谈函数y=(px~2 qx r)/(ax~2 bx c)的图象

形如标题中的分式函数是初等函数中一类重要而又常见的函数,现行教材中也多次出现。本文从一般情况出发详尽讨论了这个函数的图象,这样,我们就对这个函数的值域、性质、极值等有了全面的认识。     

关于函数y=(a_1x~2+b_1x+c_1)/(ax~2+bx+c)值域的讨论

在现行中学数学教材中,有求有理分函数y=(a_1x~2+b_1x+c_1)/(ax~2+bx_c) ①的最大值与最小值问题(例如,高中数学第三册复习题二第9题)。它的求法是大家熟知的。但是,我们要问,函数①一定有最大或最小值吗?在什么条件下,一定有呢? 为了弄清这个问题,本文对函数①的值域进行讨论,解决以下四个问题。第一,函数①的值域的正确求法; 第二,函数①的值域值有哪几种类型; 第三,函数①有最大值或最小值存在的条件; 第四,当X只在某个区间上取值时,函数①的值域的求法。下面依次讨论这几个问题。     

函数y=|ax~2+bx+c|的图象和性质的应用

函数y=|ax2 bx c|(a≠0)在区间[p,q]上的最大值,由其图象易知只能在x=p或x=q或x=-b/2a处取得,利用这一性质可以直观明晰地解决有关问题. 例1 已知二次函数f(x)=ax2 bx c,当|x|≤1时,有f(x)≤1.求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 分析:只需证|f(-2)|、|f(2)|均不大于7,且当|-b/2a|≤2时,|f(-b/2a)|也不大于7     

y=~(1/2)ax ~(1/2)ax~2 bx c(a>0)一类函数的值域

文〔1〕通过反例(xx 丫妥万一0)指出;用y~x十试了二万牙干厄的定义域(一co,1」U〔2, 当x妻一b2a时,,>、(2二十音) ︶一、少 二‘。7一a 一︻.云口一卜︸产b一护/甲"一2~.一,2b多弓丫a弋一万一 乙a b、十-万少~一 乙co)及解得的x~vZ一2Zy一3建立不等式料毛当x<一b2a时,y>丫万(一1或料刃,求出此函数的值域M一(一,晋,日(晋, \)是错误的;并用图解法了即求直线系y~一x十y(y为参数)与双曲线y一丫牙二石不厄(y)0)存在交点的条件),得出此函数的正确值域M一〔1,普)。〔2,?)·本文先剖析上述错解的错误原因,然后用代数方法…     

解读二次函数y=ax~2+bx+c

二次函数是初中数学的重点内容之一,当然也是难点之一,因而倍受命题老师的青睐,为了使同学们能更好地学习这一部分内容,这里帮你解读二次函数y=ax2+bx+c,希大家能更好地驰骋于二次函数这一知识的天地.     

函数y=|ax~2+bx+c|(a≠0)的图象性质及其应用

函数y=｜ax2 +bx+c｜ (a≠ 0 )是一个常见函数 ,以它为载体考察函数的各种性质的试题和以它为背景考察方程与不等式的试题屡见不鲜 .解决这类题目一般都需要进行数形结合 ,以形助数 ,直观处理 .因此 ,掌握该函数的图象与性质就成为解题的关键 .本文拟介绍函数 y =｜ax2 +bx +c｜ (当a >0时 )的图象性质及其应用 .一、函数 y =｜ax2 +bx +c｜ (a >0 )的图象与性质(1)当Δ=b2 -4ac≤ 0时 ,恒有ax2 +bx+c≥ 0 ,则函数 y =｜ax2 +bx+c｜=ax2 +bx +c的图象为抛物线 ,其性质众所周知 .　　 (2 )当Δ =b2 -4ac>0时 ,函数y =｜ax2 +bx +c｜ 图象为“…     

有限制条件的分式函数y=(ax~2+bx+c)/(lx~2+mx+n)的值域

众所周知,求分式函数y=ax~2+bx+c/lx~2+mx+n(a、l不同时为零)的值域,可用判别式法。但如果给自变量x以一定的限制,就不能用这一方法,一般须用导数来求解。本文介绍一种比较简便的初等方法。我们知道,关于一元二次方程的实根分布有以下结论:设f(x)=x~2+px+q,则 1.方程f(x)=0在区间(m,+∞)内有根的充要条件为(若把区间(m,+∞)改为[m,+∞),则把前一条件改为f(m)≤0)。 2.方程f(x)=0在区间(m,n)内有根的充要条件为     

关于函数y=a_1x~2+b_1x+c_1/ax~2+bx+c值域的讨论(续)

定理2.若D≠0,则函数①的值域为:(i)△<0时,y_1≤y≤y_2; 证:若D≠0,此时函数①的值域为不等式⑩的解集合。当△<0时有△c>0(引理5),这时二次不等式⑩的解为y_1≤y≤y_2;当△>0且△_0>0时,⑩的解为y≤y_2或y≥y_1(y_20且△_5<0时,⑩的解为全体实数;当△=0时,P≠0,⑩变成一次不等式,其解是显然的。若D=0,则函数①的值域为从不等式⑩的解集合中除去y=a_1/a的值。由引理6容易得到所证各条。     

用判别式法求函数y=(mx~2+nx+p)/(ax~2+bx+c)的值域

如果a≠0,函数可化为 y=m/a+(dx+e)/(ax~2+bc+c)。因而只考虑分式函数y=(dx+e)/(ax~2+bx+c)就行了。 1.b~2-4ac<0。此时对任何实数x,     

求分式函数y=(dx~2+ex+f)/(ax~2+bx+c)的值域应注意的一点

本刊84年第3期上登载了陆幼芳同志题为《y=(dx~2+ex+f)/(ax~2+bx+c)的值域求法的一点注记》一文.读后受到一定的启发,同时又感到文中只谈到这个问题的一个侧面,本文将全面分析此类问题.我们首先想到分式(ax~2+bx+c)/(mx~2+nx+p)(a、m不同时为零)能否化简,这又决定于ax~2+bx+c和mx~2+nx+p是否有公共根,因此想到要分下面三种情况进行分析.     

对《二次函数y=ax~2+bx+c的图象》课的评析

数学好比训练思维的体操,一堂成功的数学课,正如一把启迪思维的钥匙它可以打开学生思维的闸门,使他们进发出闪烁的创造之光。李斌老师是一位走向三尺讲台不久的青年教师,曾经荣获云南省TI杯数学说课比赛的一等奖。他所设计的“二次函数y=ax2+bx+c的图象”一课,正是调动学生积极思维的一     

函数y=(ax+b)~(1/2)+(d-cx)~(1/2)的值域

本刊2002年第4期文[1]用改进了的三角换元法举例说明了无理函数 y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)(ac<0)最小值和最大值的求法,读后颇受启发.本文将用“双换元法”给出这类无理函数的最小值和最     

y=ax~2+bx+c 中的 a、b、c

一、y=ax~2+bx+c中a、b、c的几何意义 1.抛物线开口向上,则(a>0,抛物线开口向下,则a<0;2.抛物线与y轴交于x轴上方,则c>O,与y轴交于x轴下方,则c<0.3。抛物线的对称轴位于y轴左侧,则a、b同号,对称轴位于y轴右侧,则a、b异号。例1 二次函数y=ax~2+bx+c图象如图所示,试决定a、b、c符号。解∵抛物线开口向上,∴a>0,抛物线与y轴交于x轴上方,∴c>0,又对称轴位于y轴左侧,故a、b同号,由于a>0,∴b>0,∴a>0,b>0,c>0。     

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

形如y=(ax+b)~(1/2)+(cx-d)~(1/2)函数值域的求法

在分析化定义中,深刻理解其中的词语及其结构非常重要.对A是“如果存在”,并且它是一个常量对是“预先指定”、“无论多么小”,说明它是变量与常量的辩证统一,是在变化中的相对静止;对N是“总能找到”,它与有关,是根据求出的.N也有确定性和不确定性两方面,由可以求出它的最小值,则N是确定的;但也可以取大于N的正整数,则N是不确定的.在这样的教学中,学生对数列极限的理解经历了由形象化、直观化到抽象化、精确化,由几何化到例1.求函数y=2x+4√+6-x√的值域.解1:易知函数的定义域为[-2,6].原函数两边平方并整理得y2-x-10=22(x+2)(6-x).√(1…     

无理方程ax~2+bx+c+x(a_1x~2+b_1x+c_1)~(1/2)=0的解法研究

在实数范围内解无理方程,通常是把方程两边乘方同一次数,化为有理方程来解的,但对于形如 ax~2+bc+c+x(a_1x~2+b_1x+c_1)~(1/2)=0, (1)的无理方程,当c≠0时,若两边平方,一般会化为一个高于二次的整式方程,而这样的整式方程是中学生所不易解出的。本文运用不超过现行中学数学教材中的知识,从解决两个例子并通过对这两个特例的剖析入手,推     

函数y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)(ac≠0)的值域

本文利用函数的增减性和三角代换法求函数 y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2) (1)(ac≠0)的值域。如ac>0,命k=max(-b/a,-d/c)(a>0,c>0) 或k=min(-b/a,-d/c)(a<0,c<0),则(1)的值域为     

y=dx~2+ex+f/ax~2+bx+c的值域求法的一点注记

利用判别式求函数y=((dx~2+ex+f)/(ax~2+bx+c))(a~2+d~20)(1)的值域的方法是大家熟知的,但不全面地进行讨论,往往仍会发生错误,我们通过例题来说明这一点.例1 试用两种方法求函数y=8/(x~2-4x+5)(2)的值域.(《高中数学教材补充题(第一册)》23页第99道第(2)小题).     

挖掘ax~2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)解题功能

《代数》第三册第37页中有一结论:若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+fc=0的两根,则有ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).正用或逆用这一结论解题,具有简捷明快、耳目一新的特点.以下从几个方面挖掘其解题功能. 一、分解因式例1 (1997年太原市初中数学竞赛题)在     

探究函数f(x)=(ax~2+bx+c)/(dx~2+ex+f)的值域

<正>求函数的值域是我们经常遇到的一类问题,我们往往能够如数家珍地列出许多求函数值域的方法,那么哪些方法适用于求函数f(x)=(ax²+bx+c)/(dx2+bx+c)/(dx²+ex+f)的值域呢?我在平时的学习过程中总结出了三种方法,即判别式法、导数法和均值不等式法。这三种方法各有各的特点,下面介绍一下这些方法的适用情形。