几何命题论证模式教学设计的新视角

虽然教育工作者(教育家与数学家)对于义务教育数学课程究竟应当强调多大量的证明(几何命题推理论证)有着不同意见.但是,仍然有一些令人信服的理由,说明义务教育数学课程应当包括适度的几何命题证明的教学内容.要确定在数学课程中,究竟应当把几何命题证明强调到什么程度,就必须首先依据确定平面几何证明的认知目标、情感目标,尤其是,对于更深层次的民主社会公民素质目标,支     

内心和外接圆的一个命题(初三)

命题1 已知:如图1,点I为△ABC的内心,延长AI交△ABC的外接圆于点D. 求证:DB=DI=CD. (《几何》第三册P199T12) 证明连结BI.由I为△ABC的内心,得     

一道奥赛题的简证

题目（第三届北方数学奥林匹克邀请赛）已知ΔABC的三边为a、b、c,且满足a＋b＋c=3,求f（a,b,c）=a2＋b2＋c2＋4/3abc的最小值.文[1]给出了一种新的证明,笔者觉得技巧性较强,不够自然.下面笔者再给出一个自然简单的证明.     

几个不等式的推广与证明

文[1]给出了如下7个命题,并对问题1—6给出了多种证明方法,很受启发． 问题1设a,b,c∈R＋,a^2＋b^2＋c^2＋abc=4,求证：a＋b＋c≤3．     

从海伦公式谈起

设△ABC的三边长分别为、、abc,p= ()/2abc ,△ABC的面积为S,则 ()()()Sppapbpc=---. 这就是著名的海伦公式,它的证明主要应用三角形的面积公式及三角形的余弦定理,简证如下: ∵1sin2SabC=, ∴22224sinSabC=. ∵222cos2abcCab -=, ∴22222224(1())2abcSabab -=- 222222()4abca     

Gmeiner—Janous不等式的加强

W.Gmeiner-W.Janous 1987年提出并于1988年证明了如下一命题[1]、[2]: 命题1 设P为△ABC内一点,x,y,z是P到三顶点的距离.则 1989年,单(土尊)和刘亚强[3]独立地证明了命题1,且较简单,但其证明却要用到微积分知识. 1992年,杨学枝[4]将(1)式加强为: 命题2 在△ABC中,max(A,B,C)=A,P为三角形所在平面内任意一点,记PA=x,PB=y,PC=z.那么     

一个关于三角形边长的不等式链

<正>近日,笔者发现了一个关于三角形边长的不等式链,现介绍如下.命题在△ABC中,a,b,c分别为其三边长,R,r分别为其外接圆和内切圆半径,则有a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc≥(4-2r/R)abc≥3abc.证明先证明a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc.     

一个几何不等式的修正

文[1]给出了如下的几何不等式:△ABC中,AB>AC,BE、CF为高.证明:AB CF>AC BE.当∠A=90°时,CF=AC,BE=AB,上述不等式显然取到等号,正确的结论应为AB CF≥AC BE.另一方面,从证明过程来看,原书仅对∠A为锐角的情形予以证明,对∠为钝角的情形未加说明,虽然二者证法相同,但图形位置却     

从一个假命题说起

1 一个假命题命题:任一个三角形是等腰三角形.已知:△ABC(如图1).求证:△ABC 为等腰三角形.证明:如图2,作 AB 的中垂线 MD 交∠ACB 的平分线于 D 点,分别作 DE⊥BC,垂足为 E,DF⊥AC,垂足为 F,连结 BD、AD,则易知:DE=DF,BD=AD.     

两道不等式的简证

题 1　已知 a,b,c∈ R ,且 abc≤ 1 ,求证 :a bc b ca c ab ≥ 2 ( a b c) .(《数学通报》1 999年第 1期问题 1 1 71 )该题型新颖独特 ,其证法亦不多见 .贵刊仅在文 [1 ]中给出了一种证法 ,现笔者应用基本不等式简证如下 .证明　原式成立 a b c- c( a b c) c a b c- a( a b c) a a b c- b( a c) b≥ 2 . 1a 1b 1c- 3a b c≥ 2 . ( * )∵ 1a 1b 1c- 3a b c≥ 33abc- 13abc=23abc≥ 2 .(∵ 3a b c≤ 13abc)∴ ( * )成立 ,故原式证毕 .题 2　若 a,b,c∈ R ,abc=1 ,则aba3n 2 b3n 2 ab bcb3n 2 c3n…     

一个几何命题的证明

命题:二角形的外心至三边距离的和等于它的外接圆半径与内切圆半径之和。已知:O为△ABC的外接圆的圆心,OD、OE、OF为由O至BC、CA、BA的距离,R为它的外接圆半径、r为它的内切圆半径。求证:OD+OE+OF=R+r 本题见于几何辞典(日本,长泽龟之助著,薛德烱等译,新亚书店出版)第293页第1425题。原书的证明是这样的:命△ABC的面积为△,则R=abc/4△,r=△/s=△/(1/2)(a+b+c)     

一道课本习题的探究与应用

题目:如图1,直线l1∥l2,△ABC与△DBC的面积相等吗?你还可以画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?(人教版八年级下册第十九章《四边形》习题19·1第8题)认真研究本题可以得到以下两个命题:命题:如图1,若直线l1∥l2,则S△ABC=S△DBC,逆命题:如图2,若S△ABC=S△DBC,则有直线l1∥l2.不难证明两个命题的正确性·     

从勾股定理谈起

我们知道在直角三角形ABC中,已知∠A=90^o,则有AB^2＋AC^2=BC^2,这是数学中最基本的定理,叫做勾股定理,其证明方法有300多种．其几何意义是以直角三角形ABC的三边分别为边向三角形外作正方形ABMN、ACPQ、BCLK,则两直角边上的两个正方形面积之和等于斜边上的正方形面积,[第一段]     

一个三角形线性不等式

设 P是△ ABC内部任意一点 ,P至边BC,CA,AB的距离分别为 r1 ,r2 ,r3 ,令 PA= R1 ,PB=R2 ,PC=R3 ,涉及三角形内部任意一点的不等式是一类十分有趣的几何不等式 ,最著名的是 Erdos- Mordell不等式R1 +R2 +R3 ≥ 2 (r1 +r2 +r3 ) . (1)本文将证明关于 (R1 ,R2 ,R3 )及 (r1 ,r2 ,r3 )与△ ABC半周长 s的一个线性不等式 .首先给出一个优美简洁的引理 .引理　设 P是△ ABC内部任意一点 ,则(R1 +R2 +R3 ) 2≥s2 +(r1 +r2 +r3 ) 2 . (2 )当且仅当△ ABC为正三角形且 P为中心时(2 )式取等号 .证明　令 BC=a,CA=b,AB=c,ha 为BC边…     

以圆为载体的几何证明问题——2001年全国各省市中考几何解答题评析

<正> 综观2001年全国各省市中考数学试题,几乎每份试卷中都至少有一道以圆为载体的几何证明问题.命题组的专家们何以对圆如此青睐?这是因为以圆为载体的几何问题的知识覆盖面最广,它不仅能包含圆的所有知识点,而且能把直线、角、三角形、四边形等图形的知识点也囊括其中.有的问题甚至还涉及许多代数知识.由此看来,命题者把以圆为载体的几何证明问题列为考查的重点是十分自然的.因此,在数学总复习中,我们也应当把以圆为载体的几何问题列为训练的重点.     

关于三角形面积的一个性质

经过探讨,笔者发现一个关于三角形的有趣的几何性质.命题若△ABC的内切圆切各边于点、E、F,且△ABC的外接圆与内切圆半径分别为R、r,则有S△DEF=2rRS△ABC.证明:如图1,联结OA、OD、OE、OF,则OA垂直平分EF.设△ABC、△DEF的三边长分别为a、b、c、d、e、f.所以,EF=2rsin∠AOE=2rs     

对一道2010年全国初中数学竞赛题的探讨

命题 已知等腰△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与边BA相交于点P,M为△ABC的内切圆(◎)I与边BC的切点,作MD//AC,交(◎)I于点D.证明PD是(◎)I的切线. 这是2010年全国初中数学竞赛题的一道几何题[1].该命题展示了三角形的圆内切一个有趣的几何性质,诱人思考的是,在三角形的旁切圆中是否有此性质呢?经笔者深入探讨,回答是肯定的.     

几何命题论证模式教学设计的新视角

虽然教育工作者（教育家与数学家）对于义务教育数学课程究竟应当强调多大量的证明（几何命题推理论证）有着不同意见．但是，仍然有一些令人信服的理由，说明义务教育数学课程应当包括适度的几何命题证明的教学内容．要确定在数学课程中，究竟应当把几何命题证明强调到什么程度，就必须首先合理地确定平面几何证明的认知目标、情感目标，尤其是，对于更深层次的民主社会公民素质目标，支持科学精神的理性思维目标进行深入探讨，然后思考对待证明问题的重要性究竟居于何种程度．对此，首先探讨平面几何命题论证的育人价值．     

怎样进行几何证明

几何证明就是用已学过的公理、定理、定义来论证几何命题的逻辑推理过程几何证明的方活很多初中阶段较常用的是从原命题入手的直接证法,在此就直接证法来谈谈如何进行几何证明一、几何证明的思路几何证明的思路有三种：综合法、分析法、综合法与分析法相结合的方法．1．综合法一从命题的题设出发,逐步向前推理,得出命题的结论．这种“由因导果”的证题方法叫综合法例1凸ABC是等边三角形,BD是中线,延长BCygE,使CE＝CD求证：DB＝DE证明西ABC是等边三角形,fABC＝／ACB,AB二BC．又AD＝CD,／l＝／2二十／ABC””““——…     

一道竞赛题的两个简单证明

题目设a,b,c∈R＋,a2＋b2＋c2＋abc=4,证明：a＋b＋c≤3.（第20届伊朗奥林匹克）