利用对称性证明几何不等式

例1如图1,在△ABC中,AB>AC,AD是BC边上的中线.求证:∠BAD<∠CAD.图1分析注意到AD是BC边上的中线,中线加倍是常见的添辅助线的方法.然后把研究对象集中在△ABE中,由大边对大角,将问题得以解决.证明延长AD到点E,使DE=AD,连结BE,则D是△ADC与△EDB的对称中心,BE=CA,∠E=∠CAD.∵AB>AC,∴AB>BE,∴∠BAD<∠E,从而∠BAD<∠CAD.例2如图2,在△ABC中,D是BC边的中点,ED⊥DF,EF分别交AB、AC于E、F两点.求证:BE+FC>FE.图2分析能否将BE、FC、EF移到同一三角形考察线段不等关系?利用对称性作图是可以实施的,于是问…     

基本不等式的几何证明

两个正数a,b的调和乎均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间有以下不等关系:     

若干几何不等式的证明

运用Rrs法证明了[1][2]中关于三角形的三个几何不等式猜想。     

利用代换证明三角形几何不等式

三角形中的各要素之间构成一定的数量关系,在证明三角形几何不等式时,根据各要素之间的联系,做出相应的代换,使条件或结论简明化,有助于问题的解决.下面是在证明三角形几何不等式时,常用的4种代换方法.图1如图1,设a,b,c是三角形ABC的三条边,该三角形的内切圆半径为r,外接圆半径     

一个无理不等式的几何证明及推广

在文[1]中,作者用代数法证明了一个用几何方法并不容易证明的无理不等式:     

一个几何不等式的证明

本文提出了一个不同于教学参考书上的证明，旨在开阔学生的思维空间，亦为教师优化教学效果提供一点参考资料。     

利用几何法巧证不等式例说

我们知道，证明不等式的方法有多种多样。常见的方法有比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等，而且以代数方法见长。但有一些不等式存在着几何背景，可构造出相应的几何图形，利用相关的几何知识能巧妙地证明它成立。     

构造几何直观图证明不等式

美国数学家斯蒂思曾经说过：如果一个特定的问题可以被转化为一个图形,那么,思想就整体地把握了问题,并且能创造性地思索问题的解法．通过几何直观,不但使抽象的数学概念有了几何意义,得到了具体直观的几何解释,使抽象概念变得更利于学生理解掌握,而且根据它们的具体的几何意义可以导出某些重要性质、定理,并且常常给我们解题提供思路和方法．下面例说构造几何直观图证明一类不等式,以期对不等式证明方法的研究与拓展有所裨益．     

一个不等式的纯几何证法

在数学奥林匹克问题 (载《中等数学》2 0 0 0年第 5期第 49页 )中有一道几何不等式题 :在钝角△ ABC中 ,∠ A为钝角 ,ha 为边a上的高 .求证 :a ha>b c该题的证明几乎用了一页的篇幅 .其实用纯几何的方法也能给出简洁的证明 ,而且初二学生都能理解 .图 1证明 1　先对∠ A为直角的情况 ,证明同样的结论 .如图 1 ,在 BC边上取点 E,使得BE=BA.作 EF⊥ AC,EG⊥ AB,垂足分别是 E和 F.连结 AE,我们可以得出等腰△ ABE和矩形 AFEG,因而有 AF =EG=AD=ha.在 Rt△ CEF中 ,由 EC>FC,直接可以得出 a- c>b- ha.所以有 a ha>b c.图 2…     

构造法证明不等式

不等式的证法很多,而构造法主要是从不等式的结构和特点出发,利用已学过的知识作为数学模型,实现问题的转化,从而使不等式得证,下面举例说明之．     

三种思维角度证明一道不等式

笔者曾遇到类似如下的一个不等式,笔者从三个不同的思维角度对它进行探索,得到如下十种证法,它们蕴含了不等式证明的常用思想和方法,希望对读者有所启发.     

高考不等式证明问题探析

不等式证明是历届高考的热点和难点.年年考,但屡出新意.常常一道命题都认为并不算难的不等式证明题,考生却很难解答,得分很低.现就不等式的证明问题作一分析,供同学们复习参考.1 不等式证明试题的特点1.1 试题内容的广泛性 高考不等式证明题以数学某个问题为载体,既考查了某个数学问题有关的知识和方法,又考查了不等式的证明.试题所涉及内容广泛,时有创新.     

从几何角度证明代数不等式

不等式是数学竞赛中的常见题型之一,证明的方法也多种多样．笔者发现,有一类不等式可以结合代数式的几何意义去证明．这类问题主要是根据几何图形的凸凹性寻求不等关系,其特点是让多组对称式的求和化归成面积或长度等几何量．下面通过实例来介绍．