一道三角形面积最小值问题的解法研讨

题目已知△ABC,∠A=π/3,内切圆半径为1,求ΔABC面积的最小值.这是2020年12月河北衡水中学模考试题第17题,笔者给出它的多种解法,供大家学习.解法1:如图1,设△ABC的内切圆圆心为I,圆与三边的切点分别为D,E,F,由切线长定理可得∠FAI=π/6,AE=AF=√3,设三角形三边长分别为a.     

一题两解的启示

九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r. 解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO. ∵SΔAOC=1/2AC·r SΔBOC=1/2 BC·r S△AOB=1/2AB·r ∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c) 又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab ∴1/2r( a+b+c)=1/2ab ∴r=ab/a+b+c 解法二:利用切线长性质求 作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形.     

一个几何极值问题的再拓广

文[1]给出了一道调研试题如下:问题 在直角ΔABC中,AC=4,AB=3,点P是斜边BC上不同于B、C的任意一点,点P在直角边AB、AC上的射影分别为F、E,则ΔPCE和ΔPBF的面积之和的最小值为_.文[1]作者注意到当P为BC中点时,ΔPCE和ΔPBF的面积之和取到最小值3,且刚好为ΔABC面积的一半,从而根据平行关系PF∥AC、PE∥AB,推广此题得到了非常优美的结论如下:命题1 已知点P是ΔABC的边BC上的任意一点(不同于B、C),经过P分别引AB、AC的平行线PE、PF,记ΔPCE和ΔPBF的面积和为S,ΔABC的面积为S0,则当P为BC的中点时,S取到最小值 S0/2 .     

三角与数列试题精选

1.在ΔABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。已知bcosC+ccosB=-4cosA,a=2。(1)求角A的大小;(2)若ΔABC的面积为√3、3,求△ABC的周长。     

外森比克不等式的一个有趣加强

设△ABC的三边长为a、b、c,面积为Δ,则a2 b2 c2≥43Δ①这是著名的外森比克(Weisenblk)不等式.现给出它的一个有趣的加强,即命题在△ABC中,三边长为a、b、c,面积为Δ,则2ab c2≥43Δ (a-b)2②证明在△ABC中,根据面积公式及余弦定理,有Δ=21absinc,c2-a2-b2=-2abcosc.所以2ab     

Milosevic不等式的一个类似结论

设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径、半周长与面积分别为a,b,c,R,r,s,Δ,∑表示循环求和.引理1在△ABC中,有Δ=abc/4R=sr=s(s-a)(s-b)(s-c);∑ab=s²+4Rr+r²;sin A/2=(s-b)(s-c)/bc.     

2010年莫斯科大学数学力学系入学考试试题解答

第1卷1解方程组2解不等式（1-x）/x>（（3x-2）/（3x+4））^1/2.3求函数f（x）=4/（3cos²x+2sin x-1）的最小正函数值.4如果已知在ΔABC中,∠ABC=π/（12）,BC=5,2AC>AB,中线CD与三角形的边AC所成的角为（5π）/12,求这个三角形的面积.     

三角形外接正三角形的最大面积

命题 设ΔABC的面积为Δ，三边长分别为a、b,c.则ΔABC的外接正三角形的最大面积为（）     

三角形的旁切圆切点三角形的一个性质

定理设ΔABC的内角A，B，C所对的旁切圆与三边所在直线相切的切点构成的三角形的面积依次为ΔA，ΔB，△C，且记BC=a，CA=b，AB=c，p=1/2（a＋b＋c），ΔABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为△，R，r，则有     

一道联赛试题的解题思考

图1设O点在△ABC内部,且有 OA 2 OB 3 OC=0.则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( ). (A)2 (B)(3)/(2) (C)3 (D)(5)/(3) 这是2004年全国高中学联赛中的一个试题,其解法精巧,回味隽永.本人经探索得到一些很有意思的结论.     

费恩斯列尔——哈德维格尔不等式的推进

<正>众所周知,在三角形中有著名的外森比克(Weitzenbock’ sinequatily)不等式(以下简称"W不等式"):在△ABC中,a,b,c为其三边长,Δ为其面积(本文下同),则a²+b2+b²+c2+c²2^≥4+3≥4+3^(1/2)Δ(1)     

正棱锥体积的最值问题

人教社高级中学课本第62页第2题练习了正三、正四及正六棱锥体积的问题,对本题深入研究,发现了正 n棱锥体积计算公式和一般性结论.以下先给出正三、正四及正六棱锥的体积.已知以下各正棱的底边长为 a,侧棱长为 b,求其体积.对于正三棱锥 P-ABC,过顶点 P 作底面ΔABC 的垂线 PO,垂足为 O.则 O 为ΔABC 的中心,连结 AO 并延长交 BC 于 D,D 为 BC 的中点,AD 为等边三角形 ABC 的 BC边上的中线,在ΔABC 中,AD=3~((1/2)/2)a,AO=(2/3)AD=     

两类几何题的求解方法

在初中数学竞赛中,对于下面两类试题,学生往往难于着手,实际上,利用图形的旋转变换,常能得出简捷的解法.一与正三角形(或其外接圆上)一点有关的几何命题,常可用三角形的旋转变换来解决.例1 P 是正ΔABC 内一点,且 PA=5,PB=4,PC=3,求ΔABC 的边长.(浙江省第     

对一道三角形面积最值问题的探究

一、问题呈现问题在ΔABC中,已知BC=2,且|3AB+2AC|=10,则ΔABC面积的最大值为______.本题叙述简洁,内涵丰富,考查了解三角形、余弦定理、面积公式、函数最值、平面向量等高中主干知识,解答视角宽,具有较强的典型性和探究性,有一定难度和区分度.解决问题的关键是对模长的多角度处理,过程涉及转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想等的运用.     

08年高考试题研究 7．江苏卷理科第13题

题目满足条件AB=2,AC=2^1/2BC的△ABC的面积的最大值为_<sub><sub>.分析初看本题平淡无奇,深入探讨后发现本题内涵丰富.易想到公式S_△ABC= 1/2absinC,即解法1,但过程略显繁琐;解法2是解析法,一般学生不容易想到,而用解析法,方     

三角形面积的简捷求法

在解析几何中,已知平面坐标系上三点A、B、C的坐标,求△ABC的面积的习题很多。许多书及资料都用行列式或用构造几何图形求解.如求以A(4,8),B(-1,4),C(7,1)为顶点的△ABC的面积(行列式解法略,因行列式高中学生基本不学)。则S△矩形PQCS=8×7=56,S△PAB=5×4/2=10。S△BQC=8×3/2=12,S△ASC=3×7/2=10.5。∴S△ABC=56-(10 1 10.5)=23.5     

几何中的面积问题

<正>面积问题是几何中常见的问题之一,一般都会转化为三角形的面积来求,本文就来谈谈这类问题的解法。例1在△ABC中,AB=4cm,AC=3cm,∠BAC的角平分线AD=2cm,求此三角形的面积。解:如图1,在△ABC中,设∠BAC=α,S_(△ABC)=S_(△ADC)+S_(△ADB)。所以1/2AB·AC·sinα=1/2AC·     

动脑筋

育英中学数学园地有奖征解试题:“在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC,CE⊥AB,D、E为垂足,BC=2(3~(1/2))cm,S_ΔABC=8cm~2,求DE与S_ΔADE的值。小明求得答案DE=3~(1/2)cm,S_ΔADE=2cm~2,试鉴别正误,并阐述理由”。     

一个不等式的加强

1938年,费恩斯列尔——啥德维格尔提出了如下的不等式: 设ΔABC的三边为a、b、c,面积为Δ,则 a~2+b~2+c~2≥4(3~(1/2))Δ+(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2 (1) 其中等号当且仅当a=6=c时成立。 1983年,王玉怀首次把不等     

Pedoe不等式的再推广

设a,b,c,Δ与a′,b′,c′,Δ′分别代表△ABC与△A′B′C′的三边与面积,则著名的Pedoe不等式是: a′~2(-a~2+b~2+c~2)+b′~2(a~2-b~2+c~2)+c′~2(a~2+b~2-c~2)≥16ΔΔ′,式中等号当且仅当△ABC∽△A′B′C′时成立。文[1]证明了: 设△.表示a~(1/2),b~(1/2),c~(1/2)组成的三角形的面积,则有