每期一题

题:设a、b、c是三个非负实数,求证:亿歹干歹十侧护不奄豆十了歹不砰》侧万(a+b+c)。 证法一(代数法) ,.’a、b、c为非负数,a’+bZ》Zab .’.2(a’+石“)》(a+b)2a’+b’>士(a+b)2 .’.亿石万下石牙>士侧丁(a千b)同理可得亿乒下毛1)士了丁(b+:) 了户百石下>去侧万(‘+a)三式相加得: 了压f不石万+训歹干砰+侧石厄下万1》士斌万(Za+Zb+Zc)二侧了(a+b+c)。 证法二(利用复数) 设z:二a+b‘::=乙+cfz。==e+ai .’.{之:卜了砰下矛}z:卜了孙不砰 }:3}二了户百石下 ,.’有不等式:}z:卜!z:卜}‘。]>}::+z:+x:} .’.侧aZ+cZ+亿b’+cZ+了eZ+a“=}:,}+…     

柯西平均值定理应用

不等式ai aZ十…十a。 ”>。,仅当。1二a:=一二o.均值定理。L》刀瓦不落二(a,aZ,…“。时上式取等号)称柯西平一、直接利用定理证不等式、,‘办、,__,In十1、.节组1口」吃习七几l尧尧、~一一石一一、】 、‘曲证:粼而「=刀不厄污不云《~1 2十3 二 ” 怜二” 1 2 一I” 1 nl尧眨,龟一一蕊~一一 ~、乙(仅当n二1时取等号)例2 .P>o,证明略。例3 .a,,a,,求证1 P PZ … P召”)(Zn 1)P.…,火>。,求证(al a: 一 。·)(一箭 公 … 一井)浏证:。,十。: 一 a’》”刀可云声云石止 止十…十一上》。刀二二二ala,。。一,o盆0.‘,·0.二式相乘即得二…     

W·Janous不等式新证

兰二2兰千兰二三兰X月一y y.十Z斗"设x、y、z任R千,求证:宜二z十妻0. 此不等式即为W·Ianou:的猜测不等式,许多数学刊物上曾介绍了这一猜测的多种证法,这里笔者再给出一种非常简明的证法. 证明:设少一扩一a,尸一少一b,则尹一扩~一(a b). 一X 倪一上. 一Z 一一 Z一Z津一y X一,‘ bx y22一夕2x y一。·(一共一卫一 艺州片工y门一z) b· llx yy z,,上共二,, b叹z十x八y十z)aZ b·(a b)Z—X(x y)(y z)(x y)(少 二)(z十x) 1,、,.3,,气a一卜-只户口)一~十一厂O“ 乙住(二 y)(〕, z)(z x)x,夕,二任R ,.’.(x 夕)(J, 二)(二 了)>0,于是yZ护…     

数学练习题(十二)解答

日T.设0《a,b,c(1,求证 a .b,c.,J_、,J,、,J、,J一丁-一丁一;尸一下-气二十下一一泞一二一下一一,十,丁-下一一,一下下,卞Li一a少LI一0少(i一‘少荟盏1。1十O十‘1十‘十al十“十口证设O‘a(b(‘(1,由于刁门+。+。)(z一。)(i一。)镇二工土兰土互立二里二兰上立上全曰-一2. J (1+a+乙)(1一a)(1一乙)(1. :、一1以{J Ll一a少气1一Uj尧;二~;兀不~厂. 1卞“勺卜U (1一a)(1一b)(1一e 一1一C1妥》、— 一1十a+b工一a1一+1一万+(1一“)(1一b)(1一c)(1a+b+e气万一一一不面一十气1一1~卜a十Oa)(1一乙)(1一c)(1.石一否一 一 一 a1+b+e 1+1十C+…     

用“和式换元”证明分式不等式(高二、高三)

例1已知a,b,:eR ,且所以_一_.{b cc aa blU芝之入味,”nn气—,一飞一一,—了· 叹a OC夕 a bc~3水证:扩片一了一气万十了气甲了一一育玄十丁节尸夏甲一一育丁多万二丁丁. U~1一‘—八“‘门,以—八口以~「口—八‘。八弃去瑞十拜六丽 并食不踌韶瑞(笋分韵一备证明设b ‘一从~x, c a一劝一y,杯十百一知、示击而 3 1十久 32一久故原不等式成立./‘吐‘、1 十沱、、吸月乎尹则好淤器瑞例2设“、eR “一l,2,…,动,k)1.求证: 挥 y z(2一久)(1十久) x y十琴(2一久)(l卡久) 0(又<2, a1即十a3十…十嘶十(-下份群匕一 人al.月,a3州户.…乍a陀十… …     

1990年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试题及解答

一、选择题 1.若a,b,c三数满足关系a<右<0<:且};!>。,则 la ‘卜了砂干户十。2 Zab一Za‘一2乙e等于(). (A)Za 右.(B)Zc一西- (C)乃一2 e.(D)一Za一b. 2.设M二了示不石乏不~产,其中a,b为相邻整数,‘=a·b,则M()。 (A)必是偶数.(B)必是奇数. (C)为无理数。 (D)可能为奇数,也可能为偶数. 3.△ABC的三边分别为a二2,乙=2了万,。“亿百 侧万,则能覆盖住这个三角形的最小圆纸片的面积是(). (人)2二。(B)4厂.(C)2侧丁军。 (D)(2 训丁),- 4.已知19;=1.02,则0.010·“‘的值是(). ,一__‘1叹A)“·弋b)IUa·(乞)16云.(D)一1 5.暗室里红、绿…     

Hlder不等式的巧用

这是熟知的著名不等式—H61der不等式a,m牛a,,产‘+…+a_’“_/a,+aZ+一+a.、成 刀一\月I此处:a*(R+,i=1,2,…,:,。、,:(N.求证(瓦十会)’+(凡十士)三十二十(付彩 巧用H61der不等式,可以使一类代数、三角、只何不等式的证明显得特别简洁明燎.+资。)’知小十封’例1证明若正数a+b=1,则a‘。一卜b,‘,》512一,.依H6lder不等式,aio+b‘o 2、/a+b\10户多妞--气二-~I一、乙j证明依H6lder不等式,了K.+李丫、.了K,长上)’一。,.r汀人一。一1、、一二‘K:/‘、一“凡/’‘又一“‘龙/ 打卫K 1.‘不丁= 11024’!“才 一 一 一。。‘二al。+b10…     

一题多解 各显特色

尸夕屯习‘Z雀沙门-z门声畏二. 已知正数a,b满足ab~a+b十3,求动的最小值. 一、配项法 解:已知条件可化为(a一1)(b一1)一4 又‘:a,b为正数,易知a>1,b>1,而 ab一a+b十3=(a一1)+(b一1)十5 )2了(a一1)(b一1)+5二9 当a一1一b一1时, 即a二b一3时,ab取得最小值9 二、直接运用均值不等式 解:‘:a,b都为正数, :.ab一a十b十3)2、/丽.十3 解得:斌丽)3或甲丽(一1(舍去) 当a一b二3时,ab取得最小值为9. 三、方程法 解:设ab二t,则a十b“‘一3 :.a,b是关于x方程尹一(t一3)x十t二O的两个实数根 .’.乙~(t一3)’一4t)o, 解之得t)9或t成一l(舍去) :.当a~b一3时…     

证明不等式的若干技巧

一、放缩法例1.。>O,6>O,求证鹦》(碧~)’‘铲/征明:a. b。 2 1 Fla b.=不.‘~一1犷-一宁 艺L\乙夔 2.la b一a一b\门_la b\,个几~气下下一~甲一飞犷一刀.~屯一一万一一叫, 、“IJ、‘l二la 石\一,la一b c‘.又一厄一)火份了一\:._/a 乙\“.十.‘坛多‘~一下一1,、‘/. 二、合成一一将若千不等式相加或相乘 例2。在众ABC中,求证abe)8(P一a)(P一6)‘,一e).其中,一告(a “ 。). 证;aZ)。,一(b一c)2>0,护)bZ一(e一a)2)o沙李价一(。一吞),>。,三式相乘取算术根得 abC》(a b一e、(b e一a)(c a一b)二8(P一a少·(P一b)(户一c). 三、配方 例3.…     

数学问题解答(选译自(苏)初等数学习题集)

1.指出,对于任意自然数n,有将以上不等式相加,得典一琦一琴 …*-2‘3‘1厂<旦卫 ll1 .11二1/‘1砰十乎十班十“’十平火1一万=n一1111 一一证明,因为<共 1.乙 1一丁’所以22 l,1-二歹一峨几、又一万O一乙.j万一万’琴灯一工4‘’3一414’岁·矗·扣…乒<宁一2.化简、‘X ·,‘XZ 一)…(xZn一‘ 。2“一‘),.一八Q若x年a,则(x、a)(xZ a“)1,1吸、牙甲一.下二一一二 气fi一1少1111n一In·…了Zn一‘2’‘一‘、 \X a/犷 /Zn一‘2飞一’、(x一a)(x a)(x乙 a‘)…\x、a/_(xZ一a“)(x“ a“)(x名 a弓)…/2九一‘2几一‘\、·x a/X一aX一a,…     

循环小数理论的一个应用

设x=a,a:…a。,夕二b、,,…b。(a,,6,为数码),。为自然数,叮二xxlo,一‘+梦·如果 Me=夕X 10片+x,那么M是将x八10七一。){七为(纯)循环小数时的一个循环节(不唯一). 证:设。为以M为循环节的纯循环小数,则。二0.万1…。、。、十,…‘。,:az…a、b‘.+x…b,、 9…99…9OC二ax…a、b、十x…b。g…99…9又f(2 X 10伟一左+夕): 99…9夕卫夕性士兰_b:,1…b,al…a99…99…99…9二0b*+l…b,al…1戈)念。=al、一a、.b召舜,、1…b:ax…a*, …(10全一e)。即。=二/(10公一c)二al”’a远二X 例.形如42…;长此数.的数乘以2,42移到末尾,由定理知:=42,论…     

从贝努利不等式谈起

为了引用方使一爵先写出苦名的平均值不等式,(B、当a〔。次〔:卜!叶钾作为定理1如粱a;,a:,…,a:邻是正数al斗·0。 …十“,。_~_ ~‘~~冬,-一一不一—价、al。:…a、al人十a‘十几’李”叭十己2 …十。、仅当口一。:一·一a时取炸号. “如果1 叉>0.则不等式(l x)”诊1平:二成立     

高一数学《集合与简易逻辑》单元检测试题

一、选择题(四选一)1.设集合M一丈二{x一k .1,_下干十一了,左份z全乙住 kl_、~,N一{x!丈一令十音,k任封,则() 4’2”一、-·,、二、 (A)M=N(B)八左仁N (C)MDN(D)M门N一中 2.不等式(1+x)(1一{x})>O的解集是() (A){xl一1<二<1} (B)琦x!二相似文献   

等差数列的一个定理及其应用

定理:设{a。}是等差数列,且p, P: P3 … P二~叮, 口: 口3 … g,(其中P,、P:、P3、…、P。,,1刃2、宁3、…、口.及m均是自然数),则a,, a户2 a,3 ’二 a户二一aoz aoZ ao3 ’‘’ a;二· 证明:设等差数列{a。}的公差为d, 丫P, PZ P3 … P一ql qZ q3 … q,, ·‘·a户1 a一2 aps ”’ a,。 =〔a, (PI一1)d〕 〔a; (PZ一1)d〕 〔a: (P3一1)d〕 … 〔al (P,一1)d〕 一mal (Pl PZ 户3 … P,)d一md =mal十(91 92 93 … 口。)d一md 一〔al (口1一1)d〕 〔a, (口2一1)d〕 〔a, (93一1)d〕 … 〔a一 (q,一1)d〕 一a气 a勺十a、 …十a、· 上…     

关于各种平均值

容易证明如下不等式: sh劣(1)毒丽示茄犷<七h‘<‘<“hx,1_,_n、_<-万“川x,劣户人如(1)中各式取倒数,则不等号全反 l了向·现设‘=‘叼不这里。<“<吞,并乘以合‘”一a,,则有 2万一一一丁2碑产/一了玉/o一a/a士o主十今~ao\云而二1而\一2-口O la么+b“ <厂一畜一。即由小到大排列为:调和平均,几何平均,对数平均,算术平均和二次幂平均. (译自The Ame,.Math.Mo.thl歹. 1985(1)P50) (译者单位:邮电部520计算中心)关于各种平均值@宗毅$邮电部520计算中心~~…     

2003年11月号“初二数学潜能系列知识竞赛(4)”答案

1。CZ。A3。C4。DS。B6一3 7.670 8.(2x+y一l)(x+3少+5)9.略10.2、11.延长BC到F,使C石七刀E,联结A厂在Rt△AC户、和Rt△召百刀中, AC=BE,C声’== DE, △AC声,哭△BED,A石’= BD,乙双刁C二乙B.又乙B十乙召月C=900,故乙声刀C+乙召八C二900,△刀月F为直角三角形.因为刀e+。君=2刀刀.故刀c+c作劲只即A凡工召厂 212.乙B=300. 。、b、c是△ABC的三边长,且a一bl+口6 b一e十、…万一 1咔.OC+二上卫 1十c。=0 a、b、e均为正数,且(a--b)(l+be)(l+ea)+(b一e)(l+ab)(l+ea)+(e一a)(1+ab)(l+be)=0. 而(a一b)(l+be)(l+ea)=a一b+aZc一bZ…     

04年河北省初中数学竞赛预赛试题(初二、初三)

1_计笠—止1一一一-二一一亘一—二放,从上拄下依次为第1层、第2层、第3层、.,’. 一(。一b)(。一。)’(b一c)(b一a)’则第2004层正方体的个数是()万丁丽不二丽的结果是()(A)2009010·(B)2005000. (C)2007005.(D)2004. 2a/一、2b二--一一’一,一1 (A)万二拭汾二下.(B)二二节炭一.7.当x~2,;一8时, 又a一b)(a一c)一’一’(a一b)(b一c)’‘’=山一‘’少一u”,’ …、2。_、_/。.。1。./,.。.1。 (娜万二二二不王二二万;.(D)。.心护十x‘y十丁xy乙叔/厂十xy之十于护y (a一c)(b一c)‘、一一”V“’4一J”了‘一了’4‘了 2.已知四边形四条边…     

05年高考数学模拟试题(4)

一、选择题1.已知a>b>0,全集为R,集合、l、l才飞J.少、.、J入口一a一叼力土丁一O口\、/了:一{小<二<旦 F~{x}石荡相似文献   

巧代换证一个不等式

文[lj有如下不等式: 设a,b.‘是正数,证明 了a乃(a 办) 了l,c(。 。) 了e。(‘ 。) >了(a 占)(乃 ‘)(‘ a). 证明:设二~a十b,y~b十‘,二一‘ a.则以x,y,z为边可组成一个三角形ABC,在此三角形中,.A厅二石玩 艺V艺同理可得:丫石不气耳而丫石丁端是石而 一一召一2 一一e一2 n S因为在三角形ABC中, A二B二C_s一n~或尸十sln下~十sln刃了声夕1. 乙‘乙所以丫万万丁斋~而 丫而轰干丽十丫砰揣汗丽>1·两边同乘/(。 占)(吞 c)(c a)即得:石蔽不而下 石欲万平不 石蔽万不石了巧代换证一个不等式@邓重阳$杭州第四中学高中数学组!310002~~1 苏…     

高二上学期数学综合练习题

一、选择题1.已知实数。、l)、‘满足午;一‘,一6一七,,撇2,。一b一4一1。一卜。‘2,则‘,、/)、〔的大小关系是21(D)(1,了~丁)8.直线y一 1.~一不丁X十乙 J的倾斜角是().arctan(一告,ar。t二合二+·rot一(一告,,一arot一(一告,、,户、夕、产A BC了、了、rr、 (A)c)b>a(B)a>e异b (C)e>b>a(D)a>e>b 2.设a、b为实数,且a十b一3,则2‘+2“的最小值为(). (A)6(B)4了沪万 (C)2丫一丁(D)8 3.如果直线ax+Zy+2一。与直线3x一y一2~0平行,那么系数a~ (A)一3(B)一6(D) 一、2气IJ)下了 J3一2 一 C 4.不等式牟>}异}且x>。的解集 P‘”’“、3+一…