利用|z_1| |z_2| … |z_n|≥|z_1 z_2 … z_n|求函数的最小值应注意条件

从中学教材中得知,对于任意复数z_1,z_2,…,z_n都有|z_1| |z_2| … |z_n|≥|z_1 z_2 … z_n|.运用这个不等式,求复杂函数的最小值,方法简捷,但是z_1,z_2,…,z_n满足什么条件,|z_1| |z_2| … |z_n|才取得最小值呢?下面用代数形式给出这个条件.     

使用|Z_1 Z_2|≤|Z_1| |Z_2|时要注意等号成立条件

本刊1985年第四期刊登了《复数证明不等式初探》一文,该文能灵活运用不等式|z_1 z_2|≤|z_1| |z_2|进行解题,阅后得益非浅,但美中不足之处是在使用这个不等式时没有指出等号成立条件。从而学生在使用不等式|z_1 z_2|≤|z_1| |z_2|时存在盲目性。这正是我们教师应该指点之处。为了说明问题,我们将原文中例6,求证: (x~2-4x-5)~(1/2) (10-2x x~2)~(1/2)≥17~(1/2)(原文题目有印错)改为: 例1:求函数y:(x~2-4x-5)~(1/2) (10-2x x~2)~(1/2)的极小值。     

例谈等号成立的条件

大家知道均值不等式是中学重要的常用的基本不等式,认真思考等号成立的条件,坚持变换方向与条件不矛盾,借助一定的变换技巧,能解决范围广泛的一类难题.本文试图以一例及其变形加以说明,以求抛砖引玉.     

不等式｜｜z_1｜-｜z_2｜｜≤｜z_1±z_2｜≤｜z_1｜+｜z_2｜的建立与证明

教师 :设z1 、z2 是非零复数 ,如何用几何方法作出复数z1 +z2 对应的向量 ?学生 :分别作出复数z1 、z2 对应的向量OA、OB ,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB ,则向量OC就是复数z1 +z2 对应的向量 .如图 1所示 .教师 :图 1所给出的解答完善吗 ?学生 :不完善 .当向量OA、OB共线时 ,平行四边形OACB就不存在了 .对角线向量OC也就随之消失 .因此 ,这时不便用平行四边形法则来作出z1+z2 对应的向量 .教师 :此时 ,如何作出z1 +z2 对应的向量 ?学生 :先作出复数z1 对应的向量OA ,然后以A为起点作向量AB ,使AB与复数z2 对应 ,则向量OB就…     

复数z_1、z_2的商z_1/z_2与∠z_1Oz_2之间的关系

复数练习题中，经常出现已知复数ｚ１、ｚ２的商，求∠ｚ１Ｏｚ２（ｚ１、ｚ２是复数ｚ１、ｚ２的对应点）或∠ｚ１Ｏｚ２的三角函数值这类题目。在解此类题目时，学生普遍感到思路不清，有困难。究其原因，实为学生对两者之间的内在联系没有弄清。本文想对此作一些探讨，使学生在解题时有规律可循。设即为纯虚数＝９０°。同理，若Ｒ，ｙ≠０），为纯虚数＝９０°。ｚ２－ｚ例１　已知复数ｚ１、ｚ２的对应点为ｚ１、ｚ２，例２已知ｚ１、ｚ２在复平面上的对应点分别是ｚ１、ｚ２，ｚ１＝ａ，３ｚ１２－２ｚ１ｚ２＋２ｚ２＝０，求ｚ１Ｏｚ…     

等号成立条件的探究

C是BD边上的一点,艺BAC于是由几ABD=S△ABc 一告·。51·60。 告,一,·60 1占一Z 1一X在文【l]中提到了一道不等式证明题:已知x>0,V>0,z>0,求证:了护一却 沪十仰2一尹 护>了xZ xz 沙.原文作者可能在这里丢了一个“=”号,也就是说,“>”应改为“)”.而这个“=”成立的     

重视等号成立的条件

<正> 运用二元或三元均值不等式可以求解某些最值问题或取值范围问题,但学生常常忽视等号成立的条件而导致错误.下面举例说明,以引起大家足够的重视.     

利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|等号成立的条件解题

在高中数学教材中有定理||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|,其中||a|-|b||≤|a b|,||a|-|b||≤|a-b|,|a b|≤|a| |b|,|a-b|≤|a| |b|取等号的充要条件分别是ab≤0,ab≥0,ab≥0,ab≤0,在解题过程中利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|等号成立的条件解某些题,将得到解法     

注意，等号成立的条件

我们知道,求解最值问题的方法很多,如利用函数的性质、方程的判别式、平均值不等式、复数模的性质等.值得注意的是,无论使用哪种方法,都必须确保等号成立,才可肯定是最值.然而在实际的解题中,学生对等号能否成立,常常不作深入的研究,并由此产生一些错误.本文试图举出几例,以示提醒. 例1 已知a、b、x、y都是正数,且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值. 错解:因为a、b、x、y都是正数,     

利用等号成立条件证不等式

不等式是不等的式子,但不等式的等号成立条件却会对证不等式起导向作用,利用等号成立条件,会较易地证明一些较难的不等式。     

Carutz不等式等号成立的条件

据文记载，1964年，L.Carlitz在《美国数学月刊》上提出了如下一个关于三角形的内点到三角形的三边的距离与该三角形的三条高之间的不等式．     

Carlitz不等式等号成立的条件

据文[1]记载,1964年,L.Carlitz在《美国数学月刊》上提出了如下一个关于三角形的内点到三角形的三边的距离与该三角形的三条高之间的不等式.定理1(Carlitz不等式)设P为△ABC的任一内点,123,,rrr分别是P到,,ABC行械亩员叩木嗬?,,abchhh分别是,,ABC行械亩员呱系摹鰽BC的高,则123     

绝对值不等式等号成立的条件及应用

人教版高中数学教材“不等式”一章P20绝对值不等式的性质定理:|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|,课本借助绝对值的原始定义进行证明,抽象程度高.     

着眼于“等号成立条件”证明不等式

面对一个不等式,如果“经验”让你感到陌生,刹那间难以找到着手契机的话,往往习惯于先瞧瞧其结构,看看等号何时成立,然后探寻证明思路.本文意在介绍一类具有轮换对称不等式,如果着眼于‘等号成立条件”,便可发现一种“出奇制胜”的证明途径.     

利用基本不等式等号成立条件求解竞赛题

正基本不等式:1/2(ab)≤(a+b)/2(其中a≥0,b≥0)当且仅当a=b时等号成立,当1/2(ab)=(a+b)/2,此时即1/2(1/2a-1/2b)2=0,可看出a=b.a=b一方面可看作不等式成立的特殊情况,另一方面也可看作恒等式成立的条件.基本不等式等号成立的条件有两个:①两数非负,②两数相等,这就说明基本不等式等号成立对条件有着较强的要求.反过来如果基本     

例说利用等号成立的条件证明不等式

在证明含有“≥，≤”的不等式时，如果能够关注其中等号成立的条件，并结合“均值不等式”、“柯西不等式”等号成立的条件，那么往往能够很快找到问题的突破口，从而收到事半功倍的效果．下面简单举例说明．     

均值不等式等号成立条件的导向作用示例

对于均值不等式n(a1a2…an)~(1/2)≤(a1 a2 … an)/n,当且仅当a1=a1=a3=…=an时等号成立,这是一个大家都很熟悉的条件,大多数人在解或证明不等式即将完成时,用它来完善不等式的解答,鲜有人注意到它对不等式问题的解答有启发和导向作用,下面我们就举例来说明．     

从均值不等式等号成立的条件寻找解题突破口

1．均值不等式 均值不等式a＋b≥2√ab（a、b〉0）指出：若两正数和为定值，那么当且仅当两正数相等时，乘积取最大值．换言之，若两正数和为定值，当两正数之差为零时，它们的乘积最大．由此得到，若把一个正整数拆分成两个正整数之和，那么这两个整数之差越小（大的减小的），它们的乘积越大．如x、y是非负整数，z＋y=c，x—y=d（x≥y）,xy=c＋d/2·c-d/2=1/4（c^2-d^2）.     

猜想“等号成立条件”调整构造不等式证明

数学教育家波利亚说：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个定理之前，先得猜想、发现出这个定理的内容，在完全作出详细证明之前，还得不断检验、完善、修改所提出的猜想．”当然数学猜想不仅是数学研究的一种科学方法，而且也是数学发展的一种重要形式，同时数学猜想中的种种推测总是能为我们提供解决问题的钥匙．以下先从一个不等式的证明开始．     

巧用均值不等式及其等号成立条件求最值

最值问题一直是高中数学中常见的题型,其解法也是五花八门,同学们在学习了均值不等式后,对最值问题又多了一把解答的工具,本文将和同学们一起探讨如何巧用均值不等式求解最值问题.