△=b~2-4ac的应用导学

△=b~2-4ac是一元二次方程ax~3 bx c=0的根的判别式,利用它可以不解方程,直接判别方程根的情况。实际上,在解题中,△=b~2-4ac的用途是相当广泛的。 1.△=b~2-4ac在“四个二次”问题中的应用 例1 已知方程(1)x~2-2kx k~2 k=O,(2)x~2-(4k 1)x 4k~2 k=0,(3)4x~2-(12k 4)x 9k~2 8k 12=0中至少有一个方程有实根,求k的取值范围。 分析 结论中“至少有一个方程有实根”的含义为:可能有一个方程有实根;可能有两个方程有实根;可能有三个方程有实根。 从分析看出,此题要用△≥0来解决。但情况复杂,解题繁琐,难以直接证明。因此,     

巧用判别式Δ=b~2-4ac解物理计算题

初中物理有一类计算题,同学们解答起来觉得很棘手,甚至束手无策。但这类题如果巧用根的判别例1式Δ=b2-4ac,问题就能迎刃而解。如图1所示,电源电压U=12V不变,滑动变阻器的最大阻值为12Ω,灯泡L标有“6V6W”字样,求变阻器消耗的最大功率是多少?解灯泡L的阻值为RL=UP2=(66VW)2=6Ω。P=I2Rx=(RL URx)2Rx。式中有P、Rx两个未知数,一般方法不易求解,而若用根的判别式则容易求解。若将P=(RLU Rx)2Rx展开,则得关于Rx和一元二次方程为:PRx (2PRL-U2)Rx PR2L=0。因为Px有实数根,所以Δ≥0,即(2PRl-U2)2-4P2R2L≥0。4PRL≤U2。所…     

判别式Δ=b~2-4ac在物理解题中的应用

在解决物理问题时,经常要用到一元二次方程,通过它把已知量和未知量联系起来,再对方程求解,得出所要求的物理量。然而对于许多问题,可认不必求解方程,而用其判别式Δ=b~2-4ac就可解决。因此判别式Δ=b~2-4ac在物理解题中常常有着重要的应用,现举例如下:     

用“△=b~2-4ac”巧解物理题（高一、高二）

如果物理量之间存在形如:y=ax2+bx+c的关系,则可用二次方程根的判别式△=b2-4ac进行处理,使这类问题的解决变得简洁.     

浅谈“a±b=c”型题的证法

证明两条线段的和(差可以转化成和)等于另一条线段,是课本和许多资料中常常遇到的一种题型,这类题型也是同学们感觉特别头痛的.下面.谈谈“一分为二”和“合二为一”两种证法在解有关题目中的应用.一、一分为二法1.如果长线段是由两条线段组成,那么可以证明这两条线段与欲证结论所含的两条短线段分别相等(c=d e,d=a,e=b,则c=n b). 2.如果长线段不是由两条线段组成.那么把长线段分成两条线段,证明分成的两条线段分别和两条短线段相等.分长线段的方法是:①在     

从“a~2 b~2=c~2”引出的德育思考

如何从数学学科的教学内容出发,对学生有机地进行思想品德教育,是我们每一个数学教师应当认真思考的问题,也是中学数学教学大纲所要求完成的教学任务.数学,作为一门严谨的自然学科,其本身蕴含着丰富的辩证唯物主义哲学思想,又是古今中外、源远流长的辉煌历史.通过数学的教与学,可以培养学生刻钻研的精神,顽强拚搏的毅力,锲而不舍的个性品质;还能训练学生抽象的逻辑思     

“△=b~2-4ac”的一个妙用简

关于二次函数的最值的求法,苏科版《数学》九年级（下册）有这样一段描述：     

一道竞赛题的证法改进和结论推广

在解析几何竞赛题中,经常出现有关定点的问题.近日,笔者在做一道这类型的竞赛题时,将其过程做了改进,将其结论进行了推广,发现了有趣的结论,现与大家分享.原题:已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0),其长轴为 A_1A,P是椭圆上不同于点 A_1、A 的一个动点,直线 PA、PA_1分别与同一条准线 l 交于 M、M_1两点.试证明:以线段 MM_1为直径的圆必过椭圆外的一个定点.(2005年全国高中数学联赛天津赛     

一道竞赛题的证法改进和结论推广

在解析几何竞赛题中,经常出现有关定点的问题．近日,笔者在做一道这类型的竞赛题时,将其过程做了改进,将其结论进行了推广,发现了有趣的结论,现与大家分享．     

“a~2/b~2=c/d”型几何题的一种证法

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b~2-4ac≥0的应用(初三)

提起“b2-4ac”,同学们立即会想到它与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有着密切关系.但笔者通过对近几年国内外数学竞赛题的研究发现它在一元二次方程以外也有应用.首先提出:命题当a+b+c=0时,则有b2-4ac≥0,即b2≥4ac.证明由a+b+c=0得b=-(a+c),所以b2-4ac=[-(a+c)]2-4ac     

a~2+b~2=0a=b=0

“a２＋b２＝０a＝b＝０”这一符号语言翻译成自然语言为“实数a，b的平方和等于零与a＝０和b＝０等价”，也就是说“如果a＝０且b＝０，则a２＋b２＝０；反过来，如果a２＋b２＝０则a＝０且b＝０”．如果a＝０且b＝０，则a２＋b２＝０＋０＝０显然成立．反过来，如果a２＋b２＝０，如何证a＝０且b＝０呢？那就不是很容易了．a、b与零的关系，有下列四种情况：１°a＝０且b＝０；２°a＝０而b≠０；３°a≠０而b＝０；４°a≠０且b≠０．要证明a＝０且b＝０成立，那就得推翻２°、３°、４°都不成立．２°、３°、４°可用一句话概括，即a…     

“△=b^2-4ac”的别用

我们知道，△=b^2-4ac是一元二次方程ax^2 bx c=0(a≠0)的根的判别式，根据△的大小可以判别方程根的个数．事实上，“△”还有其它特殊的用途，试举几例加以说明．     

应用代换法证明等积式b^2=ac

对于三条线段a、b、c在同一条直线上的等积式b^2=ac的证明．常常因为找不到平行线或相似三角形而使思路中断，这时候若能适当运用代换法，可使愚路延续，问题迎刃而解．     

例谈“a~2+b~2=0”在解题中的应用

若a、b为实数,且彭十夕一o,则a一O且b一。.在解题中若能充分利用这一结果,将会使一些看似无从下手的问题迎刃而解.请看以下例题. 例1已知实数x、y满足尹+少一Zx十4y+5一0.求x、y的值. 分析一个方程,求两个未知数,似乎无法求出.但将条件中的5拆成1+4,通过分组结合,可变形为矿+夕一。的形式,即可分别求出x、y的值. 解将原式变形为 (xZ一Zx十1)+(犷+4y+4)一O, 即(x一1)2+(少+2)2=o, :。x一1一O且y+2一O, 解之得x一1,y-一2. 例2如果实数x、y满足等式:Zx+扩+才犷+2一一Zxy,那么x+y的值是(). (A)一1(B)0(C)1(D)2 (1993年全国“希望杯”数学…     

由不等式“a~5 b~5≥a~3b~2 a~2b~3”产生的联想

高中代数教材中有这样一个例题: 已知:a、b任R十,求证: a, b‘》a,西2 aZb,①此不等式具有结构对称、各项次数相等的特点,这就容易使人产生改变等式两边次数的联想: 若a、b任R ,l,n任N,且l镇n,不等式a” b”)a”一‘b‘ a‘白”一‘②能成立吗? 和不等式①一样,运用比较法易证不等式②成立。读者不妨一试. 进一步,如果改变不等式①两边的项数,我们还可以得到这样两个不等式: 如果a、b、c任R ,那么as bs cs》a 3 bc a乙3c abc3③a” b” c”夕a,b“cr arb,e“ a“b?‘,④其中P、夕、:任N,且P 口 :=。. 对于不等式③,只要运用不等式①即能…     

一类条件为abc=1型不等式的证法探究

<正>在《数学通讯》(上半月刊)的问题征解,《中等数学》数学奥林匹克问题,《数学教学》问题与解答以及各级数学竞赛试题中,经常出现abc=1条件的三元不等式证明试题,笔者对含有"abc=1"的条件不等式的证明进行了深入的探究,总结出五种证明不等式的方法.1运用公式直接证明例1(《数学通讯》学生刊问题287)已知正