一道三角题的引申

题目已知sinαcosβ=-1/2,求cosαsinβ的取值范围.引申1已知sinαcosβ=α,cosαsinβ=b,则|a|+|b|≤1,当且仅当sin~2α+sin~2β=1时等号成立.证明|a|+|b| =|sinα||cosβ|+|cosα||sinβ|≤(sin~2α+cos~2β)/2+(cos~2α+sin~2β)/2=1,     

从一道课本例题到一类高考试题--兼谈"辅助角"法在三角解题中的应用

《全日制普通高中教科书·数学》第一册(下)P39例5是一道关于三角函数的证明题:“求证cosα+3sinα=2sin(6π+α)”.这道例题看起来平淡无奇,但实质上内涵丰富,令人回味无穷.从证明方法上看,既可以从左向右证,也可以从右向左证,灵活多变.如果换一个角度思考,还可以将证得的结论进行引申推广,得到:“asinα+bcosα=a2+b2sin(α+),其中tan=ab,称为辅助角,它与点(a,b)同象限”.事实上,asinα+bcosα=a2+b2(aa2+b2sinα+a2b+b2cosα),令a2a+b2=cos,ba2+b2=sin,则asinα+bcosα=a2+b2(sinαcos+cosαsin)=a2+b2sin(α+),并且tan…     

例说三角形中取值范围问题的精准界定

<正>一、问题与解答问题在锐角三角形ABC中，已知A,B,C分别为△ABC三边a,b,c所对的角，且■(1)求角B的大小;(2)若b=2■，求a+c的取值范围．解(1)由条件得bcos A+acos B=■bsin C，再运用正弦定理，得sin Bcos A+sin Acos B=■sin Bsin C，即sin(A+B)=■sin Bsin C，亦即sin C=■sin Bsin C，     

多元变量函数的求解方法

题目函数f(x)=|x2+2x-1|,a相似文献   

构建一元二次方程解题

<正> 构造法是数学竞赛中常用的解题方法.本文举例说明,如何构造与一元二次方程有关的教学模型解答相关教学问题. 一、构建一元二次方程根的判别式模型例1 已知实数a、b满足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2,那么t的取值范围是__.(2001年TI杯初中数学竞赛题)     

一道习题的错解及反思

有这样一道习题:已知sin2a+sinβ+cos(α-β)=2,求sina+sinβ的取值范围. 错解:令u=sinα+sinβ,则u2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ又sin2α+sin2β+cos(α-β)=2,所以U2-2=2sinαsinβ-cos(α-β)=-cos(α+β).u2=2-cos(α+β),从而1≤u2≤3,解得-3~(1/2)≤u≤一1或1≤u≤3~(1/2). 这个答案看起来似乎简洁明了,分析透彻,但细细分析便会产生这样的疑问,即cos(α+β)能取[一1,1]上的所有值吗?     

渗透结构意识,例说一组不等式的应用

在不等式单元中,有这样一组重要不等式: a2+b2≥2ab(a、b∈R),a2+b2/2≥(a+b/2)2(a、b∈R),a2+b2+c2≥ab+bc+ac(a、b、c∈R)以及a+b/2≥√ab(a、b∈R+).在这组不等式中,后三个不等式均是由第一个不等式推导出来的,其结构特点:①不等式左右两端同次幂,②具有对称性,③等号成立时的瞬时相等性.若将这组不等式联用、迭用或逆用,通过分析条件、研究结构、合理变形等手段,就能收到培养学生能力,开发学生智力,激活学生思维的效果.特别是它在解决一类有关最值、取值范围以及解证不等式等问题中解题效果尤为突出,现举例说明.     

例谈取点证题法

构造点的坐标 ,应用平面解析几何的公式或原理解题 ,是一个常用的解题的方法 .下面从几个方面加以说明 .1　应有两点间的距离公式求解例 1　已知在实数 m,n,a,b和角 θ之间成立关系式m sinθ- n cosθ=m2 +n2 ,(1)sin2 θa2 +cos2 θb2 =1m2 +n2 , (2 )求证 :m2a2 +n2b2 .证 :在平面上取两点 A (m ,- n) ,B (m2 +n2 sinθ,m 2 +n2 cosθ)均满足 (1) ,(2 ) ,于是 A,B两点间的距离为　 |AB|=m2 +n2 sinθ- m 2 +m2 +n2 cosθ+n 2=2 (m2 +n2 ) - 2 m2 +n2 (m sinθ- n cosθ) 2=0 .则 A,B两点重合 ,从而m2 +n2 sinθ=m,m2 +n2 cosθ=- n,代…     

辅助角公式在解题中的应用

我们知道,辅助角公式asinx+bcosx=(a2+b2)(1/2)sin(x+φ)(其中a、b是不为零的实数,φ角由cosφ=a/(a2+b2)(1/2),sinφ=b/(a2+b2)(1/2)确定),能将某些函数化成y=Asin(ωx+φ)+     

一类三角形问题的两种常规解法

三角形的问题一直是高考的重点,纵观多年的高考试卷,很多题目都是围绕三角形的角和边进行拓展,如何解决这一类的问题,严谨踏实不丢分,作者凭借多年的经验提出精彩的阐述,希望对同学们有所帮助.题:△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,tan C=sin A+sin B cos A+cos B,(1)求角C的大小;(2)若△ABC外接圆的直径为1,求a2+b2的取值范围.这是一道高三复习三角知识时     

三角代换在解一类不等式问题中的应用

三角代换巧解不等式问题,即根据题目的特点,选取恰当的三角代换,能达到化难为易,化繁为简的目的,它是解不等式问题常用的方法,现举例说明. 例1 已知a,b,x,y∈R,且a2 +b2＝1,x2+y2=1,求ax+ by的范围. 解:通过观察已知条件我们不难发现:令{a=sinα,b=cosα,{x=sinβ,y=cosβ,则ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β).     

椭圆双曲线离心率的三角表达式及其应用

设椭圆、双曲线的方程分别是b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a >b>0 ) ,b2 x2 -a2 y2 =a2 b2 (a >0 ,b>0 ) ,且P为其图像上的一点 ,∠PF1F2 =α ,∠PF2 F1=β(0 <α <π ,0 <β<π ,F1、F2 为其焦点 ) ,则它们离心率的三角表达式分别为(1)　e椭圆 =sin(α+ β)sinα +sinβ;(2 )　e双曲线 =sin(α + β)｜sinα -sinβ｜.证明　如图 1,∵e椭圆 =ca =2c2a =｜F1F2 ｜｜PF1｜+｜PF2 ｜=2Rsin(α+ β)2R(sinα+sinβ) =sin(α+ β)sinα+sinβ,∴e椭圆 =sin(α + β)sinα+sinβ.(2 )如图 2 ,∵e双曲线 =ca =｜F1F2 ｜｜｜PF1｜-｜PF2 ｜｜=2R…     

变式视角 类错辨析

<正>1两种解法都正确吗问题设函数f(x)=|lgx|,若a≠b,且f(a)=f(b),求a+b的取值范围.解法1由已知不妨设a1.因为f(a)=f(b),所以lga=lgb.所以-lga=lgb,lga+lgb=0.所以lgab=0,ab=1.所以a+b≥2(ab)^(1/2)=21=2.因为a≠b,所以上式取不到"="号.所以a+b的取值范围为(2,+∞).反思这是很多数学参考资料中的解答.仔细思考这种解法严密吗?(a+b)取不到2就能得出(a+b)的取值范围为(2,+∞)吗?大于2的一切实数都能取得到吗?     

错在哪里

题　在△ABC中 ,∠A =80° ,a2 =b(b +c) ,求∠B。解　在△ABC中 ,cosB =a2 +c2 -b22ac =c2 +bc2ac =c +b2a ,所以b +c=2acosB ,故a2 =b(b+c) =b·2acosB ,a =2bcosB ,即sinA =2sinB·cosB =sin2B。考虑到∠A的值及 2∠B的范围 ,可得 :∠A =2∠B或∠A +2∠B =1 80°,故∠B =40°或∠B =5 0°。解答错了 !错在哪里 ?我们检验一下 ,当∠B =5 0°时 ,∠C =5 0° ,可得b =c。故a2 =b(b +c) =b2 +c2 ,此三角形应为直角三角形 ,且∠A应等于 90°,与已知条件矛盾。问题出在哪里呢 ?实际上由b +c =2acosB到a =2bcosB为同一条件叠代 ,是…     

不等式与平面向量第一轮复习测试题

一、选择题 1.若a＞0,b＞0,且2a+b=1,则S=2√ab-4a2-b2的最大值是( ). A.√2-1/2 B.√2-1 C.√2+1/2 D.√2+1 2.已知不等式m2+(cos2θ-5)m+4sin2θ≥0恒成立,则实数m的取值范围是( ). A.[0,4] B.[1,4] C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.[1,+∞)∪(-∞,0] 3.已知正方形ABCD的边长为,√2,→AB=a,→BC=b,→CA=c,则|a+b+c|等于( ). A.0 B.2 C.4 D.|b|=3√2 4.若对任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是( ). A.(-∞,-1) B.[-1,1] C.(-1,1) D.[1,+∞)     

双曲线条件的取值范围问题

初中数学学习中,经常遇到双曲线条件的取值范围问题.解答它们,除了灵活应用反比例函数的知识外,还要注意灵活应用不等式的知识.现举例如下:例1如图,A、B是双曲线y=kx的一个分支上的两点,且点B(a,b)在点A的左侧,则b的取值范围是.分析:由点B(a,b)在双曲线y=kx上,那么b=ka.要确定b的取值范围,应先求k的值和确定a的取值范围.     

错在哪里?

题目 已知函数f(x)=[lgx],若0＜a＜b,且f(a)=f(b),求a+2b的取值范围. 错解 由f(a)=f(b),,且0＜a＜b,得ab=1. 所以a+2b≥2√2ab=2√2,但是因为0＜a＜b,所以0＜a＜2b,故等号不成立, 因此a+2b＞ 2√2,即a+2b的取值范围为(2√2,+∞). 解答错了!错在哪里?     

挖掘习题特点 优化思维品质

有意识地利用习题的特点 ,对于培养学生良好的思维品质 ,逐步形成良好的数学观念 ,提高数学素养 ,具有十分重要意义 .下面就此谈谈本人看法和体会 .一、利用迷惑性 ,培养深刻性有些习题表象的迷惑性常使思维肤浅的学生误入歧途 ,因此表象的迷惑性有利于培养学生思维的深刻性 .【例 1】　已知 3sin2 α+2cos2 β =2sinα ,求sin2 α +cos2 β的取值范围 .错解 :由条件得cos2 β =sinα -32 sin2 α ,∴sin2 α+cos2 β =sin2 α+(sinα-32 sin2 α) =-12 (sinα -1 ) 2 +12 ,当sinα =-1时 ,sin2 α +cos2 β的最小值为 -32 ;当sinα =1时 ,s…     

一道全国初中数学竞赛题的多种解法

在数学竞赛中 ,我们常碰到根据条件确定代数式取值范围的问题 .解这类问题 ,除了运用一元二次方程、不等式等方面的知识 ,还要用到一些解题技巧 ,现结合一道竞赛题的多种解法 ,谈谈求解此类问题的一些常用的数学思想方法 .题目　已知实数 a,b满足 a2 + ab+ b2 =1 ,且 t=ab- a2 - b2 ,那么 t的取值范围是.( 2 0 0 1年全国初中数学竞赛题第 1 2题 )1　利用二元代换解题分析 1　利用二元代换将已知条件转化为二元二次齐次方程 ,再设法运用不等式的有关知识求取值范围 .解法 1　设 a=x+ y,b=x- y,则由已知得 ( x+ y) 2 + ( x+ y) ( x- y) + ( x-…     

不等式证明的两种巧法

不等式证明既是高中数学的重点,也是高中数学的难点。化归函数法、放缩法是技巧性较高的不等式证明方法.一、化归函数法例1、已知a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=1求证:-14FabcdF41分析:将已条件与sin2α+cos2α=1进行对照,可知本题能通过换元将原不等式问题转化为三角函数求值域的问题来解决.证明:设a=sinα,b=cosα,c=sinβ,d=cosβ]｜abcd｜=｜sinα·cosα·sinβ·cosβ｜=14｜sin2α·sin2β｜F14｜sin2α｜·｜sin2β｜F41]-14FabcdF41例2、求证:｜a｜+｜b｜1+｜a｜+｜b｜E1+｜a｜+a+b｜b｜分析:认真观察原不等式两边,不难发现它们…