反函数中的两个重要恒等式及其应用

在反函数这一章节的教学中，笔者发现以下两个恒等式在解题中应用广泛。     

反函数恒等式的成立条件及其应用

f[f~(-1)(x)]=?,f~(-1)[f(x)]=?,f[f~(-1)(x)]=f~(-1)[f(x)]成立吗?在学习了反函数知识以后,常有学生提出这类问题,下面我们来探讨一下这几个有趣而重要的式子。从课本上可知,如果函数f(x)的定义域是A,值域是B,那么反函数,f~(-1)(x)的定义域是B,值域是A。     

一个条件恒等式的应用

若a+b+c二0,则减 a3+占3+。3=3a阮(,) (‘)式的证明很简单.下面举例说明(二)式的神奇作用,或许对你有所启发. 了一、分解因式 例1分解因式:(xZ一3x+2)3+(尸-sx+6)3一8(xZ一4x+4)3. 解因(xZ一3x+2)+(xZ一sx+6)一2(xZ一4x+4)=0. 直接运用(二)式得: 原式=一6(xz一3x+2)(xz一sx+6)(xz一4x十4) =一6(x一1)(x一2)(x一2)(x一3)(x一2)2 =一6(x一1)(工一3)(x一2)4. 二、求值 例2已知3(a一6)+乃(6一。)+。一。=0(a笋b),求(a一占)2的值.解由已知得3(a一占)+招(占一。)+(。一a)=0,①(a一b)十(b一。)+《c一a)声0.②刀之n二二二6琳十儿二5mn 或2,3;一一…     

反函数存在条件之管窥

反函数是研究两个函数相互关系的一项重要内容,学生掌握了反函数的知识,有助于进一步了解函数的概念,获得比较系统的函数知识,并为以后学习互为反函数的指数函数和对数函数以及三角函数与反三角函数奠定基础.反函数概念是中学教材中的难点,许多同学在学习中也存在许多困惑,为此     

一个条件恒等式引发的多方位探索

在高中代数中有下面一个条件恒等式:若ab=1(a≠-1,b≠-1),则有(1)/(1+a)+(1)/(1+b)=1成立,其逆亦真,于是有如下一些定理: 定理1 设a≠-1,b≠-1,则(1)/(1+a)+(1)/(1+b)=1成立的充要条件是ab=1(证明较易,故从略).     

一个重要的恒等式及其应用

完全平方公式（a＋b）^2=a^2＋2ab＋b^2、（a-b）^2=a^2-2ab＋b^2的两边相减得 ab=1/4[（a＋b）^2-（a-b）^2]…… 这是一个极其重要的恒等式，它能使我们更便捷地解答一些题目，请看下面的例子．[第一段]     

反函数理解和应用

有关反函数高中教材是这样定义的：一般地函数y=f（x）（x∈A）中,设它的值域为C。我们根据这个函数中x、y的关系,用y把x表示出来,得到x=Φ（y）,如果对于y在C中的任何一个值,通过x=Φ（y）,x在A中有唯一的值和它对应,那么x=Φ（y）就表示y是自变量,x是自变量y的函数。这样的函数x=Φ（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）的反函数,记作x=f^-1（y）。     

三谈牛顿恒等式及其应用

本文在文「１」，「２」的基础，对牛顿恒等式进行了推广，并探讨了该恒等式在习题编拟方面的应用。     

一个恒等式的应用

(x21 y21)(x22 y22)=(x1x2 u1u2)2 (x1u2-x2y1)2--这是一个常见的恒等式,我们不少人却对它熟视无睹,更谈不上应用它来解题了.本文举例说明它在解析几何中的应用.     

两个代数恒等式及其应用举例

两个代数恒等式:①ab+a+b+1=(a+1)(b+1);②ab-a-b+1=(a-1)(b-1).利用这两个恒等式,可以解决一些与整数有关的问题.以下通过举例加以说明. [例1]已知方程x2+ax+1-b=0的两根是正整数,求证:a2+b2是合数. 证明:设方程x2+ax+1-b=0的两根为x1、x2,则x1+x2=-a,x1x2=1-b. ∴a=-(x1+x2),b=1-x1x2. ∴a2+b2=(x1+x2)2+(1-x1x2)2=x21x22+x21+x22+1=(x21+1)(x22+1). ∵x1、x2都是正整数,∴x21+1与x22+1都是大于1的正整数.     

试谈具有代数条件的恒等式证明

对复杂一点的具有代数条件的恒等式证明，同学们往往感到比较难．技巧性强，不易想到．     

反函数性质在解高考解中的应用

反函数是函数问题的一个重要方面，深刻理解反函数的概念及性质。有助于对函数本质的理解与掌握．本文旨在由反函数的概念给出反函数的几个引申性质，谈谈反函数性质在解高考题中的应用，供同学们学习时参考．     

三角函数恒等式新发现及其应用

定理 1　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓ2 αｓｉｎ( β γ)ｓｉｎ( β-γ) ｃｏｓ2 βｓｉｎ(γ α)ｓｉｎ(γ -α) ｃｏｓ2 γｓｉｎ(α β)ｓｉｎ(α - β) =0 . ( 1)　　定理 2　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｓｉｎ2 αｓｉｎ( β γ)ｓｉｎ( β -γ) ｓｉｎ2 βｓｉｎ(γ α)ｓｉｎ(γ-α) ｓｉｎ2 γｓｉｎ(α β)ｓｉｎ(α- β) =0 ( 2 )　　证明　沿用文〔1〕、〔2〕的方法 ,构造二元一次方程组ｘｃｏｓ2 α ｙｃｏｓ2 β =ｃｏｓ2 γ , (ａ)ｘｓｉｎ2 α ｙｓｉｎ2 β =ｓｉｎ2 γ . (ｂ)由 (ａ)、(ｂ)两式可得ｘｓｉｎ( β α)ｓ…     

两个新的三角函数恒等式及其应用

定理　设α、β、γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓαｓｉｎ ( β -γ) ｃｏｓβｓｉｎ (γ -α) ｃｏｓγｓｉｎ (α - β) =0 . ( 1)ｓｉｎαｓｉｎ ( β -γ) ｓｉｎβｓｉｎ (γ -α) ｓｉｎγｓｉｎ (α - β) =0 . ( 2 )证明　构造二元一次方程组ｘｃｏｓα ｙｃｏｓβ =ｃｏｓγ ,(ａ)ｘｓｉｎα ｙｓｉｎβ =ｓｉｎγ . (ｂ)由 (ａ)、 (ｂ)两式可得ｘｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎ(γ - β) ,(ｃ)ｙｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎ(α -γ) . (ｄ)　　将 (ａ)式两边同乘ｓｉｎ (α - β)后 ,再将(ｃ)、 (ｄ)两式代入即得 ( 1) .将 (ｂ)式两边同乘ｓｉｎ (…     

关于反函数问题的讨论

反函数及其性质问题在数学应用中十分关键,是解题过程的灵魂,同时,也是我们学习中不可或缺的知识结构．本文通过对反函数的概念、性质的初步探讨,以及对反函数求解过程及其意义的介绍,从而利用反函数解答一些实际问题,可以让问题简化,让解题过程精确明了．     

关于反函数的几个疑点解析

疑点1：f[f^-1（x）]=f^-1[f（X）]恒成立吗？     

初等数学中反函数教学的几点体会

本着重于解决在反函数教学中几个重点、难点问题，帮助学生更好地学习、掌握。     

例谈两个数列恒等式的应用

我们熟知两个数列恒等式1．α_1 (α_2-α_1) (α_3-α_2) … (α_n-α_(n-1))=α_n．2．α_1·α_2/α_1·α_3、α_2……α_n、α_(n-1)=α_n(α_n≠0)．笔者在教学中发现这两个恒等式在求数列通项及数列恒等式与不等式的证明中有着不可低估的作用．下面举例说明上述恒等式的应用．     

反函数的概念、性质和应用

一、关于反函数的概念 1．反函数的存在条件 反函数的定义中要求，从y=f(x)中解出x=φ(y)后，“对于y在C(函数f(x)的值域)中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A(函数f(x)的定义域)中都有唯一确定的值和它对应”．否则将没有反函数．例如，由y=x^2解出x=&;#177;√y后，对于y的每一个可取值，x有两个值与它对应，这就不是函数了．由于y=x^2不满足定义要求的条件，故没有反函数．可见并不是任何一个函数都有反函数．     

反函数的问题解析

反函数是中学数学的一个重要内容，是学生学习中的一个难点，也是高考命题的热点．主要涉及到反函数的求法与性质的应用，现分析如下：