再探“根的判别式”的应用

<正>一元二次方程中,判别式可以用来判断相应一元二次方程实数根的个数情况;二次函数中,判别式可用来判断相应二次函数图象与直线交点的个数情况．下面我们列举判别式的应用．1.由方程根的情况求待定系数取值范围例1若关于x的方程kx²-3x-9/4=0有实数根,则实数k的取值范围是()(A)k=0(B)k≥-1且k≠0(C)k≥-1 (D)k>-1     

慎用一元二次方程判别式解题两例

在解析几何中,直线与曲线,曲线与曲线的交点个数问题,可转化为它们的方程联立的方程组实数解的个数问题,最终用一元二次方程的判别式来判断方程解的情况,但稍有不慎就会得到错误结论.     

直线和双曲线的一次“完美邂逅”

有关直线和双曲线的交点问题一直是中考的热点,探究一次函数和反比例函数的交点,是学生在学习反比例函数中常见的问题,常规的思路是将两个函数联立得到一元二次方程,根据所得方程根的判别式来判断交点的个数,举例说明:提出问题已知一次函数y=-x+8与反比例函数y=k/x(k>0)有交点,求k的取值范围.     

你会“一分为二”吗?

代数中 ,对于一个方程f(x) =g(x)的解的个数问题可用两条曲线 y1 =f(x)与 y2= g(x)的交点个数来判断 .我们不妨将此法称之为“一分为二” ,它是我们处理此类问题的一个很好的方法 .但如何使用这种方法 ,以及在使用过程中应注意哪些问题 ,却经常困扰着同学们 .在此笔者愿跟大家谈谈对这个问题的看法与认识 .一、哪些问题适合“一分为二”1 方程解的个数的判定与讨论例 1　方程log2 (x+ 4) =3 x 的实数解的个数是 (　　 )(A) 0　　 (B) 1　　 (C) 2　　 (D) 3解　令 y1 =log2 (x + 4) ,y2 =3 x.作出函数y1 与y2的图象 (如图 1) .由图 1可知 …     

一类圆锥曲线交点问题的常用解法

一类圆锥曲线交点问题的常用解法贵州省贵阳市汇文中学杨宝剑求两条曲线的交点．就是求这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解．这类问题的难点在于方程含参数时判断交点的个数和有交点的条件．对直线和圆锥曲线来说，直接利用方程组消元后所得一元二次方程根的判别式即...     

巧用数形结合解选择题

常见的数学选择题一般属单选题。其中有些可以借助函数图象、几何图形或相关示意图,通过观察、分析排除干扰支,无需直接计算,就可以准确迅速地作出判断。这种方法称数形结合法。对这类选择题,学生往往不注意观察其特点,仍采用大量计算,结果事倍功半。数形结合法适用于与下列内容有关的选择题。一、判断方程的实数根的个数或参数的取值范围。将方程两端整理后化为两个函数,观察它们图象交点个数,或通过已知的交点个数确定两曲线的     

中考数学试题中的存在性问题

综观近年来全国各省市中考数学试题 ,不难发现 ,为了培养学生的探索精神和创新能力 ,出现了一类存在性问题的试题 .这类试题在命题中常以适合某种性质的结论“存在”及“是否存在”等形式出现 .常见的有肯定型和讨论型两类 .　　 1 .肯定型这类问题就是有适合某种已知条件或符合某种性质的对象 .解答这类问题 ,无论用什么方法 ,只需找出一个 ,问题就解决了 .例 1　已知二次函数y =x2 -2 (m - 1 )x +m2 - 2m - 3,其中m为实数 .(1 )求证 :不论m取何实数 ,这个二次函数的图像与x轴必有两个交点 ;(2 )设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0 )…     

高中数学联赛模拟试题

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 对于一切实数x ,当实数a、b、c(a≠ 0 ,且a 相似文献   

应用对称性解题例说

一利用已知对称关系及其结论化繁为简例1 已知两曲线 y=kx 1和 x~2 y~2 kx-y-4=0的两个交点关于直线 y=x 对称,求两交点坐标.解:因两曲线的两交点关于直线 y=x 对称,则直线y=kx 1和直线 y=x 垂直.故 k=-1.解方程组(?)得两曲线交点为(2,-1)和(-1,2).     

利用等价转化思想判断三角形解的个数——关于“解三角形的进一步讨论”的再思考

文[1]读后受益匪浅,其实判断三角形解的个数问题,我们可以利用正弦定理,将问题等价地转化成三角函数图像与直线的交点个数来解.在三角形ABC中,已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知边a和角A,试问边b为何值时,三角形有二解、一解、无解?     

二次函数与直线交点个数探究

二次函数与直线是高中数学中的两个基本的函数或两条常用的曲线,现讨论其交点情况如下:设函数f(x)=ax2+bx+c,函数g(x)=kx+m且a、b、c、k、m∈R,讨论函数f(x)与g(x)交点的个数以及a、b、c、k、m取值情况.     

不同的代数变换导致不同的数形结合

解析几何中，常将方程解的个数问题分解为两个函数的交点问题，即方程人工）一y（x）的解的个数可用C；：x一f（x）与C。：x一g（X）的交点个数来判别．前者属代数范畴，而后者属几何范畴．在解决交点个数时，对特殊情况的值（临界值）又需经过计算，故两曲线交点问题的解决方法常被称为数形结合法．由于方程可变形，如将f（X）一S（X）变为人（X）二目（X），故不同的代数变换可导致不同的数形结合法．因此，对方程的合理变形，是决定数形结合难易程度的一个重要因素．以下通过举例加以说明．例已知抛物线y—－x‘＋mx－l，点A（3，0）…     

由曲线间位置关系求参数的几种方法

已知曲线间的位置关系,求曲线方程中参数满足的条件.这类习题在平面解析几何中常常遇到.现在就这类习题的解法,作以探讨. 如果已知曲线C_1:F(x,y,a)=0和曲线C_2:G(x,y)=0(其中a为参数),那么C_1和C_2的交点问题,归结为方程组F(x,y,a)=0 G(x,y)=0 有无实数解问题。利用方程组同解原理,得到与之同解的方程组{φ(x,a)=0 G(x,y)=0 (或者g(y,a)=0 G(x,y)=0). 这样一来,问题就转化为由φ(x,a)=0满足的条件,求参数a的问题.     

关注反比例函数存在性问题

反比例函数存在性问题在近几年中考中屡见不鲜.这类问题以反比例函数图象为背景,要求我们判断是否存在符合要求的点或实数.解题思路是先假设存在符合要求的点或实数,然后进行计算或推理,肯定或否定.例1(2015年广东省中考题)如图,反比例函数y=k/x(k≠0,x>0)的图象与直线y=3x相交于点C,过直线上点A(1,3)作AB⊥x轴于点B,交反     

根的判别式的应用

一元二次方程ax2 +bx +c =0(a≠0)根的判别式是b2-4ac,通常用符号"△"来表示.当△＞0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△＜0时,方程没有实数根;反之也成立.判别式不仅用来判断一元二次方程根的情况,也可以解决其他数学问题.一、求字母的值 例1 (2012年广州卷)已知关于x的一元二次方程x2-2√3x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为____. 解:∵方程x2-2√3x+k=0有两个相等的实数根,∴△=(-2√3)2-4k=0. ∴12-4k=0,解得k=3.故填3. 温馨小提示:这是判别式的典型应用.我们要熟记判别式值的正负与根的个数之间的关系.     

谈谈过两条曲线交点的曲线方程

在平面解析几何中,我们经常遇到过两条曲线交点的曲线方程的问题。它有什么特征呢?现叙证如下: 性质1 若曲线l_1:f_1(x,y)=0与l_2:f_2(x,y)=0有交点为P_0(x_0,y_0),则曲线l_3:f_1(x,y)+λf_2(x,y)=0也经过交点P_0(x_0,y_0)其中λ为一切实数。     

利用数形结合的方法求方程中参数的取值范围

<正>已知一元二次方程解的情况,我们可以利用根的判别式求方程中参数的取值范围.而在学习了二次函数的图象和性质后,我们更习惯采用数形结合的方法来解决问题.下面通过一例说明和比较这两种方法的运用.例题二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),(a,b,c为常数)的图象如图1所示.(1)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(2)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个相等的实数根,求k的值;(3)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)没有实数根,求k的取值范围.     

例析曲线相交条件

利用方程讨论两曲线位置关系时,不少学生认为△≥0,两曲线有交点.这是一种不正确观点,例如:题:如果动圆(x-k)~2 y~2=16(k为常数)与椭圆4x~2 9y~2=36有交点,求k的取值范围.     

圆锥曲线焦点弦一个性质的探源与推广

文［1］给出了圆锥曲线的一个统一性质：已知 A ,B是圆锥曲线C上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,点P是C的准线与x轴的交点,直线PB交C于另一点E ,则直线AE恒过曲线C（与准线相对应的）焦点 F 。文［2］证明了该性质的逆命题：已知AB是圆锥曲线C的过焦点F且斜率为k的任意一条弦,点E是点A关于x轴的对称点,则直线BE恒过曲线的（与焦点 F相对应的）准线与x轴的交点。问题是为什么BE过定点？ F与P有何联系？它有什么样的几何背景？能不能推广？借助几何画板,我们开始了探索之旅。     

2006年全国初中数学联赛

第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.已知四边形ABCD为任意凸四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长;S1、p1分别表示四边形EFGH的面积和周长.设k=SS1,k1=pp1.则下面关于k、k1的说法中,正确的是().(A)k、k1均为常值(B)k为常值,k1不为常值(C)k不为常值,k1为常值(D)k、k1均不为常值2.已知m为实数,且sinα、cosα是关于x的方程3x2-mx+1=0的两根.则sin4α+cos4α的值为().(A)29(B)13(C)79(D)13.关于x的方程xx-21=a仅有两个不同的实根.则实数a的取值范围是().(A)a>0(B)a≥4(C)2<…