三角形的欧拉线

(本讲适合初中)任意三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线,并且GOHG=12.这就是三角形的欧拉线的定义及性质.欧拉线是一条直线.掌握欧拉线性质须注意两点:(1)外心、重心、垂心三点共线;(2)定比1∶2.欧拉线的常用表示法有三种:(1)外心、垂心法,即欧拉线OH;(2)外心、重心法,即欧拉     

三角形外心的性质及其应用

1　基础知识三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心 .外心有如下一系列优美性质 :性质 1　三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点 ;三角形的外心到三顶点的距离相等 ,反之亦然 .性质 2　设Ｏ为△ＡＢＣ的外心 ,则∠ＢＯＣ =2∠Ａ ,或∠ＢＯＣ =3 60° -2∠Ａ(还有两式 )     

三角形的五心及其应用

三角形的五心指的是外心、内心、重心、垂心、旁心,它们都是关于三角形的某三条特殊直线的巧合点。三角形五心各有特色,掌握了它们的定义、重要性质及隐含特征,对熟练应用五心来证明某些几何题是很有帮助的。一、外心 1.定义:三角形的三条边的垂直平分线的交点(即三角形外接圆的圆心),称为三角形的外心。 2.重要性质:外心与三角形三个顶点地距离相等。 3.隐含特征: (1)三角形的三条边就是外接圆的弦; (2)外心与各顶点连线将三角形分成三个等腰三角形; (3)由外心向各边作垂线,平分各边且平分各边所对的弧; (4)外心与各边中点连线必垂直于各边; (5)三角形任一边的垂直平分线必过其外心; (6)三角形的外心可能在三角形内部、外部或边上(如下图)。     

巧用三角形的外心解题

（本讲适合初中）三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,亦称为三角形的外心．有些平面几何问题,若能将其与外心联系起来,运用外心的性质,往往可以简便求解． 1知识简介 1．1外心的性质 性质1 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．     

三角形内外心连线一个性质的再研究

文[1]中给出了关于三边不全相等的三角形内外心连线的如下性质： 定理1 设O、I是不等边AABC的外心和内心,P为AABC所在平面内一点,     

例说三角形外心的定义及其向量表示

<正>三角形的外心是指三角形外接圆的圆心,它在高中教材上出现的次数并不多,因此学生往往不熟悉.本文从三角形的外心的定义和向量表示两方面入手,探寻解决相关三角形外心问题的办法.一、利用外心的定义解题例1如图1,在ABC中,O点是外接圆的圆心,AB=4,AC=3,则→AO·→BC=_____.     

三角形巧合点间的一些性质及应用

三角形的外心、内心、重心、垂心和旁心不妨称它们为巧合点 ,三角形的巧合点各自具有不同的有趣性质 ,这里仅介绍关联这些巧合点中的某些点或全体点的一些性质及应用的例子 .性质 1　三角形的任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍 .性质 2　三角形的内心和任一顶点的连线延长与三角形的外接圆相交 ,这个交点与外心的连线是这一顶点所对的边的中垂线 .性质 3　三角形的内心和任一顶点的连线 ,平分外心、该顶点和垂心依次连结所成的角 .性质 4　三角形的外心、垂心、重心三点共线 (欧拉线 ) ,且重心与垂心的距离是外心与重心距离的…     

有趣的“外心”与“垂心”

三角形的“外心”、“垂心”、“重心”共线,该直线称为欧拉线。欧拉线反映了三心之间的一种内在联系。三角形的“外心”、“垂心”、“重心”之间还有许多有趣的性质。 一、若△ABC的外心为O、重心为G、垂心为H,容易证明这三心之间的距离具有度量关系GH=2OG 二、若锐角△ABC的三边中点分别为D、E、F,△DEF的高线足分别为D′、E′、F′,容易证明△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的内心;若△ABC是钝角三角形,则△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的一个傍心。     

有关三角形外心的两个充要条件

文[1]作者给出了三角形外心的两个性质,笔者通过探究发现文[1]给出的两个性质的逆命题也是成立的,因此得到了有关三角形外心的两个充要条件.     

三角形对称外心的性质及其应用

关于三角形内特殊点的发现及其性质的挖掘 ,可见文 [1 ]和文 [2 ] ,经过研究 ,本文得到了三角形的对称外心的性质及其应用 .定义　设△ ABC的外心为 O,点 O关于边图 1BC、CA、AB的对称点分别为 A′、B′、C′,连接AA′、BB′、CC′,则 AA′、BB′、CC′相交于一点O′,称此点 O′为△ ABC的对称外心 .证明 :如图 1 ,由平行四边形 OBA′C对角线互相平分知 A′C∥ OB,且 AC′=OB,同理得AC′∥ OB,且 AC =DB,故四边形 AC′A′C是平行四边形 ,所以 AA′和 CC′相交于中点 O′,同理可知 BB′也过点 O′,所以 AA′、BB…     

关于三角形的两个性质的探究及应用

三角形的“五心”（内心、外心、垂心、重心、中心）是三角形知识的重要内容之一,关于它们的定义（形成）和性质已有很多结论及应用,但我在教学中发现的两个新性质：“三角形垂心到角的顶点的距离等于外心到该角对边距离的二倍”和“三角形的外心,重心,垂心三点共线”,将起到对该部分知识填补空白的作用.     

平面几何综合选讲

第一讲三角形的“五心”外心、内心、重心、垂心、旁心统称为三角形的五心.在各类竞赛中涉及五心的题目比比皆是.这里先复习五心的常用性质,再举例说明性质的应用. 1.外心     

架起代数与几何的桥梁

因为向量站在"知识的交汇处",试题的考查综合性就比较强,如在考查三角函数、立体几何、平面解析几何中通常将向量作为工具来使用.所以下面我们就来看几个向量与其它知识融汇交叉的试题,培养用平面向量解决问题的思维能力和思考习惯.一、平面向量在三角形里的运用例1(2012.连云港市高一期末联考.14)定理:三角形的外心0、重心G、垂心H依次在同一条直线(欧拉线)上,且(?)=(?)/3,其中外心O是三条边的中垂线的交点,重心G是三条边的中线的交点,垂心H是三条边的高的交点.如图:在△ABC中,AB>AC,AB>BC,M是边BC的中点,AH⊥BC(N是垂足),O是外心,G是重心,H是垂心,OM=1,则根据     

三角形部分概念和定理精析

一、概念辨析———三角形三条角平分线的性质与三边垂直平分线的性质的联系和区别区别:(1)名称不同:三角形角平分线的交点叫做三角形的内心;而三边垂直平分线的交点叫做三角形的外心.(2)性质不同:三角形角平分线的交点到三边的距离相等;而三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.(3)位置不同:三角形角平分线的交点总在形内;而垂直平分线的交点可能在形内,也可能在形外,还可能在线上.联系:(1)都交于一点;(2)等边三角形角平分线的交点是三边中垂线的交点.例1如图1,A、B、C三点表示三个村庄,为解决村民子女就近入学的问题,有关部门计划建…     

三角形“四心”向量形式的充要条件

在高考中,往往将"向量作为载体"对三角形的"四心"进行考查.一、三角形的"四心"定理内心:三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心.性质:到三边距离相等.外心:三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心.     

欧拉线的长度

众所周知,三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线,且2OG=GH,此线叫做欧拉线.现在我们用三角形的三边来表示这三点间的距离.     

三角形外心的新性质及其猜想

三角形有外心、内心、垂心、重心,它们都有许多重要的性质,在教学与研究中,笔者发现了它的新的而且非常有趣的性质,现介绍如下: 性质1:三角形外心关于各边的对称点所构成的三角形必与原三角形全等。 证明:设△ABC的外心为O,O关于边BC、CA、AB的对称点分别为O_1,O_2,O_3,记外接圆半径为R_o (1)当△ABC为锐角三角形时,O点在△ABC的内部,如图1 ∠O_2AO_3=2(α β)=2A O_2A=O_3A=OA=R 由余弦定理知: O_2O_3~2=O_2A~2 O_3A~2-2O_2A·O_3A·COS2A =2R~2-2R~2·COS2A =4R~28sin~2A     

四心与旁心的距离推出正三角形的条件

三角形有四心,内心、外心、重心、垂心．实验发现,四心中任一心与三旁心等距,原三角形是正三角形．现从等腰三角形着手研究此实验的正确性,文中涉及到的三角形记为AABC,内心为,,外心O,垂心日,重心M,两旁心B’和C’,第三旁心为A’．     

关于锐角三角形的一组有关面积的性质

三角形有许多重要的性质,而且应用相当广泛,本文介绍锐角三角形的一组有关面积的性质,并且用于解题。命题1 锐角三角形各项点与外心的连线的延长线交三角形外接圆于三点,这三点分别与三角形相邻的顶点构成三个三角形的面积之和等于原三角形的面积。     

三角形外心的两个结论及其运用

<正>笔者在解题研究时,发现关于三角形外心的一组向量结论.理解、记住此结论,对关于三角形外心的向量问题,可以使解题方向明确、解题思路清晰,从而快速解决问题.为了便于表述,我们把通过解题研究得到的结论称之为衍生结论.一、衍生结论结论如图1,在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若点O是ABC的外心,则