高中数学测试题

<正> 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合M=|x|x=3m+1,m∈Z|,N=|x| x=3n+ 2,n∈Z|,若a∈M,b∈N,则下面结论正确的是( ) (A)ab∈M (B)ab∈N (C)ab∈M n N (D)ab(?) M U N     

构造图形巧证不等式一例

本刊于94年第7期上曾讨论了不等式“设X≥0,求证 (2 x)/(1 x)((1/2)(1 x)~2)≥2((1/2)2)。”的几种证法。现通过构造图形再给出两个证法。 证法1 如图,构造边长为2的正方形ABCD,点O是中心,延长BC至点E,设CE=x,过E,O的直线交AB于点N,过点O作OM∥AB,交BC于点M,取EN的中点F,连结BF和BO。易知EM=1 x,EB=2 x,OM=1,OB=(1/2),EO=(1/2)(1 (1 x)~2,BF=1/2EN。∵OM∥NB,∴EM/EB=EO/EN,即(1 x)/(2 x)=((1/2)(1 (1 x)~2))/EN。     

构造图形 巧证赛题

例1 正数a、b、c、A、B、C满足条件a A=b B=c C=k.证明: aB bC cA≤k~2. (第21届全苏数学竞赛) 例2 若x、y、z∈(0,1),则 x(1-y) y(1-z) z(1-x)<1. (第15届全俄数学竞赛) 以上两题,许多刊物已给出多种证明.本文用构造图形的方法再证之.     

圆锥曲线的几个重要性质

性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2+y2/(1+λ)b21的椭圆;双曲线x2/a2-y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是双曲线上的点,直线OM与ON的斜率之积为b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2-y2/(1+λ)b2=1的双曲线;圆x2+y2=r2,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-1,则动点P的轨迹是方程为x2 +y2=(1+λ2)r2的圆.     

构造对偶式解题的几种方法

构造对偶式解题是一种常用的方法,是指挖掘出题目中潜在的对称性,充分利用对称原理在纷繁的困惑中,寻觅到简捷的解法.一、互倒构造此法是利用倒数关系构造对偶式.例1若x、y、z∈(0,1),求证11-x+y+11-y+z+11-z+x≥3.证明:设M=11-x+y+11-y+z+11-z+x,构造互倒对偶式N=(1-x+y)+(1-y+z)+(1-z+x),则有M+N=11-x+y+(1-x+y)+11-y+z+(1-y+z)     

椭圆的一个有趣性质及其应用

性质椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A、B的连线PA、PB与对称轴不平行,则直线PA、PB的斜率之积为定值.证明如图1所示,设P(x,y),A(x1,y1),则B(-x1,-y1).∴x2a2+y2b2=1,①∴x21a2+y21b2=1,②由①-②得x2-x21a2=-y2-y21b2,∴y2-y21x2-x21=-b2a2,∴KPA·KPB=y-y1x-x1·y+y1x+x1=y2-y21x2-x21=-b2a2为定值.这条性质是圆的性质“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广,它充分揭示了椭圆的本质属性,因而能简洁地解决问题.推论若M是椭圆的弦AB之中点,则直线OM与直线AB的斜率之积为定值.证明如图2所…     

高二数学单元测试(圆锥曲线)

一、选择题 (本题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 ,每小题给出的 4个选项中 ,只有一个是正确的 )1.若椭圆x216+y2b2 =1过点 ( -2 ,3 ) ,则其焦距为 (　　 )　　 (A) 2 5　　　　 (B) 2 3　　 (C) 45 (D) 432 .过点 ( 2 ,-2 )与双曲线x2 -2 y2 =2有公共渐近线的双曲线方程是 (　　 )　　 (A) x22 -y24=1　　 (B) x24-y22 =1　　 (C) y24-x22 =1(D) y22 -x24=13 .椭圆 x22 5 +y29=1上的一点M到左焦点F1的距离为 2 ,N是MF1 的中点 ,则｜ON｜等于 (　　 )　　 (A) 2　　 (B) 4　　 (C) 8　　 (D) 324.若抛物线 y2 =2px( p >2 )上一点到…     

利用不等式求函数最值常见错误剖析

在不等式 f(x)≤M(f(x)≥M)中 ,若等号成立 ,则函数 f(x)有最大 (小 )值 M,等号成立的条件就是函数 f (x)取得最大 (小 )值的条件 .但在实际解题中 ,学生往往忽视等号成立的条件 ,从而得出错误的结论 .下面举例说明 .1　运用有关的定理、性质时忽视了等号成立的条件例 1　求函数 y =x2 4 x2 - 8x 17的最小值 .错解　y=x2 4 (x- 4) 2 1,设 z1 =x 2 i,z2 =(x- 4) i,则y=| z1 | | z2 |≥ | z1 - z2 | =| (x 2 i) -[(x- 4) i]| =| 4 i| =17.分析　运用复数模的性质时 ,忽视了等号成立的条件 .上式中的等号成立的充要条件是 z…     

2006年高考模拟题（一）

一、选择题:1.设集合M={x|x=3m+1,m∈Z},N={y|y=3n+2,n∈Z},若x0∈M、y0∈N,则x0y0与集合M、N的关系是().A.x0y0∈MB.x0y0MC.x0y0∈ND.x0y0N2.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于().A.-21a+23bB.21a-23bC.23a-21bD.-23a+21b3.双曲线xa22-by22=1和椭圆mx22+by22=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么,以a、b、m为边长的三角形是().A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形4.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0相似文献   

一个命题 两个应用

命题:若直线y=kx+m与双曲线x2/a2-y2/b2=1相交于A,B两点,M(x0,y0)为AB的中点,则b2x0-ka2y0=0. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y2-y1/x2-x1=k 由于A、B两点在双曲线上得: x12/a2-y12/b2=1 ①,x22/a2-y22/b2=1②     

对一元二次方程根的研究所得

关于一元二次方程的两根之和m=x1 x2=-ab、两根之积n=x1x2=ac是大家都熟悉的,那么一元二次方程的两根之比λ和两根之差d与系数的关系又是怎样的呢?经过探索,可得定理1如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0,c≠0)得两根之比为λ,则有(λ 1)2λ=abc2.证明由题设得(λ λ1)2=λ2 2λ 1λ=λ 1λ 2=xx12 xx12 2=x12 2x1x2 x22x1x2=(x1x 1xx22)2将韦达定理代入(1)得(λ λ1)2=(-cab)2a=abc2.定理2如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)两根之差的绝对值为d,则有d=|aδ|(其中δ=b2-4ac).证明对称性,不妨设x1=21a(-b b2-4ac),x2=21a(-b-b2-4ac),所以d=|x1-x…     

圆锥曲线切线的又一性质

在高三数学复习教学中,遇到如下的一个问题:如图1,已知抛物线C:y=x2,过点P(0,2)的直线交抛物线于M、N两点,曲线C在点M、N处的切线交点为Q,求证:点Q必在同一条直线上.证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1=x21,y2=x22,过点M,N的切线方程为联立得y-x21=2x1(x-x1)y-x22=2x2(x-x2),解得x=     

2004年四川省初中数学联赛

一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1.若x <- 2 ,则y =|1- |1 x||等于 (　　 ) .(A) 2 x　 ”(B) - 2 -x　 ”(C)x　 ”(D) -x图 12 .如图 1,M是△ABC的边BC的中点 ,AN平分∠BAC ,BN⊥AN于点N ,且AB =10 ,BC =15 ,MN =3.则△ABC的周长等于(　　 ) .(A) 38　　 (B) 39　　 (C) 4 0　　 (D) 4 13.植树节时 ,某班平均每人植树 6棵 .如果只由女同学完成 ,每人应植树 15棵 ;如果只由男同学完成 ,每人应植树 (　　 )棵 .(A) 9　　 (B) 10　　 (C) 12　　 (D) 144 .已知a =2 - 5 ,b =5 - 2 ,c=5 - 2 5 .那么 ,a、b、c的大小顺…     

代数自我检测题(二)

一、选择题(每小题4个选项中只有1个是正确的,每小题5分,共60分.)1.集合M={x|x=kπ/2 π/4,k∈Z},N={x|x=kπ/4 π/2,k∈Z},则( ). A M=N; B M(?)N; C M(?)N;D M∩N=∮2.在△ABC中,已知c=3,∠C=60°,a b=5,则cos (A-B)/2的值为( ). A 5/12; B 2/3; C 3/4;D 5/63.(理)使π arccosx≥2arccos(-x)成立的x的取值范围是( ).     

集合与简易逻辑知识测试题

一、选择题1.若集合M=y｜y=2~(-x)｝,P=｛y｜y=(x-1)/2｝,则M∩P=A.｛y｜y>1｝B.｛y｜y≥1｝C.｛y｜y>0｝D.｛y｜y≥0｝2.已知集合I,P,Q满足I=P∪Q=｛0,1,2,3,4｝,P∩Q=｛1,3｝,则(P∪Q)∩(P∪Q)=A.｛0,1,3｝B.｛1,2,4｝C.｛0,2,4｝D.｛1,3,4｝3.集合M=｛x｜x=kπ/2+π4,k∈R｝,N=｛x｜x=kπ4+π2,k∈R｝,则A.M=N B.M劢N C.M奂N D.M∩N=覫4.设全集I=｛(x,y)｜x,y∈R｝,集合M=｛(x,y)｜y-3x-2=1｝,N=｛(x,y)｜y≠x+1｝,那么M∪N=A.覫B.｛(2,3)｝C.(2,3)D.｛(x,y)｜y=x+1｝5.已知集合M=｛a2,a+1,-3｝,N=｛a-3,2a-1,a2+1…     

三角形面积公式的向量形式及应用举例

一、面积公式结论1在平面直角坐标系xOy中,已知点A(x1,y1)、B(x2,y2),则ΔAOB的面积为S=1/2|x1y2-x2y1|.证法1利用S=1/2ah易知直线OA的方程为y1X-x1y=0,点B到直线OA的距离d=|x1y2-x2y1|/√x1^2+y1^2.     

2002年全国各省市中考数学试题选编

<正> 1.(江西省)若m、n互为相反数,则|m-1+n|=____.2.(宁夏)如果x-y=22/1,那么|2-x+y|=____.3.(呼和浩特)要使( -2)-1有意义,则x的取值范围是____.4.(黄冈市)若x= +1,则代数式x+3/x-1·x+1/x2+4x+3的值等于     

椭圆与双曲线的一个重要性质

已知ABC的3个顶点都在⊙O上,且A,B两点关于圆心O对称.设直线AC的斜率为k1,直线BC的斜率为k2,则有k1k2=-1.通过类比的分析,易证对椭圆、双曲线亦有类似的结论.命题已知ABC的3个顶点都在椭圆x2m+yn2=1上,且A,B两点关于原点O对称,设直线AC的斜率为k1,直线BC的斜率为k2,则k1·k2=-mn.证明设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),又设C(x2,y2),则由点A、C在椭圆上得x12m+yn21=1,①x22m+yn22=1.②②-①,得(x2-x1)m(x1+x2)+(y2-y1)n(y1+y2)=0.∴yx22++yx11·xy22--xy11=-mn.又k1=xy22--yx11,k2=xy22++xy11,∴k1·k2=-mn.例设M是椭圆C:1x22+y42=1上的…     

再谈编拟习题时应注意问题的存在性

<正>拙文[1]通过9道例题阐述了"编拟习题时应注意问题的存在性"的观点,本文再通过7道例题进一步阐述这一观点.例1 (《中学数学杂志》2018年第11期第37页变题3)若函数f(x)=ln((x²)(1/2)-x)+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=     

构造复数巧解题

有些数学题.如果直接从条件到结论用定势思维去探求解题途径比较困难时,可以根据题设及其特点,构造出复数,从而得到独特的解题方法,使问题化难为易.例1 求函数 f(x)=(9 x~2)~(1/2) ((4 (5-x~2)))~(1/2)的值域.分析:可将根式的问题,通过构造复数化成模的有关问题.解:构造复数 z_1=3 xi,z_2=2 (5-x)i则 f(x)=(?)|z_1| |z_2|≥|z_1 z_2|=|3 xi 2 (5-x)i|