,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.     

对角线——中点四边形的锚

我们先来看教材上一道题目:题目如图1,在四边形ABC D中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点.四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?我们把四边形E FGH叫做四边形ABCD的中点四边形,从课本上知道,中点四边形EFGH是平行四边形.同学们是否思考过下列问题:1.为什么任意四边形的中点四边形都是平行四边形?2.中点四边形的周长和面积与原四边形的周长和面积有什么关系?3.中点四边形能否为特殊的平行四边形(矩形,菱形,正方形)呢?23在学习和探索中,同学们可以发现:对角线相等的四边形的中点四边形是菱形;对角线互相垂直的四边形的中点四边…     

一道面积加倍题的作图方法

一、问题的提出某村有一个如图1所示的四边形的池塘,四个角上栽有四棵桃树.现要将池塘面积扩大一倍,并且要求扩大后的池塘为平行四边形,四棵桃树在扩大后的平行四边形的边上.请你设计扩挖方案.二、问题的解决分析如图2所示,过A,C和B,D分别作两组平行线,四边形EFGH为经过A,B,C,D四点的平行四边形,它的面积是否是四边形ABCD的面积的2倍呢?图2图3为此我们过点A,B,C,D分别作四条直线AA1,BB1,CC1,DD1使AA1∥CC1∥EH,BB1∥DD1∥EF(如图3).这样就能得到以下五个平行四边形:AFBQ,BGCP,DNCH,AMDE,MNPQ.(你能说明理由吗?)因为…     

由一道几何题所想到的

如图1，已知E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点．求证：四边形EFGH为平行四边形．证明连结BD．在△ABD中，EH为△ABD的中位线四边形EFGH为平行四边形．这是一个很简单的几何命题，可叙述为任意四边形四边中点的连线构成平行四边形．这时有些同学会想到，四边形各边中点的连线能否构成菱形？这个四边形应有什么特点？我们已经证明任意四边形四边中点的连线构成平行四边形，在平行四边形的基础上增加一个怎样的条件就能成为菱形呢？根据定义，只要在平行四边形的基础上增加“邻边相等”的条件，平行四边形就成为菱形．如图2所…     

与初中同学谈数学问题的探讨过程(一)

解完“顺次连结平行四边形各边中点,所得到的四边形,还是平行四边形。”(如图1,E、F、G、H分别是◇ABCD的各边中点)后,联想到在小学就画过“顺次连结正方形各边中点,得出来的图形还是正方形”的图(如图2),不禁产生一个问题:既然当四边形ABCD是斜平行四边形时,四边形EFGH也是斜平行四边形;当ABCD是正方形时,EFGH也是正方形;那么,当ABCD是某种四边形时,EFGH是否也是同种的四边形?     

一图多变 通向中考

<正>北师大版教材八年级上册111页第3题如下:如图1,在长方形ABCD中,E,F,G,H分别是它四条边上的中点,那么四边形EFGH是什么特殊的四边形?你是如何判断的?GDHFEBAC图1%此道课本题蕴含着一个基本图形:多边形的内部包含着一个多边形.从而可命制一大类试题:证明内部多边形的特殊性.从这点出发,本文通过该题的变式命制题目,通向中考.一图多变:基于原题的变式     

四边形的三种图形变换

利用轴对称、平移和旋转的性质能解决中考中常见的四边形的计算和证明问题．下面举例说明图形变换的性质在特殊四边形中的应用． 一、图形的平移 例1（2007年郴州市中考题）如图1，将矩形ABCD沿对角线Ac平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与c重合时停止移动．     

巧用三角形中位线定理解题

掌握三角形中位线定理是理解三角形中位线概念的关键。利用这一定理,可巧妙地解决许多有关四边形的问题,现举例如下: 1.顺次连接四边形各边的中点,所得的四边形是平行四边形。如图:在四边形ABCD中,E、F、G、H为各边中点。要证四边形EFGH为四边形,则可连接AC,利用三角形中位线定理,证得HG∥EF。故四边形EFGH为平行四边形。     

一道习题的探究

义务教育课程标准实验教科书 (北师大版 )九年制 (上册 )第三章证明 (三 )的第一节平行四边形 ,有这样一道做一做试题 :任意作一个四边形 ,并将其四边的中点依次连接起来 ,得到一个新的四边形 ,这个新四边形的形状有什么特征 ?要解答这道题并不困难 ,只要连接一条对角线 ,用三角形中位线定理就可知这个新四边形是平行四边形。如果把这个问题再探究下去可提出这样一个问题 :将四边形的四边中点依次连接起来 ,所得新四边形的形状与哪些因素有关 ?我们从特殊四边形出发进行探究。比如 :( 1 )将矩形的四边中点依次连接起来 ,所得新四边形是菱形 …     

关于一个几何不等式的探索

问题 :“若 P、Q是△ ABC内的两点 ,则 AB+AC >BP +PQ +QC.”(《数学教学通讯》中学生版 ,初二卷 ,2 0 0 1年 3 ,4合刊 :“谈三角形中边角不等关系的应用”)这个几何不等式不能成立 .本文将对该不等式成立的条件作一些探索 .在其他资料上我们见到的该题是 :如图 1,已知 P、Q是△ ABC内的两点 ,则 AB +AC >BP +PQ +QC.显然从图中我们可以看到 ,该不等式成立的一个重要条件是 :四边形 BPQC为凸四边形 .那么 ,当四边形 BPQC为凹四边形时 ,该不等式是否成立呢 ?图 1图 2如图 2 ,已知 P、Q是△ ABC内的两点 ,且四边形 BPQC为…     

两道试题解题思路的探究过程

题目1 如图1,正方形ABCD中有内接四边形EFGH,其中∠BEG、∠AHF均为锐角,EG=3,FH=4,四边形EFGH的面积为5,求正方形ABCD的面积． 分析若从已知条件EG=3,FH=4出发,将EG进行平移（如图1FK）,使EG与FH位于同一个三角形FHK中（集中条件）,但发现点G不一定在HK上,四边形EFGH的面积不易应用,思路受阻!     

变“任意”为“特殊”

例1 任意四边形ABCD(如图1),E、F、G、H为各边中点,那么四边形ABCD的面积是四边形EFGH面积的几倍?     

数学奥林匹克问题

初93.如图,已知四边形ABCD,把各边四等分,连结对边相应的点交成四边形EFGH。证明: S_(四边形EFGH)=1/4S_(四边形ABCD)。 (单笔 天津师范大学数学系,300074) 初94.有甲、乙两名军官及2000名士兵,为执行任务,每名军官要从这2000名士兵中挑选若干名士兵组成一支部队,两名军官必须轮流挑选。如果某个军官轮到挑选最     

关联平面内四个点的一个恒等式及其空间类比

<正>1圆内接四边形中的一个恒等式在文献[1]中我们将杨学枝老师在文献[2]中得到的关于圆内接四边形的一个恒等式变形为如下等价形式:定理1^[1]如图1,凸四边形ABCD有外接圆, P为空间中任意一点,则:|PA|²S_?BCD+|PC|²S_?ABD=|PB|²S_?ACD+|PD|²S_?ABC.文献[1]中的证明依赖于用行列式表述的四点共圆的充要条件.本文中我们给出这个行列式的几何意义,由此可以得到关联平面内四个点的一个恒等式,这个恒等式给出了定理1的一个推广.     

一道例题结论的探索

九年义务教材初中《几何》第二册第179页有这样一道例题：求证：顺次连结四边形四条边的电发,所得的四边形是平行四边形．已知：如日1,在四边形ABCD中,E、F、C、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．证明连结AC．AH＝HD,CC＝CD,HC／／＊c．HC一七＊C‘“一’““一2““一（三角形中位线定理）．同理EF／／AC,EF＝HAC．HC／／EF．所以四边形EFCH是平行四边形．这个命题可以用语言叙述为：任意四边形四边中点的连线构成平行四边形．我们分析这个例题的证明过程,会发现我们作的辅助线（…     

中点四边形再探

我们知道，顺次连接四边形各边的中点所得的四边形（简称中点四边形）是平行四边形．如图1．在四边形ABCD中，E，F，G，日分另U是AB，BC，CD，DA的中点，四边形EFGH是平行四边形．     

莫道昆明池水浅

第十七届(1983年)前苏联数学奥林匹克八年级第8题为:如图,带斜线的四个三角形的面积相等,求证:图中不带斜线的三个四边形的面积也相等.如果一个三角形的面积等于1CM2,那末,一个四边形的面积等于多少?这道洋溢着清新、简洁之美的好题,乍看起来不会太难,但着手解决这个问题时,我们很快就发现,恰是问题的“简单之美”给我们造成很大障碍,似乎可用的条件太少.再对问题做一番分析,条件与所欲求的仅仅是给定构形中四个三角形与三个四边形的面积.决定四边形与三角形面积之间的比例关系是什么呢?显然,点D、E、F分别在BC、CA、AB上的位置,即分相…     

中点四边形的再探索

探索:1.当四边形对角线互相垂直时,中点四边形为矩形;例1如图1,F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使EFGH为矩形,四边形ABCD应该具备的条     

例析中考中的“基本形”问题

<正>近年来以问题串呈现的几何试题出现在各地的中考中,此类问题常设有三问, 在问题的设计上由易到难,层层递进.我们可以把这一类问题的第一问看成"基本形",利用这个"基本形"往往能快捷地解决后面的两问.下面摘取几例加以说明,供参考.例1 (2020年宿迁中考题)感知 (1)如图1,在四边形ABCD中,∠C=∠D=90°,点E在边CD上,∠AEB=90°,求证:探究 (2)如图2,在四边形ABCD中,∠C=∠ADC=90°,     

例析一次函数图象截出的等腰三角形问题

<正>当一次函数图象与坐标轴围成的三角形是一个等腰直角三角形时,这个特殊的三角形能给我们解题带来许多的精彩.例1如图1,直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B两点,点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外),过点M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于点D.(1)当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化?并说明理由;(2)当点M运动到什么位置时,四边形