用“假设法”解题也要创新

现行高中《数学》(必修 )第一册 (上 )第3 .5节例 4是 :已知Sn 是等比数列 {an}的前n项和 ,S3,S9,S6 成等差数列 ,求证a2 ,a8,a5成等差数列 .这是一道难得的好题 ,具有很好的研究价值 .一、例题引申引申 1:若Sn 是公比q≠ 1的等比数列{an}的前n项和 ,a2 ,a8,a5成等差数列 ,则S3,S9,S6 成等差数列 .证明 :设等比数列 {an}的首项为a1 (a1 ≠ 0 ) .∵a2 ,a8,a5成等差数列∴ 2a8=a2 +a5.即 :2a1 q7=a1 q +a1 q4∴ 2q6 =1+q3,∴q3+q6 =2q9.又q≠ 1,∴S3+S6 =a1 ( 1-q3)1-q +a1 ( 1-q6 )1-q=a1 [2 -(q3+q6 ) ]1-q=2a1 ( 1-q9)1-q =2S9.∴S3,…     

一类数列问题的探讨

2007高考全国卷(Ⅰ)第15题是:等比数列{an}的前,n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为____. 人教社高中数学教材(2003年版)第一册(上)P128例4是:已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.     

一道课本例题的推广

人民教育出版社<数学>第一册(上)(试验修订本·必修)第32页例4: 已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.本文给出该题的四个推论:     

一道课本例题的推广及应用

高一数学新教材第一册(上)P132例4给出了如下结论: 已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列. 笔者对上述结论作了推广,得到了等比数列的一个新性质.     

对一道典型例题的再探究

<正>原题已知数列{a n}是等比数列,Sn是其前n项和,a1,a7,a4成等差数列,求证:2S3,S6,S12-S6成等比数列.证明:由a1,a7,a4成等差数列,可得a1+a4=2a7,即a1+a1q3=2a1q6,所以1+q3=2q6.S6=a1+a2+a3+q3(a1+a2+a3)=S3(1+q3),S12=     

一道高考题与一道课本例题的统一推广

2007年高考全国卷(Ⅰ)第15题是:等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S3,3S3成等差数列,则{an}的公比为.人教版高中数学教材(2003年版)第一册(上)第128页例4是:已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.我们得到了它们的一个统一推广:命题设p,     

一类等比数列的讨论

现行高中教材《数学》第一册（上）第128页有一道数列例题：已知Sn是等比数列{an）的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a3，a5成等差数列。     

一道课本例题的推广

高中<数学>(试验本@必修)第一册(上)第132页例4为"已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列."     

也谈一道课本例题的推广

高中<数学>(试验修订本*必修)第一册(上)第132页例4为"已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列."     

对2004年全国高考湖南文科卷第20题的发掘

试题　已知数列 {an}是首项为a且公比q不等于 1的等比数列 ,Sn 是其前n项和 ,a1、2a7、3a4 成等差数列 .(Ⅰ )证明 1 2S3、S6 、S12 -S6 成等比数列 ;(Ⅱ )求和Tn =a1+ 2a4 + 3a7+… +na3n- 2 .该题源于教材习题 ,难易适中 ,可运用多种方法求解 ,体现了“重基础、出活题、考能力”的原则 .本文将从三个方面对该题加以发掘 .1　教材背景发掘背景 1　高中《数学》第一册 (上 )第 1 2 9页习题3.5第 7题 :已知数列 {an}是等比数列 ,Sn 是其前n项的和 ,a1、a7、a4 成等差数列 .求证 2S3、S6 、S12 -S6 成等比数列 .背景 2　高中《数学》第一…     

新教材一道数列题的教后思考

高中数学试验教材第一册 (上 )P1 3 2 的例 4为 :已知Sn 是等比数列 {an}的前n项和 ,S3 ,S9,S6成等差数列 ,求证a2 ,a8,a5成等差数列 .笔者在教学时遵循学生的思维规律 ,采用教材提供的解题思想方法 ,先是师生共同分析解题思路 ,然后让学生自己作答 .除了少部分学生需要指导外 ,其余学生都能完成解答 ,……一节课圆满结束 .当我走出教室时 ,一个名叫张燕的学生问我 :分类讨论比较繁 ,如果不分类讨论能不能解 ?题目中的S3 ,S9,S6与a2 ,a8,a5的下标有相同的规律 ,这特殊的数字规律后面是否隐藏着一般性的结论 ?学生的问题促使我对此题及其…     

一道课本例题的再推广

高中《数学》(试验修订本·必修 )第一册(上 )第 13 2页例 4为“已知 Sn 是等比数列{an}的前 n项和 ,S3 ,S9,S6 成等差数列 ,求证a2 ,a8,a5成等差数列 .”文 [1]将其推广为 :已知 Sn 是等比数列 {an}的前 n项和 ,公比 q≠ 1,则 ak,ak+ 2 p,ak+ p成等差数列的充要条件是 Sk+ 1 ,Sk+ 1 + 2 p,Sk+ 1 + p成等差数列 (k,p∈ N* ) .文 [2 ]又将其推广为 :已知 Sn 是等比数列 {an}的前 n项和 ,公比 q≠ 1,则 ak,al,am 成等差数列的充要条件是 Sk+ p,Sl+ p,Sm + p成等差数列 (k,l,m∈ N* ,p∈ Z,且 k+ p,l+ p,m+ p≥ 1) .受其启发 ,本文将其作…     

熟题深思--一道例题的拓广

高中新教材第一册(上)第128页例4：已知Sn是等比数列{a}的前n项和，S3、S4、S5成等差数列，求证：a2、a8、a5成等差数列．     

数列问题常见错误分类辨析

1.不了解数列的性质【例1】已知两个等差数列前n项和的比为Sn∶S′n=(5n+3)∶(2n+7),求这两个数列第九项之比a9b9的值.错解:由题意设Sn=(5n+3)k,S′n=(2n+7)k,则S9=48k,S8=43k,S′9=25k,S′8=23k.∴a9b9=S9-S8S′-S′8=48k-43k25k-23k=52辨析:错因是对等差数列前n项和公式缺乏了解.错解中设Sn=(5n+3)k,这里将Sn看成关于n的一次函数,显然是错误的.实际上,等差数列中Sn=na1+n(n-1)2d.即Sn=An2+Bn,它不一定是n的一次函数.正解:设Sn=(5n+3)kn,S′n=(2n+7)kn,则S9=432k,S′9=225k,S8=344k,S′8=184k,∴a9b9=S9-S8S′9-S′8=432k-344k…     

边长成等差数列的三角形的性质

设乙ABC三边a、b、c成等差数列,则其边角间有如下关系:B一2 A一C1。COS—二乙 艺5 In2。a SinZ+c SiflZA2b万’C一2b一;.列一2 一一A一2。eoSZ琶+。 2COScos(居(告十“十A、._,_AI+万111—/ZC一2 n ;1 S J皿 ; nU 一一、、于/..COSc坛鲁,c馆枷等差数A一勺1 g 工L﹄ C . 一匀列,6·‘g音‘g号=晋;7 .eosA斗一ZeosB+eos叮二2;卫5eosA+eosCl+C08ACOSC 9.当B=6:J“时,a二b二c. 证明留给读者,仅举一例说明其应用。 例.Rt_ABC三边a、b、c成等差数列,内切圆和列接圆半径分别为,和R,则2:,a,b,ZR成等差数列. :二禹;:阵n。___…     

一道课本例题的推广及应用

题目已知S。是等比数列la。}的前n项和，53，59，56成等差数列，求证aZ，a:，as成等差数列(高一数学新教材第一册上P132例4).此结论可推广为:性质已知S。是等比数列la。}的前n项和，S。，S二，S*成等差数列，则a。十:，a。 ‘，a* ，成等差数列(m :，n r，无 t任N ，r任Z).证明     

解数列题应掌握的8种解题思想

1.方程思想例1等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50(Ⅰ)求通项an;(Ⅱ)若Sn=242,求n.解:(Ⅰ)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组(?)a1+9d=30,a1+19d=50.解得a1=12,d=2.所以an=2n+10.(Ⅱ)由Sn=na1+(n(n-1))/2d,Sn=242得方程12n+(n(n-1)/2×2=242.解得n=11或n=-22(舍去).2.函数思想例2已知等差数列{an}中,a1≠0,前n项和为Sn,且S1=S2005,S9=Sn,求n的值.解:因为点P(n,Sn)在函数y=d/2x2+(2a1-d)/2x的图象上,且S1=S2005所以抛物线的对称轴为x=1003又S9=Sn,所以(n+9)/2=1003,即n=19973.整体思想例3等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,求S110.解:S100-S10=a11+a12+…+a100=(a11+a100)/2×90又S100-     

一道课本习题的探究

全日制普通高级中学教科书《数学》第一册(上)第136页的第7题是:已知a2,b2,c2成等差数列(公差不为0),求证:b+1c,c+1a,a+1b也成等差数列.此题的证明并不难,我们感兴趣的是该问题的逆命题成立吗?笔者发现:命题若b+1c,c+1a,a+1b成等差数列,则a2,b2,c2也成等差数列.证明由b+1c,c+1a,a+1b成等差数列可得b+1c+a+1b=c+2a,因此(a+b)(a+c)+(b+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),即a2+c2=2b2.所以a2,b2,c2成等差数列.于是,我们有:定理1设a,b,c∈(0,+∞),则a2,b2,c2成等差数列的充要条件是b+1c,c+1a,1a+b成等差数列.波利亚在《怎样解题》一书中这样写道:当你发现了一…     

证明三个数成等差数列的一个充要条件

已知三个数成等差数列,求证与此相关的另三个数也成等差数列,这是《数列》一章经常出现的习题。例如“已知 a~2,b~2,c~3 成等差数列,求证1/(b+c),1/(c+a),1/(a+b)也成等差数列。“(高中代数第二册复习题二第6题)从数列的定义出发,证明过程往往较繁,本文介绍一个新的方法。命题:已知三个数 a,b,c 成等差数列(公差     

2005年高考数学模拟试题(4)

一、选择题 1.设等差数列{a,}前n项的和为S。,若a2十a8~15一哪,则S,等于( A.60川5 036;二,丘18砚一’启灯’r: 几.乓硕,,爪甲 合之七卜执引,卜目喇、 9.二项式(2石+ ,”的展开式中的有理项(即x的幂指数是整数的项)共有(). l一万 A.1个且2个 10.在四面体ABcD中,设A后= 体人BCD的体积为(). 凝 署 为 冬 金 呀 r (l)证明:f(幻在[a,用上是增函数; (11)求g(t)=几.:(x)一扬.(x). 2 1.设整数列(a。}是一个公差不为零的等差数列,as~6. (I)当a3=3时,请在数列{a.}‘t,找一项a.,。>5,使得a:,as,a,成等比数列; (H)当a3一2时,若自然数。,,n2,一nt·…