条件过剩的“希望杯”赛题

第五届“希望杯”全国数学邀请赛初二决赛第三题1小题是:如图,五边形ABCDE中,AB一AE,BC DE一CD,艺BAE一艺BCD=1200,/ABC 乙AED-180。,连接AD,求证:AD平分匕CDE. 以下证明可见该题条件匕BAE一乙BCD一1200是多余的: 证明:延长CB到F,使 BF一刀E,连结AC、AF, 乙ABF一1 800一艺ABC一匕AED AB~AE.…△ABF里△AED(sAs) 艺F~艺ADE,AF一AD, 又.:CF一CB BF~CB DE一CD, AC一AC.:.△ACF望△ACD(555) 艺F一艺ADC.匕ADE一艺ADC. 即AD平分艺CDE. 刊在《中学数学研究》94年第10期上的解答中,为了利用匕BAE…     

数学问题与解答——2001年第2期问题解答

531.在△ABC中,乙ABC二400,乙ACB二300,尸为乙ABC平分线上一点,使乙尸CB二10“,B尸交AC于M,C尸交AB于N,求证:尸M二AN. 证:如图1,在BA延长线上取一点D,使BD=BC.连D只DC,A尸. 丫B尸平分乙ABC, :.B尸为CD的中垂线,尸C=尸D. 又匕尸CB=100,匕ABC=400, 故乙PCD=700一100=600,AC △尸CD为正三角形.户/"口咦E 图1在△ACD中,乙ADC=700二CD.故AC二尸C.二乙DAC夕一详口数学教学2001年第3期 _、/1 1 11、二(a b c d)l一 丁十一 气!一4 ‘\a 0 cd/ 4 一、、12/在△尸CA中,艺尸CA二200:.乙尸AC二匕APC=80“.1 过M作A尸…     

每期一题

题:如图,角形,尸、Q、试证△尸QR亦是正三角形 (芜湖市1983年高中数学竞赛试题)。 设ABC、A尸B,C产是二正三R分别是AA‘、BB‘、CC‘中点,图1 证法1(位似缩小加旋转)连A‘B、A‘C,E、F分别为其中点。连尸石、QE,pF,刀F,EF。利用三角形中位线定理,易知△pEF是△ABC的位似图形,A‘是位似中心,相似比为一含。 ,.’ pE=寺月B二一参月C==尸F, QE=士A/B‘二一吞一A‘C/二RF,又PE与PF交角为60。,EQ与FR交角为心 .’.以p为顶点,将△pOE旋转600,即与△PRF重合,故此二三角形全等。(或证匕尸EQ=匕PFR:如图2,延长OE交RF延长…     

一个几何定理及其应用

一一B一CP一Q定理:在△ABC和△刃尸cl中,若二。+二一,80o,则器一毙瓷轰。BNsin乙1NCsin之2sin匕lsin匕2’②证:在△ABC中,由⑧②得器 尸B一配.AB BC而亡=薪石万;在△A,B‘C,中,A,B‘B,C‘赢万=妥石万’①②”且sinC二sinC‘。~_~~AB岁’~’耳吞A,B,推论:在△ABC和C(二产 国1BCsinA,B,C‘sinA.’△A,B‘C‘中,/C+ 2.证明线段相子 例2在△ABC中,AB>AC,AD为艺BAC的平分线,M为刀C的中点,过衬点作AD的平行线交AB及C通的延长线于P、Q,求证:PB=QC。 证如图, J~.___‘,,.,二,AB BC匕C‘=1800,匕A=艺A,,则弓带若;=.…     

每期一题

.如图,△ABC中,D、E分别是边刀C、AB上的点.且匕l=艺2~匕3,如果△月刀C、△忍石D和△ADC的周长依次为m、,:、,:,证明:(m:+m:)/m成5/4. (1989年全国初中数学联赛试题) 解法三分解法 过D作DF//BA交AC于F,记△FDC的周长为m3,由△ABC的△EBD 分析本题属几何不等式,其解题思路是将题中的有关t转化成二次式型,B 月乙。 盛声仍△DAC的△FDC,显然m,+m:~m于是又 ml”忿2从s然后利用二次函数最值或判别式加以解决.各种解法的转化方式着眼点各有差别. 解法一直接法 设BC=a,AC=b,AB一‘,由/1-匕2=艺3得△ABC的△EBD仍△DAC,刀忿a: …     

数学问题与解答 2005年第10期问题解答

656.在非直角△ABC中，AD土BC，BE 土AC，CF上AB，垂足分别为D、E、F，设 △ABC、△DEF外接圆半径分别为R、Ro， 求证:R=2R0. 证:如图1，对于锐角△ABC，设H为 △ABC的垂心.由B、C、E、F四点共圆，得 乙AEF=乙ABC.…△AEF的△ABC， EF AE BC一AB‘ 证:由Ix。 2}=了1 (x 功2平方     

数学分层优化设计(二)

口狮术版一内容择率荞年形全等的条件井作攀年专利琅拿等牟牵))攀)i蜘醒)离珠素崖i涌幸痛鹰奎鲁的条件) A卷〔夯实基础测评〕一、选择题1.下列条件中,能判断两个三角形全等的条件是()A.有两条边对应相等B.有三个角对应相等C.有两个角及一边对应相等D.有两条边及一角对应相等2.已知△ABC和△A‘BlC’中,AB~A’B’,匕A~匕A‘,要判断△ABC里△刃别C‘还需要的条件是 A.匕B一匕B‘B.匕c一艺c,C.AC一刃口D.以上答案均可3.△ABC和△A‘分C’中,条件①AB二A’尸,②BC一尸c‘,③AC~刃C’,④匕A一艺A’,⑤ D, \一C///沙C \一2 zJ…     

数学问题与解答 1989年第1期问题

176.△ABC中,a b e=,(定值),匕A=0(定值),试求△ABC面积的最大值. (四川周余孝供题) 177.若三角形三边成等比数列,求证:以这三角形三条高为边的三角形相似于原三角形.(湖南高成香、陈万龙供题) 178.设A B C二二,二笋>O,求证:‘。。S’普 ,一粤 二。。,誓 (工刀 嘴 z劣)2咬一. 4劣夕z (浙江李世杰供题)‘79·△ABC中,求证:以。。:普、·。一粤、·。二号(”<俨<2,为三边长亦能构成一个三角形.(江苏罗纬供题) 180.设△ABC的内心I到顶点A、B、C的距离分别为二、夕、:,△ABC、△ABI、△刀口了、△〔少月I的外接圆面积分别是S、S:、…     

直角三角形的一个有趣性质--兼擂题(62)第1题的解答

<中学数学教学>2003年第4期擂题(62)第1题是: △ABC中,CD⊥AB于D,△ACD、△BCD、△ABC的内切圆分别切AC、BC、AB于E、F、G.证明或否定:∠EGF为直角的充要条件是∠ACB为直角.     

中国台北第一届数学奥林匹克

第一天“992一05一03)一兴< d。匕 12十丫万‘ 1.设A,B是已给圆上的两点,M是AB的中点.记此圆在A点的切线为l,C是从B向l引垂线的垂足.又圆在M点的切线分别交万云及石乙于A’及B’.证明:若之BAC<晋,则(△ABC,<2(△A‘B‘C‘,· 证明如图,设已给圆O的半径为R,记a~匕BAC.由题设BC土AC, O.,_A‘C从四,-顶下二一1一 司气七AA‘AC)鱿~匕互之 2十了歹‘ .了厄一一2因M是AB的中点,故A‘B‘// AB.所以△ABC的△A于是, (△A‘B‘C‘.B‘C)(△ABC) ,A‘C、,_1~L一万于二)“尸夕不丁 Z性七乙有 AC~ABeosa·又AB ~ZRsin匕AOM …     

第二题

(必要性证明) 【证法一〕因△ABC为锐角三角形,故它的外接圆心O在△A石亡,内.于是 S△,。c=50;注F SoF刀。 Sozoc七. 过点刀作④O的切线尸Q,贝}IOA上尸。, 乙尸AB“乙AcB. 又B,C,E,F四点共圆,:’匕月CB=艺AFE,艺尸AB二艺AF五. .’.尸Q 11 FE.则。A土F石. :·“口,月*一;0“EF 同理“。pB。一;。‘·FD, ‘。D。,二一三oc .D五 。_。、2-- 从而s。,。二令(。A .EF 。B.FD 。c.OE) 分、”幼一.月习专?、一--一一’一一-一’一~一一尹 R,一___一、 .下戈乙厂 户I,十Lj己). ‘ [证法二〕设O为△ABC的外心,连AO并延长交…     

《数学通报》1880数学问题的简解及类比探究

《数学通报》数学问题1880(安徽省旌德中学赵忠华老师提供)是:设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),AB是过焦点F1(-3,0)的一条动弦,连接AF2,BF2,F2(3,0)为椭圆焦点,求△ABF2内心I的轨迹及其方程.赵老师在《数学通报》2010年第11期给出了较大篇幅的解答,方法是:先证明三角形内心的一个结论:设△ABC的三边长分别为a,b,c,3个     

2005年全国高中数学联赛试题解答集锦（续）

力目 一、(本题满分50分)如图1,在△月五汇二中,八B>AC,过A作△几压二的外接圆的切线2.又以A为圆心,AC为半径作圆分别交线段A召于D,交直线l于E、F.求证:直线刀E、DF分别通过△A仪二的内心与一个旁心. 基本证法:(1)先证工妞过△了勺熨二的内心.试z缆AG土口〕,IC=ID.又D、C、E在OA上, ,,,~1,一二。,一~二之二石气七二不~之二上人性LJ=之立1乃七. ‘.’.A、I、C、E四点共圆,:.匕CIE二艺C冷E=匕A仪二.~,~_‘,,_.,,_1,‘~~而匕CIE一2艺ICD,.’.艺ICD一言艺ABC· ,二,~,,~~.,,~~~*。.1,‘一。·’·艺AIC一艺IGC+艺肠二90o…     

关于三角形内心、外心连线的一个性质——一个数学问题的拓广

2011年第2期《数学教学》第811号问题： 在△ABC中，AB〉BC〉CA，点E、F分别在AB、BC上，满足AE=CF=AC，点O、I分别为△ABC的外心、内心．已知EF⊥BC．求证OI//BC． 通过探究，我们发现了该问题的拓广，并给出一个解析法的证明：     

一个与内心有关的相似图形

<正>笔者在解答几道2021年的平面几何竞赛题时,碰到一个与内心有关的图形.如图1,锐角△ABC的内心为I,⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F.过点D作DP⊥EF于点P.在这个几何结构中,有熟知的结论:(FP/PE)=(BD/DC).设AI与△ABC外接圆的第二个交点为M,过点M作△ABC外接圆的直径MN,联结MB、MC.     

比例线段的运用

例1已知:如图1,矩形ABC刀,在CD边上任取一点E,使AEZ一AB·A刀,作BF上AE交AE于F.求证:BF一AE.证丫AEZ~AB·A刀, AB,.AEAEA刀.①又.:ABCD是矩形,BF土AE.:。乙AFB~艺D~900.乙1~900一乙3~匕2,:。△ADE〔/,△BFA.┌─┐│介│└─┘BFAD.②图1 一一B一EA一A 。︸由①②可得BFA刀 b CAEA刀.BF一AE。 说明方法. 例2由 召 ‘证线段。一b是用比例证线段相等的常用已知:如图2,△ABC中,匕ACB一900,M是刀C的中点,CN上AM,求证:乙1~艺2. 分析要证乙1~乙2,只需证△ABM。,△B尹订几了. 证.:乙八C五了~900,CN 1 AM, .…     

看图填空20例

1.在凸四边形ABCD中,AB二BC二=C刀二BD,则匕月DC一一__一____。一~__一__一_一。一__,___~~_.0 2.△刀BC的BC二二6召丁,AC二2了万,AB二4了丁,则高A刀 乙。已知矩形AS汀万与矩形岌RPQ的周长都等于100 cm,则Bc一____D A压次 对P A匕五 D一_一一_______O 4。匕C刃B:匕ABC:匕BCA二=5:4:3,AD A ‘__价\ j杯_)\‘左应任玉 白C户都是高,BE是角平分线,若万B=2则AD+BE十CF= 5.血ABC中,EF是中位线,M汀了BC且通过重心G.则刀F:几丁厅二__ 13,由△刀左C的内乙2、乙3。若乙A:乙B:匕C=1:2:3,则乙1:乙2:乙3= 俨曰,声险︺. C厂曰…     

三角形内点的一个性质及其推广

命题1.设P为△ABC内一点,连AP,B尸C尸,并延长分别交对边于D,￡,尸.则PD尸E.尸F下下从州-下于节十万飞布Z生上声刀乃七尸应用面积比很容易证明.命题1可推广为:命题2.尸为四面体AIAZA3A;内一点,连尸A‘交对面于B‘,记入尸B一万厉;’‘-<入<1,且几,+又:十几3十入‘-l,2,3,4,则0l. 应用棱锥体积比容易证明. 例.(iMO一32)设P是△ABC内一点。求证乙PA刀,艺尸BC,匕PCA至少有一个不超过300. 证明记a一匕尸AB渭~乙pBC,y~乙尸CA.则由命题1及均值不等式,有 二,,尸F尸D PE‘3in拼’sm了岌又了’万万’沙一丸PDAD,产尸EBE PF.夕~二…     

巧用复数解几何题三例

对于可从度量角度人手的问题,复数往往具有计算上的优势. 例l如图,艺ABC一艺AED-900.艺ACB一乙ADE,材刀一对C.求证:几f五一MB. 此题若用纯几何,其思路是很难想到笔者所找到的辅助线作法如上图虚线.延长法的BM到F使何召一何尸.此时只要△BEF为直角三角形显然得证.为此,只须证△ABE二△DFE,对图中的若干角进行分析可得乙EAB一匕EDF,而DEAEDFAB,由已知易得(证明略) 本题纯几何解法却需相当的经验和技巧. 复数证法:以B为坐标原点,BC为横轴,BA为纵轴.设宜(0十11),子:(m十0j),万:(x十少) 由题设不难知△ABC二△AED,故万力可…     

Caragea猜想的否定

设a、b、。为△ABC的边长,P为半周长,△ABC内任一点O到BC、CA、AB的距离为h:、h:、h3,h。为BC边上的高.1968年,Caragea猜想[‘]:t,二/P ha“2节尸“3、、、—不干一一。 乙 匡继昌先生在文[1〕中将其列为第46个未解决的问题,本文否定这一猜想.为此,取匕A一90”,a一1,b=0 .99,则