课本中两个定理的加强及应用

高中代数下册(必修本)尸26有两个定理: 定理1}aI一!引(}a 川({a1 }川. 定理2 lal一{bl镇la一bl(la} Ib}. 在定理1中以一b代b即得定理2.因此,两个定理合并一个并加强、 定理如果a泊任R,那么.lal一I占l毛!a 川落}川 }川.(当且仅当ab)O时,右边取“=”,ab(0时,左边取“=”). 证明对于a,b任R,有一}ab}簇ab(lab},当且仅当ab)0时,右边取“二”,ab《0时,左边取“一”. 配方得:}l。卜!占!{2成la 白}2镇(!af !b})2. 所以{lal一l。{l簇,a 右}簇}al }占1. 推论1若a、任R(i二1,2,3,…,n),则 l、冬a、{镇*哥}a、}当且仅当a两)0(i,j=b,2,…,n)时取“=”.…     

几个绝对值不等式成立“=”的条件

不等式:(I)}a 61《,al ,bl,(,,!l鑫一}l‘象,一’,(l)}a一b}》}a!一!b},(W)】}a!一!b】!(!。一6}, (V)!a一b}《}a一cl Ic一b!,是大家所熟知的.但这些非严格不等式在什么时候成立等号,什么时候成立不等号,却似乎少有人问津。诚然,在有些场合(例如在数学分析中)探讨这种细节必要性不大,但在讨论极值时,它却会给我们提供帮助,故讨论如下: (I)对丫’a,b〔R, !a b!=}a} !b!专令ab>0。 证la b】=!a! }b!嘴卜乡(a b)“= =(}a} lb})2专令aZ Zab bZ二a么 2}a}·}b} bZ嘴绍势ab二}abl》0. (I)对va:,aZ,…,a。〔R,当存在实数二能使“》”的“=…     

配分母的应用

对于分式,我们把分子拼凑出分母,再用分母去除,可使问题获解,并使过程简捷。 】al+}引__}al1+}al+lb}一1+la}+}bl十 例Zx+7x+3 解:1画函数y-的图象。 {b}1+}川一卜}引镇 {a}.}bI二二一十;一:一命石1十}a 11十l亡71例5数列{x”}:x,若x,>2(x+3)+1x+32+1┌─────┐│口(一3,2 │├─────┤│ │└─────┘2,求证对一切n〔N都有2臼,。一1)刃,,>2.x+3证明:(飞、众一归纳法.·1时,x:>2成立;y一2一汉设当n一k时不等式成立,即x*>2 一弓j目.土一土l 一刃x十3一了,y一2一夕或、二*一1>1,那么当n一k+1时即令得夕一少这是中心在O’(一3,2)…     

师范系和声试题

一、将下列提示的和弦序列,按四部和声写作方法连接起来。(每小硬5分,共25分) a)F大调火}x Wl反W。{V一一11 b)bB大调火{I。w{K牙D,}I—1} e)G大调汽{I。w w6{vv。v些{I一一}} d)c小调沁}Vw。v。{l一一l} e)g小调火!I。V鱼1 IV:}I。一11二、为下面旋律配和声(25分)师范系和声试题(乙卷)一、将下列提示的和弦序进,按四部和声写作方法连接起来(每小题5分,共25分) a)g小调火{T IVI匀IIV。vv:{I。一一{} b)b小调洲}Tw{K牙v,{1—】】 e)A大调丸{T W v7!T川璧T}} d)a小调效{T wv里{xv生x。}W一一}l e)bB大调丸{xv:{T。V乡{TW里jT…     

对一类题目的讨论

先看几个命题及其证明:题1设二次函数y二axZ bx 。,且I了:二。,1,:.鉴1.证明:max{yl毛4,x任〔O,Zj.这是文〔l]中的一道征解题,原证如下:证:令t=二一1,则,=a:2 6x 。= a(t l)2 b(t l) 。=a 1 tZ 61t 。1二f(t),且If(t)‘二一,,。,lj(1.由于fa一bl e,=厂(一1),、亡t=t、U) L al Dl cl二j Ll)·:.当}xl蕊1时,有If(x)!鉴xZ ‘,(1)1·)守f(一1小(,一二2)f(。){、}夸]·{宁J·__2}土匹丝兰士D.丝丝址述夕.、1 1一荡}=一2十2宁、l一①②③所以al _巡上巨止交二卫2 f(0) _丈丝匕里匕卫XZ,=‘xl ‘一2=一(,劣,一告)2十音…     

初一“希望杯”训练题

一、有理数1.如果a。,则!。}一}b}+}。+b}+}。b!一~z,~一-一b一/、}一”一”’一’“”’一‘—’有理数m,,,。满足…粤司+m一。,}、}一,,。.}。}一1,则代数式}二}-’‘-一一一’一’了’川‘一{2一”‘-一”一”一‘f’f’一’”’“一一、’一’}m一P+1}+IP+n}一}3m2+m+1}-对任意有理数a,式子1一}al,}…     

两道1998年高考数学题的简捷解法

1998年全国高考试题中有一对数列与不等式巧妙结合的“姊妹题”,下面给出它们的简捷解法. 例l(文科第25题)已知数列箱b。}是等差数列,bl=1,bl b:十… b,。=100. (I)求数列考b。}的通项bn;(I)求数列{b。}的通项b。; ‘,,设数列‘二,的通项一‘g‘, 奇,,记S·是数列{a。}的前。项和·试比较s。与合lgbn一的大刁、, (,)设数列、a。}的通项。n一,。g。(1 咨)(其中。 。n>0,且a笋1),记S。是数列{an}的前n项和.试比较s。与粤109:bn*,的大,J、,并证明你的结论.一‘刁3一0“一”下二~/、.’/’一~’咨曰甲一曰曰解:(x)(略)(I)丫b。=3n一2,并证明…     

两个基本不等式加强猜想的否定与修正

宋庆先生等在文【l]得到了基本不等式如下的加强: <0.故(3)式不成立.例如取a=1，b=8，。=27，(4)式的左边招一1“韵 定理1若a，b，。是正数，则丫石石一右边一~一了平平·，.、。 b、{丁下落厄涯一1，一D}岁‘一，下-二汽2 tose下厂ee.一一一二一叫}a一口}以)乙V乙乙·(}l一8}     

绝对值的一组练习(初一、初二)

已知三个数a,b,。满足a{+a=O,lab卜ab,{‘l一。=则}b{一}〔一bl一{a+b{+la一‘ b_.~__十下一二下小能寺丁一乙,U,1, }口{a一a,2.若ab并O,则2这四个数中的( (A)一2.(B)0.(C)(D)2.1镇二(2,则y的最大值与最小值之差是() (A)4.(B)3.(C)2.(D)1. 6.已知y一{2二+6】十】二一11一4}、十1{,求y的最大值. 7.二为任意有理数,则一x+1}+}二+21+}二+3!十}二+4}+}二十5}的最小值是_. 8.设a+b+‘一O,ab。>O,则3.若工一220042005,则{二}+1二一1}十}二一2一+b+c .c+aa十b,二,小二,—十甲万一下十下一一下四t巨,毛气一a}一o}}c}二一3{+},一41+}二一5}~ 4.…     

一道竞赛题的启示及推广

2n .2行了8一·J一 乃 第五届全俄中学生数学竟赛有这样一道题:求所有a、‘b,使}2:2卜a:+b!簇1对一切一1毛:廷1均能成立.为了便于以下讨论及推广,我们把上题改述为如下命题: 命题l对于任意a任(一co,。co),有 }2e082a+aeo。:+b!毛1,当且仅当ZeosZa+aeos“+b=eosZa. 证明当ZeosZa+aeosa+b二cosZa时,显然能使]ZeosZa+aeosa+bl镇1对于任意a任(一co,+co)都成立. 反之,设吞>一z,则Zcos’a+ac08a+b=Zeos“a一l+aeosa+b+1.由假设知b+l>0,若令eosZa二z且使aeosa=!aJ,则有!Zeos’a+aeosa+b}二i+la}+b+1>1,矛盾. 设乙<一z,若令eosa二o,则有{Zeos…     

初一(下)能力小题自测

判断题1.当。<0时,1十工>o.2.方程组 口x+Zy一5, 的解也是方程x一3y的解.( (Zx一7一y3.右图中,有一条直线、三条线段.()4.当m为有理数时,厂定有}。}>一m·5.如果a<0·,b>O,且}a{<}b},则a---儿----‘------沽 A C DB一b二>o.‘.若八B上C刀j了尹叮土CD,则AB一几了户了.(_~一。x一3一_二‘~,~~一~,,,_了.己为J口力己一不不于一毛之U四真定人里叠受父用呼,刀p产城L艺 l、J。)2 000一号的值 是一1.()8.有理数。、b满足a一1”9b,则!al》}bl.(),.方程Zx一3一1与方程x(Zx一3)一x的解完全相同.(:10·关于二的不等式。?+l>。的解集是!<一告,则…     

合成数列的通项及其应用

设有两个数列{‘}及{右,}: al一a,一a3,.‘”口”, b:,西,,b3,…,b。,依次交错排列a:,西:(k=1,2,…)构成一个新的数列{x。}: a,,b:,a,,b:,…,a。,乙二,我们称上述数列{x。}为数列{么。}和{乙。}的合成数列。 本文讨论两个数列的合成数列的通项公式及其应用。 定理设数列{a’‘},{乙。}的通项分别为 a。=f(n),b矛==g(n),那么,数列{。、}与数列{阮、}的合成数列{x二}的通项为 解:将。,二f(。)=a,b。=g(:)二吞代入(1)得所求数列的通项为X”二例2合、一“,+合‘一‘,”+“口一的·求数歹l】{x。1:1,1,2,2,3,3,n,”,’..的通项.解:将a,=f(:)=n二…     

一类规律题的解答

含绝对值的不等式常规处理方法较多,现点击如下,供参考. 一、直接运用绝对值意义由x“一2{x{一15>0得(lx即(Ix})“一214一5)({!一15>0}十3)>0,【例1】解不等式}一共{>一李下. !工,-1!工-rl点击:易知当,平不)o时, X寸~1 Xx+1所以}xl一5>O,即x>5或x<一5,原不等式解集为(一co,一5)U(5,+co)四、平方升维t例4】解关于x的不等式一拜一{>一拜一X州卜1!X十1·(x+l)<0,陪器1<‘·点击:显然}忠}-{a十x}11+ax, 故一1相似文献   

2006年普通高等学校招生统一考试 福建卷理22题解法集萃

题目:已知傲列{a。I满足a.二l,an+,二Za。+l(noN*).《I)求数列}anl的通项公式; (川若数列lbn}满足4b,一4比一,…4味,=(a。+l),“(noN*),证明:数列lb。}是等差数列;一11、:二n二n_l,a、、aZ*…上a。/n In二月*、吐".】It目目竺二一,<二上十二‘+.,.+二卫1一<毛不吸n任仪贾】.‘J aZ 83a叶.‘(I)证法l:’·’a。+:=Za。+,(noN*)…a,,+l二2(an+:) .’.{a。+l}是以an+l二2为首项,2为公比的等比数列·一十1二2。即a产2“一l(n oN*)证法2:‘:a。+I二Zan+.(n oN*)一合+‘韵一晋:(如’...Bp舞二扮(奋州3二。…处一矛匀一刃也…     

第十二届“希望杯”数学邀请赛 初二 第2试

一、选择题(每小题5分,共50分) 1.化简代数式、万不丁万+、/了二玄万的结果是(). (A)3(B)1+招(C)2+招(D)2招 2.已知多项式ax3+bxZ+二+d除以x一1时,所得的余数是1,除以x一2时所得的余数是3,那么多项式Qx”十酝2十cr+d除以(x一1)(x一2)时,所得的余式是(), (A)Zx一1(B)Zx+1(C)x+1(D)x一1 _‘__,~}a一bl,。,,J。匕‘为J“月(屯1,月川丁一节下}~a,刀卜JZ又火少· l“,尸口l(A)abO(C)ab(0(D)a+b<04.若}a}<}cI,ba+e}b}相似文献   

1998年高考压轴题的巧证与推广

1998年高考第25题: (文科)已知数列{b。}是等差数列,bl-… b、。一100. (I)求数列{b,}的通项b”; (皿)设数列{a。}的通项为a。=19(1 1,乙, bZ 却,记“·是 (l十l)(l李4,2 l (l l)(175,: 1 (1 1)(1十争(1 静二(l十石冬厄)> 韵(l A..·(1 是万)>数列{a。}前。你的结论.项和,试比较:。与粤,g氏 ,的大小,并证明 乙 (理科)已知数列{b二}是等差数列,bl~1,二十阮。~145. (I)求数列{b。}的通项b二; (l)设数列{a。}的通项为a。=109『(l 下共几)(l十万共不)~.「1 1十忍i十乙a一,bl b:十1_,,一 丁-下一气厂一一一一;丈万」>了nd 1(n、d任刀,d>l)史…     

30分钟“智力自测题”

(一)若}二一5{与(3+b)2互为相反数,则ab~方程2}al一x一1一Zx的解是一3,那么a一已知方程3(二一1)一合‘5￡、1)与方程k二一2一k一5同解,那么一k一 4.若k一相似文献   

湖南卷

l一3一一.若数列{a，}满足:a，且对任意正整数，n，n都有a、。=a. lim(a， a: … a，)=·a，，则() (e)普.(D)2·2一3 B l一2 A 2.已知}a卜2}bl笋O，且关于x的方程尹 }alx a·b一。有实根，则a与b的夹角的取值范围是( (A)[。，晋〕) (“，[晋，·」. (e)「晋，誓」·3.过双曲线     

高一数学《集合与简易逻辑》单元检测试题

一、选择题(四选一)1.设集合M一丈二{x一k .1,_下干十一了,左份z全乙住 kl_、~,N一{x!丈一令十音,k任封,则() 4’2”一、-·,、二、 (A)M=N(B)八左仁N (C)MDN(D)M门N一中 2.不等式(1+x)(1一{x})>O的解集是() (A){xl一1<二<1} (B)琦x!二相似文献   

光荣花

5一 7 口U︸ (迎些!1 ，{ 66 ，}迎二 3北 6 753 继丝{， ，}3. 些)1 5 6 05 71丝。 爸爸从 京回来啦， 53 来啦， 尹一一一一~、 ，}: 丛鱼鲤} 胸前戴一朵 7 5 63 光荣花呀， ，01 ，O‘ 回来啦， 3京 2 227 0 00 |||﹄‘川、 (伴)爸爸从北 }丝昂一l。。 回来啦， 1.钊’l 3 16 光荣花， }(丝哩}些。3}丝丝1丝， 戴一朵 (伴)胸前戴一朵光荣花呀戴一朵光荣花。 光荣花 {丝2 会说话， }。2}(巡鲤}丝2) 2一 O工 .匀一 爸爸夸: 3士 3的 。.，}业些 洁呀，一心为大 尹碑声一~、! 3·擎}6 家，党 55 好卫 缎二{，一)(。纠丝3{缨丝}吞。)l 人民…