问渠哪得清如许，为有源头活水来——从一道课本题的研究及演变说起

题源：已知ΔABC,AB=c,BC=a,CA=b,且a·b=b·c=c·a,判断△ABC的形状．（出自苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》第四册P．83,练习14）[第一段]     

到底谁错?（高一）

题平面四边形ABCD中,假设 AB→=a,BC→=b,CD→=c,DA→=d,且 a·b=b·c=c·d=d·a,问ABCD是怎样的四边形?     

探究三角形形状的九种方法

一、应用正弦定理判定【例1】已知在△ABC中,sin2A+sin2B=sin2C,求证△ABC是直角三角形.证明:由正弦定理sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR,代入sin2A+sin2B=sin2C中,得4aR22+4bR22=4cR22,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.二、应用余弦定理判定【例2】在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,a≠b,且a·cosA=b·cosB.判定△ABC的形状.解:α·cosA=b·cosB,由余弦定理得α·b2+2cb2c-a2=b·a2+2ca2c-b2,化简整理得(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∵a≠b,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.三、应用根的判别式判定【例3】若a、b、c为△ABC的…     

用数量积证等腰三角形(高一)

题△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,若a·b=b·c,求证:△ABC为等腰三角形. 有以下证法: 1.定义解 a,b夹角为π-C;b,C夹角为π-A,所以 a·b=b·c,即|a||b|cos(π-C)=|b||c|cos(π-A), |a|cosC=|c|cosA,从而 |a|/|b=cosA/cosC,     

一道向量证明题的多角度思考

人民教育出版社蔡上鹤老师在“高中数学新教材教学内容”中,有如下一道题目:“已知△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,若a·b=b·c=c·a,则△ABC为正三角形”.笔者将该题的证明作为高一期末试题,在阅卷中我发现同学们给出了许多证法,今列出其中的六种证法,供同学们学习时参考.     

谈一道奥林匹克竞赛题改进的对偶形式

第 6届 IMO第 2题是设 a,b,c是△ ABC的三边长 ,求证a2 (b + c -a) + b2 (c + a -b) + c2 (a +b -c)≤ 3 abc (1)受启发 ,本文得到 (2 )式的如下对偶形式定理 1　设 a,b,c,r是△ ABC的三边长及内切圆半径 ,则有a2 (b + c -a) + b2 (c + a -b) + c2 (a +b -c)≥ 12 r(a + b + c) (2 )证明 :记 p =12 (a + b + c) ,R为△ ABC的外接圆半径 ,S为△ ABC的面积 ,由海伦公式 S = p (p -a) (p -b) (p -c) =rpabc =4RS =4Rrp得左边 =2 a2 (p -a) + 2 b2 (p -b) +2 c2 (p -c)≥2× 3 3 a2 b2 c2 (p -a) (p -b) (p -c) =63 16R2 r2 p2 .r2 p =…     

问渠哪得清如许，为有源头活水来——从一道课本题的研究及演变说起

题源:已知△ABC,=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a,判断△ABC 的形状.(出自苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》第四册 P.83,练习14)1 证法研究1.1 证明边相等     

一个平面几何公式的姊妹公式

文 [1 ]给出了如下平面几何公式 :r =r1+r2 -2r1r2h .其中 ,P为△ABC的BC边上一点 ,h为BC边上的高 ,r ,r1,r2 分别为△ABC、△ABP和△ACP内切圆半径 .我们得到定理　设P为△ABC的边BC上一点 ,h为BC上的高 ,R ,R1,R2 分别为△ABC、△ABP、△ACP的外接圆半径 ,CA =b ,AB =c ,则R =(b +c) (bR1+cR2 )4h(R1+R2 ) . ( )证明 :由正弦定理 ,AP =2R1sinB =2R2 sinC ,设BC =a而sinB =b2R,sinC =c2R,因此R1+R2 =AP2 ( 1sinB+1sinC) =R(b +c)bc ·AP=R(b+c) sinAah ·AP=R(b+c)· AP2Rh=b +c2h (R1sinB +R2 sinC)=b +…     

15°角的应用

例1 已知△ABC中，∠BAC：120°，∠ABC=15°，∠A、∠B、∠C的对边分别为n、b、c，求a：b：c．(1996年淮阴市中考题)     

对一个猜想的探索

设△ DEF 为锐角△ ABC 的垂足三角形,并设 BC = a,CA = b,AB = c; A EF = a0,FD = b0, DE = c0 . F分别设△ ABC 、△ DEF 、 E△ AEF 、△ BDF、△CDE B的外接圆半径、内切圆半径、     

有一个60°角的整边三角形

设△ABC的三边长a、b、c都是正整数．当∠C=90°时,c^2=a^2＋b^2．如果（a,b,c）=1,那么,称此三角形为“本原勾股三角形”．     

也谈关于三角形边角关系的一些性质

文[1]介绍了关于三角形边角关系的两个结论.实际上,在三角形中还有命题1设a,b,c为△ABC的三边长,当an,bn,cn(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且an,bn,cn(n∈N*)成等比数列.所以b2n=ancn,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.命题2设a,b,c为△ABC的三边长,当a1n,b1n,c1n(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且a1n,b1n,c1n成等比数列,所以(b1n)2=a1n·c1n.即b12=a1c,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.由命题1和命题2得定理设a,b,c为…     

一道“希望杯”竞赛题的解法思路

第25届“希望杯”全国数学邀请赛初三第一试试题第23题： 若△ABC的三边长a,b,c满足b＋c=10,bc=a^2-12a＋61,则△ABC的周长等于_____,面积等于______．     

一道竞赛题的几何解法及其他

题目:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、。.若角A,B,c的大小成等比数列,且护一a“二a。,则角B的弧度数等于_.(1985年高中联合数学竞赛第一试第二题第1题) 下面用数形相结合求解,给出该题的四种几何解法. 分析:将犷一。2==a。变为bb二aa+ac,此式形似托勒密定理,构图如下:作圆的内接等腰梯形ABCD,使AD=DC二CB=a,AC=b,ABbZ一aZ二ae.C作直径E刀,设AB=c,BF=a,则△ABC满足题设条件b’一扩二aC. 解二据相交弦定理有 BF·BA 二刀B·BD。又据已知有EB·所以,BC“B尸-BD二B口·BA=。,则△ABC满足题设乙BO尸二乙B尸C,乙ABC…     

一个著名几何不等式的推广

第 3届国际中学生数学竞赛有一个几何题是这样叙述的 :设 a,b,c为△ ABC的三边之长 ,S为面积 .求证 :a2 b2 c2≥ 43 S,当且仅当 a =b=c取“=”.这就是著名的 Weisenbock不等式 .本文运用等周定理和幂平均不等式来推广Weisenbock不等式 .命题 1　设△ ABC三边之长分别为 a,b     

用中线长定理解题(初二、初三)

中线线定理的表述是:设△ABC的三边AB=c,BC=a,AC=b,BC边上的中线长为ma,则ma2=1/2b2+1/2c2-1/4a2. 中线长定理有广泛的应用,下面举例说明. 例1 如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,MN是BC边上的点,且BM=MN=NC,如果AM=4,AN=3,则MN=____. 解设AC=b,AB=c,BM=MN=NC=a,AM,AN分别是△ABN和△ACM的中线,则有42=1/2c2+1/2·32-1/4(2a)2, 32=1/2b2+1/2·42-1/4(2a)2,     

与费马点有关的又一不等式

命题设max(A,B,C)<120°,点P是△ABC内的费马点(即△ABC内满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°的点),BC=a,CA=b,AB=c;△ABC的内切圆半径为r,点P到三边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,则有a~2r_1 b~2r_2 c~2r_3≥1/3(a b c)~2·r (1) 等号成立当且仅当△ABC为正三角形。证明:记PA=u,PB=v,PC=w;△ABC、     

两个几何不等式猜想的证明

文[1]中,胡如松先生提出了若干猜想,由于多数猜想不难证明或否定,现仅对其中两个猜想予以证明. 设△DEF 为△ ABC 内接三角形(如图).并设△ ABC的三内角为 A、B、C;三边 BC = a、CA = b、AB = c ;EF = a0、FD =b0、DE = c0 .分别设△ ABC 、△ DEF 、△ AEF 、△ BDF 、△     

这两道题不妥

题目:已知a、b、c是锐角三角形ABC的三个内角A、B、C所对的三边,tg1/2A=tg~3 1/2 C,sinBcosC=sin(C-B),并且a、b、c、成等比数列,试证明△ABC是正三角形。有一本书给出的解答提示如下:“先由已知条件和A+B+C=π导出B=1/3π,再由余弦定理证明 a=c,则△ABC是正三角形”。其实,这道题是不妥的。为了便于分析,笔者根据以上提示猜测其证明过程为: 由已知 sinB·cosC=sin(C-B) 得 sinB·cosC=sinCcosB-cosCsinB化简得 2sniB·cosC=sinC·cosB ①     

2006年第7期问题解答

37.已知正方形ABCD与正方形BEFG相连,且正方形ABCD的边长为a,求S△AFC.解:如图,连接BF,易证得AC∥BF.过点B、F分别作AC的垂线,垂足分别为M、N,则BM=FN.显然,则有S△AFC=S△ABC=12a2.38.若a,b,c∈R ,ab bc ca=1,求证:aa #!1 a2 b #!b1 b2 c #!c1 c2≤1.证明:分母有理化,得a$#!1 a2-a% b$#!1 b2-b% c$#!1 c2-c%≤1.上式等价于a#!1 a2 b#!1 b2 c#!1 c2≤1 (a2 b2 c2).(*)注意到1 a2=ab bc ca a2=(c a)(a b),1 b2=ab bc ca b2=(a b)(b c),1 c2=ab bc ca c2=(b c)(c a).那么,应用二元均值不等式,有a#!1 a2 b#"1 b2 c##1 c2=a#!(…