用方程思想解代数式问题

<正> 在解某些代数式的计算或证明问题时,有时能通过挖掘题中的隐含条件,适当构造一元二次方程,然后利用方程的性质顺利地解决问题.举例如下: 一、利用根的定义构造方程例1 设ap2+bp+c=0,aq2+bq+c=0(pq≠0,p≠q). 求证: 证明由题意得,p、q应为方程ax2十bx+c=0的两根.     

都是“命题”惹的祸

<正>一天,一个学生拿一道题来问我:问题1已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根;命题q:方程4x2+4 m(-2)x+1=0无实数根.若"p或q"为真命题,"p且q"为假命题,求m的取值范围.我问,你有什么问题?他说,我这个题目能够做出来,但我有个疑问,题中的p、q是命题吗?教材上说"命题是能够判断真假的语句",显然     

赛题中“双层最值”求法初探

“双层最值”是指求函数的最值的最大值(或最小值 )问题 ,又称“复合最值”.近几年在国内、外数学竞赛中常有“双层最值”出现 ,本文就几个赛题 ,谈一谈解题的构思 .1　转化法根据条件将问题转化为我们熟知的结论或常见的函数 .例 1　试求 u(p,q) =max{| 1 + p + q| ,| 4 + 2 p + q| ,| 9+ 3 p + q| }的最小值 .解 :设 f (x) =x2 + px + q,则| f (1 ) | =| 1 + p + q| ,| f (2 ) | =| 4 + 2 p+ q| ,| f (3 ) | =| 9+ 3 p + q|由 f (1 ) + f (3 ) -2 f (2 ) =2则 | f (1 ) | + 2 | f (2 ) | + | f (3 ) |≥ 2 1所以 max{| f (1 ) | ,| f (2 )…     

对一道课本习题求证的探讨

高中代数课本(下册)(必修)P128的第34题:已知数列{an}的项满足关系式: an+1=qan+d,其中a1,q为常数且q≠0,1. 求证:an=(a1+d/q-1)qn-1-d/q-1. 证法1:由已知,有a2=qa1+d, a3=qa2+d=q2a1+qd+d, a4=qa3+d=q3a1+q2d+qd+d,     

用“假设法”解题也要创新

现行高中《数学》(必修 )第一册 (上 )第3 .5节例 4是 :已知Sn 是等比数列 {an}的前n项和 ,S3,S9,S6 成等差数列 ,求证a2 ,a8,a5成等差数列 .这是一道难得的好题 ,具有很好的研究价值 .一、例题引申引申 1:若Sn 是公比q≠ 1的等比数列{an}的前n项和 ,a2 ,a8,a5成等差数列 ,则S3,S9,S6 成等差数列 .证明 :设等比数列 {an}的首项为a1 (a1 ≠ 0 ) .∵a2 ,a8,a5成等差数列∴ 2a8=a2 +a5.即 :2a1 q7=a1 q +a1 q4∴ 2q6 =1+q3,∴q3+q6 =2q9.又q≠ 1,∴S3+S6 =a1 ( 1-q3)1-q +a1 ( 1-q6 )1-q=a1 [2 -(q3+q6 ) ]1-q=2a1 ( 1-q9)1-q =2S9.∴S3,…     

谈谈关系式“a_n=S_n-S_(n-1)”

近年的某些数学资料中,有这样一道题: “若{S_n}是公比为q(q 0,q 1)的等比数列,(S_n=a_1+a_2+…+a_n,a_1 0)求证:{a_n}也是等比数列。这里,n应理解为任意自然数。这道题错了。因为由题设,     

怎样用课本例题和习题编拟初中竞赛题

事实证明,将课本例、习题进行加工、改造和深化,是竞赛试题的重要来源之一。一、仿造编拟此法比较容易,所编的问题往往与“原型”形异实同。例1 如果一元二次方程ax~2+bx+c=0的两根之比为2:3,求证:6b~2=25ac(初中《代数》第三册p.153第3题)。改编:如果方程x~2+px+q=0的一根为另一根的2倍,那么p、q所满足的关系式是——     

对一道典型例题的再探究

<正>原题已知数列{a n}是等比数列,Sn是其前n项和,a1,a7,a4成等差数列,求证:2S3,S6,S12-S6成等比数列.证明:由a1,a7,a4成等差数列,可得a1+a4=2a7,即a1+a1q3=2a1q6,所以1+q3=2q6.S6=a1+a2+a3+q3(a1+a2+a3)=S3(1+q3),S12=     

2014年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明: ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4. 证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数. 对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0. 则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c) ＜0＜abc/2+1/4. 对于后一种情形,由舒尔不等式有 a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) ≥0 (→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc ≥0.① 记p =ab +bc +ca,q=abc. 由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0. 从而,p≤9q/4+1/4. 因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以, √q≤√1/3＜2/9. 于是,9q＜2√q. 故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4 (→) ab+bc+ca＜√abc+1/4.     

数学问答

85.问:命题p:方程(x+2)(x-1)=0的根是-2,命题q:方程(x+2)(x-1)=0的根是1. 很明显,p和q都是假命题.但p或q形式的复合命题:“(x+2)(x-1)=0的根是-2或1”是真命题.而课本第27页:“当p、q都为假时,p或q为假”,那么,上述的“怪题”怎样解释呢? (广州仲元中学一(10)班谭映荷)     

一道数列最值问题的解法探究

<正>一、试题呈现试题设数列{a_n}的前n项和S_n=pn²+qn.若a_12+qn.若a_1²+a_32+a_3²≤10,求a_3+a_4+a_5的最大值,并求此时p和q的值.此题是2019年7月贵州省学业水平考试的最后一题,是数列与不等式的综合题.题干简洁、精炼,但内涵丰富,蕴含了求解最值问题的多种数学思想方法.     

一道不等式易错题的多解

<正>不等式是高中阶段的重要知识点之一,不等式的最值问题的解法为高中生思维方式的拓展提供一条训练捷径.本文介绍一道易错题的多条解题路径,供同学们参考.题目设a,b,x,y∈R,且满足a2+b2=p2,x2+y2=q2(p>0,q>0,p≠q),求ax+by的最大值.常见错误因为a2+b2=p2,x2+y2=q2(p>0,q>0),所以     

至少有一个方程有实根问题的正面解法

先看下面三道题:(1)如果一元二次方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的范围.(2)已知p1p2=2(q1+q2),试证方程x2+p1x+q1=0和x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.(3)若一元二次方程x2+ax+b=0,x2+bx+c=0,x2+cx+d=0的系数满足等式:bc+2d=(a-2)(b+c),则三个方程中,至少有一个方程有实根.这几道题属于“至少存在问题”,数学竞赛中常常见到.这类题若从正面考虑,大家认为几个方程中“至少有一个方程有实根”的情况复杂,解答易错.所以有关书刊及资料上介绍的解法都采用的是反证法,其思路是这样的:假定三个…     

每期一题

题已知P,+叮s==2,其中P,召〔R,求证P十q《2. 证法一设m二P+q,则q=勿一P,代入P3+口名二2,得 3阴P“一3oZP+ms一2二0……① ,.’P,口任R, .’.m〔R,且切专O(否则P=一‘=群势沪+护二0),故关于P的实系数一元二次方程①有实根,从而有 (一3川“)“一4·3阴·(川3一2))0- 即一3勿(川“一8) ”一3爪(从一2)〔(m+l)2+3〕)0, .’.0<切(2,故有p+q城2. 证法二(反亚法)假设户+刃>2,则,.’力3+叹3之(茸:一卜刃)(力“一P住+叮2)“2, .’. PZ一妇+口“<1.……② ,.’P,q〔R,.,.乡2+夕2》ZPqs几PZ一pq+召盆二tZ)l,故得夕十q《2.粤证法四令夕=xcos…     

巧用三角换元 妙解二元最值问题

<正>在中学数学中常常会遇到与二元二次有关的最值问题.1条件为二元二次方程的最值问题先看一个例题.例1 (2017年全国高中数学联赛河南省预赛题)已知实数x、y满足4x²-5xy+4y²=5,若S=x²+y²,记S的最大值为p,记S的最小值为q,求1/p+1/q的值.     

用函数观点解数列问题

数列是一种特殊的函数,一种定义在正整数集(或其子集)上的函数,是一种有别于连续函数的离散函数.因此,在处理有关的数列问题时,用函数的观点去审视和分析,能直达问题的实质;用函数的思想和方法去解答,更有轻车熟驾的感觉.本文列举实例,愿你在数列复习中能进一步加深对数列概念及公式的理解,加强知识点之间的联系,增强化归能力.一、利用一次函数的“线性”性质,求解数列问题例1设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sp=q,Sq=p(p、q是两个不等的正整数),求Sp+q的值.解析:该题的一般解法是:由已知条件列出方程组,求出a1和公差d,再求Sp+q.这种解法较…     

2010青少年数学国际城市邀请赛

个人赛 一、填空题(每小题5分,共60分) 1.已知实数p、q、r满足 p+q+r=26,1/p+1/q+1/r=31. 则p/q+q/r+r/p+p/r+r/q+q/p=______.     

一道算术题解的引伸

《湖南教育》今年第三期发表了曾庆萱、龙自范两位老师“两道小学数学习题的解析”一文,其中冰水互变一题,在图示法的基础上,可以引伸和抽象出如下两个公式: 1.若甲比乙增加几分之几是q/p(p、q∈N,且互质).则乙比甲减少q/(p+q)。也就是说,减少几分之几的分数之分母是原分数(q/p)的分子与分母之和,分子仍是原分数的分子。     

数学问题与解答

66.如图,四边形ABCD。四边形通刀:C:D:。四边形B:B:C:D:,…。四边形万,_:刀几Do.求证:AD+DC+CB二AD一+DICI+Cl丑,+BID:+刀:C:+C:万:+一+B。_一D.+D.C.+CoB. _C。卜长{q介月乃.落厂~落万一8(湖北叶年新供题)67.证明不等式:。(~一1)<,十合+合十·…斋<一 九一1”一,了万(价少3). (湖南付杰供题) 68.若实系数方程护十哪+2乙二。的一个根在0与1之间,另一根在i与2之间,求(b一2)/(a一l)的范围. (河南刘道金供题) 69.求证:直角四面体(一个三面角的面角都为直角的四面体)的非直角的二面角之和大于枷/4而小于龙 (湖南沈文选供题) 70.…     

等比数列求和公式的推导

1.公式S,=ar(1一q”) 1一q一般书上采用“S,一q万,”求和,就是由两个等比数列的和S,与qs。相减消项,用a;、q的式子表示S。一qs。再解出S。. 2.如六年制高中《代数》第二册复习参考题二18,可以应用拆项消项求和的方法求 1’刀(儿+1)…的前。1一3.4’1一2.3、一1.2’项和S。.这种方法同样可以施行于求等比数列的前,项不{{。S,=a,十a」q十a。q二+一+aq”-=(一巴、一黑)」一(号一践)·(蹼一恶)一(卫寿一一蹼)=六一践之兴号竺. 3.注意到等比数列的意义和连比定理的特征,我们还可以用以下方法推导等比数列前,项和的公式:由 、鱼』=生卫二二 6 2…