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贵刊2000年第11期第34页介绍了函数y(ac<0)值域的一种三角换元求法.但笔者认为,过程不简,运算量大,可改进为如下三角换元. 容易证明:若0≤x≤π/2,则 (1)当0<θ≤π/4时,sinθ≤sin(x+θ)≤1; (2)当π/4<θ<π/2时,cosθ≤sin(x+θ)≤1. 例1 求函数的值域. 解:所给函数化为 相似文献
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定理二次函数y=ax2+bx+c的值域是[0,+∞)的充要条件是a>0且b2-4ac=0. 证明因为y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+4ac-b2/4a,x∈R,所以二次函数y=ax2+bx+c的值域是[0,+∞)←→y的最小值是0,无最大值←→a>0且b2-4ac=0. 相似文献
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在函数中,我们常常会遇到求无理函数y=px +a±m((ax2+bx+c)~(1/2))的值域问题.本文通过一道例题探究这类函数值域的几种求法.例题求函数y=x+((x2-3x+2)(1/2))的值域. (2001年全国联赛试题) 方法1方程法函数值域就是使关于x的方程y=f(x)有解时 y值的集合. 相似文献
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1 把值域当有界例 1 求证 :y=x2 - x 1x2 x 1的值域为[1/3,3].错证 因 (x2 - x 1x2 x 1- 13) (x2 - x 1x2 x 1-3) =(2 x2 - 4 x 2 ) (- 2 x2 - 4 x- 2 )(x2 x 1) 2 =-4 ( x-1) 2 ( x 1) 2( x2 x 1) 2 ≤ 0 ,所以 13≤x2 - x 1x2 x 1≤3(x∈R) ,即 y=x2 - x 1x2 x 1的值域为 [13,3].分析 上面证明显然是把值域当成了 y值有界 ,而并未证明 [1/3,3]是 y的值域 .因为作为值域 ,y值必须具备下面 2点 :(1) y∈[1/3,3];(2 ) y值充满区间 [1/3,3].下面证明 y=x2 - x 1x2 x 1函数值充满 [13,3]: y0 ∈ [13,3],将函数式变形 ,(y0 - 1) x2… 相似文献
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函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.函数值域依解析式的特点分(1)常见函数值域;(2)简单的复合函数的值域;(3)由常见函数作某些"运算"而得函数的值域.一、直接法利用常见函数的值域来求(1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R,值域为R(2)反比例函数y=k/x(k≠0)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0};(3)二次函f(x)=ax~2+bx+c(a≠0)的定义域为R,当a>0时,值域为{y|y≥4ac-b~2/4a}; 相似文献
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在讨论求函数的值域时 ,有些书上介绍了一种方法 ,即所谓的“反函数法” .例如 [1]介绍“反函数法”如下 :如果函数 f(x)存在反函数x =f-1(y) ,则x =f-1(y)的定义域就是函数 y=f(x)的值域 .例 1 求函数 y=1(1-x) (1- 2x) 的值域 .解 由函数 y =1(1-x) (1- 2x) ,解得x =3y± y2 +8y4 y .其定义域由 y2 +8y≥ 0 ,且 y≠ 0确定 ,所以 ,y=1(1-x) (1- 2x) 的值域是……我们认为 ,“反函数法”作为一种求函数值域的方法是不成立的 .从映射的观点看 ,一个函数包含三个要素 :数集A、B ,以及从A到B的对应法则 f :… 相似文献
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张克良 《河北理科教学研究》2003,(1)
对于形如y=ax2+bx+c/dx2+ex+f的二次有理分式函数的值域,一般是要用判别式法求解的。但应注意,利用判别式法求上述函数的值域是有先决条件的(你知道先决条件是什么吗?),如忽略了先决条件而盲目使用判别式法,将极易造成解题出错.如下题: 例1 求函数y=x2-rx+3/2x2-x-1的值域. 相似文献
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谭玉石 《第二课堂(小学)》2004,(1)
一、直接法例1求函数y=1/(2+x2)的值域. 解∵x2的最小值为0, ∴y的最大值为1/2. 又∵当x无限增大时,y接近0,但总是大于0, ∴函数的值域为{y|0相似文献
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(一)求有理分式函数y=(a_1x~2 +b_1x+c_1)/(a_2x~2+b_2x+c_2) 型的值域时,如果分子、分母没有公因式时,就可变形式形为 (a_2yg-a_1)x~2+(b_2y-b_1)x+c_2y-c_1=0(*) 设a_2y-a_1≠0时,方程*的判别式Δ≥0的解集为M,还不能确认集合M就是原函数的值域,因为当y=a_1/a_2时,方程*的二次项系数为零,此时必须考察y=a_1/a_2时,方程*是否有实数解,如果没有实数解,则所求的值域就是M,如果有实数解;所求的值域为 相似文献
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罗导江 《中学数学研究(江西师大)》2020,(1):55-56
文[1]指出:在中学阶段,求多元函数值域有两个方法,一是转化为一元函数求值域,如z(x,y)=x^2+2y^2/xy=x/y+2·y/x,令x/y=t(令y/y=t也一样),则z(x,y)=φ(t)=t+2/t,求φ(t)=t+2/t值域即可;二是将其中一个元作为自变量,其余元作常量,逐步求一元含参函数的值域,最后求一元函数值域,如z(x,y)=x^2-2xy+2y^2-2y+3,令z(x,y)=φ(x)=x^2-2xy+2y^2-2y+3=(x-y)2+y^2-2y+3,则φ(x)min=φ(y)=y^2-2y+3,又令φ(y)=y^2-2y+3,则φ(y)min=φ(1)=2,即z(x,y)min=z(1,1)=2. 相似文献
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王庆 《中学数学研究(江西师大)》2022,(7):43-44
<正>含有任意和存在的双变量问题是数学中常见的两类题型,常见解法是考虑两者之间的最值和值域关系来解题.题型1:?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)=g(x2)?f(x1)值域是g(x2)值域的子集.题型2:?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)=g(x2)?f(x1)值域与g(x2)值域的子集交集非空.若遇到双变量不是前两种情况的题怎样处理呢?题1 设函数已知函数f(x)=ax+sinx+cosx(a∈R), 相似文献
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一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1)) 相似文献
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题目1:已知函数f(x)=sin2x+cos2x/tanx+cotx,求f(x)的值域. 该题是某教育出版社2002年12月出版的<高中数学课课练>(一年级下学期)中P67第9题第2小题,该书P183给出了如下解法: 相似文献
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《高中数学教与学》2017,(3)
<正>一、试题与参考答案呈现试题(2016年江西数学联赛预赛试题)若函数y=log_(2016)(x2-ax+65)的值域为R2-ax+65)的值域为R+,那么a的取值范围是____.这道试题是2016江西省高中数学联赛预赛试题,命题组给出的解答如下:由题意可知:要使y=log_(2016)(x+,那么a的取值范围是____.这道试题是2016江西省高中数学联赛预赛试题,命题组给出的解答如下:由题意可知:要使y=log_(2016)(x2-ax+65)的值域为R+,只需x2-ax+65)的值域为R+,只需x2-ax+65>1,即x2-ax+65>1,即x2-ax+64>0,Δ=a2-ax+64>0,Δ=a2-4×64<0,解得-16相似文献
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题 求函数 y =-xx2 +2x +2 的值域。解 x2 +2x +2 =(x +1 ) 2 +1≥ 1 >0 ,函数定义域为R。下用△法解题。原式变为 y x2 +2x +2 =-x①两边平方并整理得f(x) =(y2 -1 )x2 +2 y2 x +2 y2 =0②∵x∈R ,∴△≥ 0 ,即 (2 y2 ) 2 -4(y2 -1 )·2 y2 ≥ 0 ,即 -y2 (y2 -2 )≥ 0 ,亦即 y2 -2≤ 0 ,∴ -2≤ y≤ 2 ,故原函数的值域为 [-2 ,2 ]。解答错了 ,错在哪里 ?在用△法解题时 ,首先要求二次项系数 y2 -1≠0 ,即 y≠± 1 ,上面解法中应完整考虑 y2 -1≠ 0且△≥ 0 ,这时解得 -2≤y≤ 2且 y≠± 1。又 y =± … 相似文献
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